Японская теорема для вписанных четырехугольников

Японская теорема:
□ M ₁ M ₂ M ₃ M ₄ — прямоугольник.
$r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}$

В геометрии японская теорема утверждает, что центры вписанных окружностей некоторых треугольников внутри вписанного четырехугольника являются вершинами прямоугольника . Первоначально оно было указано на табличке сангаку в храме в префектуре Ямагата , Япония, в 1880 году.

Триангуляция произвольного вписанного четырехугольника по его диагоналям дает четыре перекрывающихся треугольника (каждая диагональ создает два треугольника). Центры вписанных окружностей этих треугольников образуют прямоугольник.

В частности, пусть □ ABCD — произвольный вписанный четырёхугольник, и пусть M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ — центры треугольников △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD . образованный M1 _{четырехугольник ,} , M2 _, , M3 _Тогда , M4 _{является} прямоугольником. Доказательства дает Богомольный. и Рейес.

Эту теорему можно расширить для доказательства японской теоремы о циклических многоугольниках , согласно которой сумма вписанных радиусов триангулированного циклического многоугольника не зависит от того, как он триангулирован. Частный случай теоремы для четырехугольников утверждает, что две пары противоположных вписанных окружностей из приведенной выше теоремы имеют равные суммы радиусов. Чтобы доказать случай четырехугольника, просто постройте параллелограмм, касательный к углам построенного прямоугольника, со сторонами, параллельными диагоналям четырехугольника. Построение показывает, что параллелограмм является ромбом, что эквивалентно показу, что суммы радиусов вписанных окружностей, касающихся каждой диагонали, равны. Этот похожий результат получен из более ранней таблички сангаку, также из Ямагаты, 1800 года.

Случай четырехугольника сразу доказывает общий случай, поскольку любые две триангуляции произвольного циклического многоугольника можно соединить последовательностью переворотов , меняющих одну диагональ на другую, заменяя две вписанные окружности в четырехугольнике двумя другими вписанными окружностями с равной суммой радиусов.

См. также

• Теорема Карно
• Японская математика

Дальнейшее чтение

• Манго Ахуджа, Ватару Уэгаки, Кайо Мацусита: «В поисках японской теоремы». В: Журнал математических наук Миссури , том 18, вып. 2 мая 2006 г. ( онлайн в проекте Евклид)
• Ватару Уэгаки: « (О происхождении и истории Японская теоремаの起源と歴史» японской теоремы). Бюллетень факультета, Электронные научные сборники Университета Ми, 1 марта 2001 г.
• Сасабе Садаитиро : решение задач» Archive.org «Геометрический словарь Задача 587.

Внешние ссылки

• Японская теорема, интерактивное доказательство с анимацией