Нецентральное t -распределение

Нецентральный студенческий т

Функция плотности вероятности
Параметры	ν > 0 степеней свободы $\mu \in \Re \,\!$ параметр нецентральности
Поддерживать	$x\in (-\infty ;+\infty )\,\!$
PDF	см. текст
CDF	см. текст
Иметь в виду	см. текст
Режим	см. текст
Дисперсия	см. текст
асимметрия	см. текст
Избыточный эксцесс	см. текст

Нецентральное t t -распределение обобщает Стьюдента - распределение с использованием параметра нецентральности . В то время как центральное распределение вероятностей тестовая статистика t, описывает, как распределяется t когда тестируемая разница равна нулю, нецентральное распределение описывает, как распределяется , когда значение null является ложным. Это приводит к его использованию в статистике, особенно при расчете статистической мощности . Нецентральное t также известно как одиночное нецентральное t -распределение и в дополнение к его основному использованию в статистических выводах , также используется в надежном моделировании данных - распределение .

Определения

Если Z — стандартная нормальная случайная величина, а V — случайная величина, распределенная по хи-квадрату с ν степенями свободы , не зависящими от Z , то

$T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}$

представляет собой нецентральную t -распределенную случайную величину с ν степенями свободы и параметром нецентральности µ ≠ 0. Обратите внимание, что параметр нецентральности может быть отрицательным.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивную функцию распределения нецентрального t -распределения со степенями свободы ν и параметром нецентральности µ можно выразить как

$F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\geq 0;\\1-{\tilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}$

где

${\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],$

$I_{y}\,\!(a,b)$ — регуляризованная неполная бета-функция ,

$y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},$

$p_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},$

$q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},$

и Φ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения .

Альтернативно, нецентральное t -распределение CDF может быть выражено как :

$F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}$

где Γ — гамма-функция , а I — регуляризованная неполная бета-функция .

Хотя существуют и другие формы кумулятивной функции распределения, первую форму, представленную выше, очень легко вычислить с помощью рекурсивных вычислений . В статистическом программном обеспечении R кумулятивная функция распределения реализована как pt .

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) для нецентрального t -распределения со степенями свободы ν > 0 и параметром нецентральности µ может быть выражена в нескольких формах.

Вырожденная форма гипергеометрической функции функции плотности равна

$f(x)=\underbrace {{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\tfrac {\nu +1}{2}}}} _{{\text{StudentT}}(x\,;\,\mu =0)}\exp {\big (}-{\tfrac {\mu ^{2}}{2}}{\big )}{\Big \{}A_{\nu }(x\,;\,\mu )+B_{\nu }(x\,;\,\mu ){\Big \}},$

где

${\begin{aligned}A_{\nu }(x\,;\,\mu )&={_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu +1}{2}}\,;\,{\frac {1}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\\B_{\nu }(x\,;\,\mu )&={\frac {{\sqrt {2}}\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}}{_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu }{2}}+1\,;\,{\frac {3}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\end{aligned}}$

и где ₁ F ₁ — вырожденная гипергеометрическая функция .

Альтернативная интегральная форма:

$f(x)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}\exp \left(-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})2^{\frac {\nu -1}{2}}(x^{2}+\nu )^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }y^{\nu }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right)dy.$

Третья форма плотности получается с использованием ее кумулятивных функций распределения следующим образом.

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\nu }{x}}\left\{F_{\nu +2,\mu }\left(x{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F_{\nu ,\mu }(x)\right\},&{\mbox{if }}x\neq 0;\\{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}x=0.\end{cases}}$

Этот подход реализован dt в R. функцией

Характеристики

Моменты нецентрального t -распределения

В общем, k- й исходный момент нецентрального t -распределения равен

${\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu ^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}\nu >k;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq k.\\\end{cases}}$

В частности, среднее значение и дисперсия нецентрального t -распределения равны

${\begin{aligned}{\mbox{E}}\left[T\right]&={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}},&{\mbox{if }}\nu >1;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\{\mbox{Var}}\left[T\right]&={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2},&{\mbox{if }}\nu >2;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Отличное приближение к ${\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}$ является $\left(1-{\frac {3}{4\nu -1}}\right)^{-1}$, который можно использовать в обеих формулах.

Асимметрия

Нецентральное t -распределение является асимметричным, если µ не равно нулю, т. е. является центральным t -распределением. Кроме того, чем больше степень свободы, тем меньше асимметрия. Правый хвост будет тяжелее левого, когда μ > 0, и наоборот. Однако обычная асимметрия обычно не является хорошей мерой асимметрии для этого распределения, потому что, если степени свободы не больше 3, третьего момента вообще не существует. Даже если степени свободы больше 3, выборочная оценка асимметрии все равно очень нестабильна, если только размер выборки не очень велик.

Режим

Нецентральное t -распределение всегда унимодальное и имеет колоколообразную форму, но эта мода аналитически недоступна, хотя при μ ≠ 0 имеем

${\sqrt {\frac {\nu }{\nu +(5/2)}}}<{\frac {\mathrm {mode} }{\mu }}<{\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}$

В частности, мода всегда имеет тот же знак, что и параметр нецентральности ц. Более того, отрицательная мода — это в точности мода для нецентрального t -распределения с тем же числом степеней свободы ν, но параметром нецентральности −μ.

Режим строго возрастает с увеличением µ (он всегда движется в том же направлении, в котором настроено µ). В пределе, когда µ → 0, мода аппроксимируется выражением

${\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)}}\mu ;\,$

а при µ → ∞ мода аппроксимируется формулой

${\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}\mu .$

Связанные дистрибутивы

• Центральное t -распределение: центральное t -распределение можно преобразовать в семейство местоположений / масштабов . Это семейство распределений используется при моделировании данных для отслеживания различного поведения хвостов. Обобщение местоположения/масштаба центрального t -распределения отличается от нецентрального t -распределения, обсуждаемого в этой статье. В частности, это приближение не учитывает асимметрию нецентрального t -распределения. Однако центральное t -распределение можно использовать как приближение к нецентральному t -распределению.
• Если T нецентрально t -распределено с ν степенями свободы и параметром нецентральности µ и F = T ² , то F имеет нецентральное F -распределение с 1 степенью свободы в числителе, ν степенями свободы в знаменателе и параметром нецентральности µ ² .
• Если T нецентрально t -распределено с ν степенями свободы и параметром нецентральности µ и $Z=\lim _{\nu \rightarrow \infty }T$, то Z имеет нормальное распределение со средним значением µ и единичной дисперсией.
• Когда знаменателя параметр нецентральности дважды нецентрального t -распределения равен нулю, то оно становится нецентральным t -распределением.

Особые случаи

• Когда µ = 0, нецентральное t -распределение становится центральным (стьюдентовским) t -распределением с теми же степенями свободы.

Возникновение и применение

Использование в анализе мощности

Предположим, у нас есть независимая и одинаково распределенная выборка X ₁ , ..., X _n, каждая из которых нормально распределена со средним значением θ и дисперсией σ. ² , и мы заинтересованы в проверке нулевой гипотезы θ = 0 по сравнению с альтернативной гипотезой θ ≠ 0. Мы можем выполнить для одной выборки, t -тест используя тестовую статистику

$T={\frac {\bar {X}}{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {{\bar {X}}-\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}+{\frac {\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}}{\sqrt {\left.\left({\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}/(n-1)}}\right)\right/(n-1)}}}$

где ${\bar {X}}$ это выборочное среднее и ${\hat {\sigma }}^{2}\,\!$ – несмещенная выборочная дисперсия . характеристике нецентрального t Поскольку правая часть второго равенства точно соответствует описанной выше -распределения, T имеет нецентральное t -распределение с n -1 степенями свободы и параметром нецентральности. ${\sqrt {n}}\theta /\sigma \,\!$.

Если процедура тестирования отвергает нулевую гипотезу всякий раз, когда $|T|>t_{1-\alpha /2}\,\!$, где $t_{1-\alpha /2}\,\!$ является верхним квантилем α/2 Стьюдента (центрального) t -распределения для заранее заданного α ∈ (0, 1), то мощность этого теста определяется выражением

$1-F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(t_{1-\alpha /2})+F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(-t_{1-\alpha /2}).$

Аналогичные применения нецентрального t -распределения можно найти в анализе мощности общих линейных моделей нормальной теории , которые включают приведенный выше один выборочный t -критерий в качестве частного случая.

Использование в интервалах допуска

Односторонние нормальные интервалы допуска имеют точное решение с точки зрения выборочного среднего и выборочной дисперсии на основе нецентрального t -распределения. Это позволяет рассчитать статистический интервал, в который с некоторым уровнем достоверности попадает определенная доля выборочной совокупности.

См. также

• Нецентральное F -распределение

Внешние ссылки

• Эрик В. Вайсштейн. -распределение нецентрального Стьюдента « Т ». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram
• Расчет высокой точности для жизни и науки.: Нецентральное t -распределение от компании Casio.