Структура журнала

В алгебраической геометрии лог -структура обеспечивает абстрактный контекст для изучения полустабильных схем и, в частности, понятия логарифмической дифференциальной формы и связанных с ней концепций теории Ходжа . в теории пространств модулей , в теории деформации Фонтейна и p-адической теории Ходжа Эта идея имеет приложения , среди прочего, .

Мотивация

Идея состоит в том, чтобы изучить некоторое алгебраическое многообразие (или схему ) U , которое является гладким но не обязательно правильным, путем вложения его в X , которое является правильным, а затем рассмотрения определенных пучков на X. , Проблема в том, что подпучок ${\mathcal {O}}_{X}$ состоящий из функций, ограничение которых на U обратимо, не является пучком колец (поскольку добавление двух неисчезающих функций может дать одну, которая обращается в нуль), и мы получаем только пучок субмоноидов ${\mathcal {O}}_{X}$ , мультипликативно. Запоминание этой дополнительной структуры на X соответствует запоминанию включения $j\colon U\to X$ , что уподобляет X с этой дополнительной структурой многообразию с границей (соответствующему $D=X-U$ ). ^{[ 1 ]}

Определение

Пусть X — схема. Предлогарифмическая структура на X состоит из пучка (коммутативных) моноидов. ${\mathcal {M}}$ на X вместе с гомоморфизмом моноидов $\alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}$ , где ${\mathcal {O}}_{X}$ рассматривается как моноид при умножении функций.

Структура предварительного журнала $({\mathcal {M}},\alpha )$ представляет собой лог-структуру, если кроме того $\alpha$ индуцирует изоморфизм $\alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ .

Морфизм (пред)логструктур состоит в гомоморфизме пучков моноидов, коммутирующих с соответствующими гомоморфизмами в ${\mathcal {O}}_{X}$ .

Лог-схема — это просто схема, снабженная лог-структурой.

Примеры

Для любой схемы X можно определить тривиальную лог-структуру на X , взяв ${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ и $\alpha$ быть включение.
Мотивирующим примером определения логической структуры являются полустабильные схемы. Пусть X — схема, $j\colon U\to X$ включение открытой подсхемы X с дополнением $D=X-U$ делитель с нормальными пересечениями . Затем существует структура журнала, связанная с этой ситуацией, которая ${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }$ , с $\alpha$ просто морфизм включения в ${\mathcal {O}}_{X}$ . Это называется канонической (или стандартной ) структурой журнала на X связанной с D. ,
Пусть R — кольцо дискретного нормирования с полем вычетов k и полем K. дробей Тогда каноническая структура журнала на $\mathrm {Spec} (R)$ состоит из включения $R\setminus \{0\}$ (и не $R^{\times }$ !) внутри $R$ . Фактически это пример предыдущей конструкции, но если взять $j\colon \mathrm {Spec} (K)\to \mathrm {Spec} (R)$ .
С помощью R , как указано выше, можно также определить структуру полого бревна на $\mathrm {Spec} (R)$ взяв тот же пучок моноидов, что и раньше, но вместо этого отправив максимальный идеал R в 0.

Приложения

Одним из применений логарифмических структур является возможность определять логарифмические формы (также называемые дифференциальными формами с логарифмическими полюсами) в любой логарифмической схеме. Исходя из этого, можно, например, определить лог-гладкость и лог-этальность, обобщая понятия гладких морфизмов и этальных морфизмов . Это затем позволяет изучать теорию деформации .

Кроме того, лог-структуры служат для определения смешанной структуры Ходжа на любом гладком комплексном многообразии X путем взятия компактификации с границей, являющейся дивизором нормальных пересечений D , и записи соответствующего логарифмического комплекса де Рама . ^{[ 2 ]}

Лог-объекты также естественным образом появляются как объекты на границе пространств модулей , т.е. в результате вырождений.

Лог-геометрия также позволяет определить лог-кристаллические когомологии , аналог кристаллических когомологий, который хорошо ведет себя для разновидностей, которые не обязательно гладкие, а только лог-гладкие. Затем это имеет применение к теории представлений Галуа и, в частности, полустабильных представлений Галуа.

См. также

Ссылки

^ Артур Огус (2011). Лекции по логарифмической алгебраической геометрии.
^ Крис А. М. Питерс; Джозеф Х. М. Стинбринк (2008). Смешанные структуры Ходжа. Спрингер. ISBN 978-3-540-77015-2

[Ogus-1] Артур Огус (2011). Лекции по логарифмической алгебраической геометрии.

[MHS-2] Крис А. М. Питерс; Джозеф Х. М. Стинбринк (2008). Смешанные структуры Ходжа. Спрингер. ISBN 978-3-540-77015-2

[ 1 ]

[ 2 ]