Код (теория множеств)

В теории множеств — код . наследственно счётного множества

$x\in H_{\aleph _{1}}\,$

это набор

$E\subset \omega \times \omega$

такая, что существует изоморфизм между $(\omega ,E)$ и $(X,\in )$ где $X$ является транзитивным замыканием $\{x\}$. Если $X$ конечно (с мощностью $n$), затем используйте $n\times n$ вместо $\omega \times \omega$ и $(n,E)$ вместо $(\omega ,E)$.

Согласно аксиоме экстенсиональности , тождество множества определяется его элементами. А поскольку эти элементы также являются множествами, их идентичность определяется их элементами и т. д. Итак, если кто-то знает отношение элементов, ограниченное $X$, тогда один знает что $x$ является. (Мы используем транзитивное замыкание $\{x\}$ а не из $x$ себя, чтобы не путать элементы $x$ с элементами его элементов или чем-то еще.) Код включает в себя информацию, идентифицирующую $x$ а также информацию о конкретной инъекции от $X$ в $\omega$ который использовался для создания $E$. Дополнительная информация о внедрении несущественна, поэтому для одного и того же набора существует множество одинаково полезных кодов.

Таким образом, коды — это способ отображения $H_{\aleph _{1}}$ в силовой набор $\omega \times \omega$. Использование функции сопряжения на $\omega$ такой как $(n,k)\mapsto (n^{2}+2nk+k^{2}+n+3k)/2$, мы можем сопоставить набор мощности $\omega \times \omega$ в силовой набор $\omega$. И мы можем сопоставить набор мощности $\omega$ в множество Кантора , подмножество действительных чисел . Итак, высказывания о $H_{\aleph _{1}}$ могут быть преобразованы в утверждения о реальности. Поэтому, $H_{\aleph _{1}}\subset L(R)$, где L ( R ) — наименьшая транзитивная внутренняя модель ZF, содержащая все порядковые и все действительные числа.

Коды полезны при создании мышей .