Контактная динамика

Контактная динамика изучает движение систем многих тел, подверженных односторонним контактам и трению . Такие системы повсеместно присутствуют во многих приложениях динамики многих тел. Рассмотрим, например

• Контакты между колесами и землей в динамике автомобиля
• Визг тормозов из-за колебаний, вызванных трением
• Движение множества частиц, сфер, падающих в воронку, процессы смешивания (сыпучие среды)
• Часовой механизм
• Шагающие машины
• Произвольные машины с упорами, трением.
• Анатомические ткани (кожа, радужная оболочка/хрусталик, веки/передняя поверхность глаза, суставные хрящи, эндотелий сосудов/клетки крови, мышцы/сухожилия и т. д.)

Далее обсуждается, как можно смоделировать такие механические системы с односторонними контактами и трением и как можно получить временную эволюцию таких систем путем численного интегрирования . Кроме того, приведены некоторые примеры.

Моделирование

Двумя основными подходами к моделированию механических систем с односторонними контактами и трением являются регуляризованный и негладкий подход. Далее два подхода представлены на простом примере. Рассмотрим блок, который может скользить или прилипать к столу (см. рисунок 1а). Движение блока описывается уравнением движения, тогда как сила трения неизвестна (см. рисунок 1б). Чтобы получить силу трения, необходимо указать отдельный закон силы, который связывает силу трения с соответствующей скоростью блока.

Рисунок 1: Блок, который может скользить или прикрепляться к столу. На рисунке а) изображена модель, на рисунке б) уравнение движения с неизвестной силой трения.

Негладкий подход

Более сложный подход — это негладкий подход , который использует законы сил с множеством значений для моделирования механических систем с односторонними контактами и трением. Рассмотрим снова блок, который скользит или прилипает к столу. Соответствующий закон трения с заданным значением типа Sgn изображен на рисунке 3. Что касается случая скольжения, сила трения задана. Что касается случая прилипания, сила трения задана и определяется в соответствии с дополнительным алгебраическим ограничением .

Рисунок 3: Закон фиксированной силы для трения

В заключение отметим, что негладкий подход при необходимости меняет основную математическую структуру и приводит к правильному описанию механических систем с односторонними контактами и трением. В результате изменения математической структуры могут возникнуть удары , и временная эволюция положений и скоростей больше не может считаться гладкой . Как следствие, необходимо определить дополнительные уравнения воздействия и законы воздействия. Чтобы справиться с меняющейся математической структурой, законы сил с множеством значений обычно записываются в виде задач неравенства или включения . Оценка этих неравенств/включений обычно выполняется путем решения линейных (или нелинейных) задач дополнительности , квадратичного программирования или преобразования проблем неравенства/включения в проективные уравнения, которые можно решать итеративно с помощью методов Якоби или Гаусса – Зейделя .Негладкий подход обеспечивает новый подход к моделированию механических систем с односторонними контактами и трением, который включает в себя также всю классическую механику с двусторонними ограничениями. Этот подход связан с классическим Теория DAE и приводит к надежным схемам интеграции.

Численное интегрирование

Интегрирование регуляризованных моделей может быть выполнено с помощью стандартных жестких решателей обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако могут возникать колебания, вызванные регуляризацией. Рассматривая негладкие модели механических систем с односторонними контактами и трением, существуют два основных класса интеграторов: событийно-управляемые и так называемые интеграторы с шагом во времени.

Интеграторы, управляемые событиями

Интеграторы, управляемые событиями, различают плавные части движения, в которых основная структура дифференциальных уравнений не меняется, и события или так называемые точки переключения, в которых эта структура изменяется, т.е. моменты времени, в которые замыкается односторонний контакт или происходит переход рывкового скольжения. В этих точках переключения законы заданной силы (и дополнительного воздействия) оцениваются, чтобы получить новую базовую математическую структуру, на которой можно продолжить интегрирование. Интеграторы, управляемые событиями, очень точны, но не подходят для систем со многими контактами.

Интеграторы временного шага

Интеграторы с шагом во времени представляют собой специальные числовые схемы для механических систем со многими контактами. Первый интегратор с временным шагом был представлен Дж. Дж. Моро. Интеграторы не стремятся решать точки переключения и поэтому очень надежны в применении. Поскольку интеграторы работают с интегралом контактных сил, а не с самими силами, эти методы могут обрабатывать как движение, так и импульсивные события, такие как удары. Недостатком является низкая точность временных интеграторов. Это можно исправить, уточнив размер шага в точках переключения. Плавные части движения обрабатываются с шагом большего размера, а для увеличения порядка интегрирования можно использовать методы интегрирования более высокого порядка.

Примеры

В этом разделе приведены некоторые примеры механических систем с односторонними контактами и трением. Результаты были получены с помощью негладкого подхода с использованием интеграторов с временным шагом.

Гранулированные материалы

Методы временного шага особенно хорошо подходят для моделирования сыпучих материалов. На рисунке 4 показано моделирование смешивания 1000 дисков.

Рисунок 4. Смешивание тысячи дисков

Бильярд

Рассмотрим две сталкивающиеся сферы при игре в бильярд. На рисунке 5а показаны снимки двух сталкивающихся сфер, на рисунке 5б показаны соответствующие траектории.

Рисунок 5: а) Снимок. б) Траектории двух сфер

Колесо мотоцикла

Если мотоцикл разгоняется слишком быстро, он делает вилли. На рис. 6 показаны некоторые снимки моделирования.

Рисунок 6. Колесо мотоцикла.

Движение игрушки дятла

Игрушка-дятел — хорошо известная эталонная задача в контактной динамике. Игрушка состоит из шеста, втулки с отверстием, немного превышающим диаметр шеста, пружины и тела дятла. При работе дятел движется вниз по шесту, совершая своего рода качивающее движение, которое контролируется втулкой. На рис. 7 показаны некоторые снимки моделирования.

Рисунок 7: Моделирование игрушки дятла

Моделирование и визуализацию можно найти по адресу https://github.com/gabyx/Woodpecker .

См. также

• Многотельная динамика
• Контактная механика : Применения с односторонними контактами и трением. Статические приложения (контакт между деформируемыми телами) и динамические приложения (контактная динамика).
• Алгоритм Любачевского-Стиллинджера моделирования сжатия крупных ансамблей твердых частиц

Дальнейшее чтение

• Акари В. и Брольато Б. Численные методы для негладких динамических систем. Приложения в механике и электронике. Springer Verlag, LNACM 35, Гейдельберг, 2008 г.
• Брольято Б. Негладкая механика. Серия «Модели, динамика и управление» , серия «Связь и техника управления» Springer-Verlag, Лондон, 2016 г. (третье изд.)
• Драмрайт Э. и Шелл Д. Моделирование контактного трения и трения в суставах в динамическом роботизированном моделировании с использованием принципа максимального рассеивания. Следы Спрингера в продвинутой робототехнике: алгоритмические основы робототехники IX , 2010 г.
• Глокер, Ч. Динамика систем твердого тела с трением и столкновениями , том 18/182 отчетов ВДИ по механике/механике разрушения. VDI Verlag, Дюссельдорф, 1995 г.
• Глокер Ч. и Студер К. Формулировка и подготовка к численному оцениванию систем линейной дополнительности. Динамика многотельных систем 13(4):447-463, 2005 г.
• Жан М. Метод негладкой контактной динамики. Компьютерные методы в прикладной механике и технике 177(3-4):235-257, 1999 г.
• Моро Дж. Дж. Односторонний контакт и сухое трение в динамике конечной свободы, том 302 журнала « Негладкая механика и приложения», Курсы и лекции CISM . Спрингер, Вена, 1988 г.
• Пфайффер Ф., Форг М. и Ульбрих Х. Численные аспекты негладкой динамики многотельных тел. Вычислить. Методы Прикл. Мех. Engrg 195(50-51):6891-6908, 2006 г.
• Потра Ф.А., Анитеску М., Гавреа Б. и Тринкль Дж. Линейно-неявный трапециевидный метод интеграции жесткой динамики многотельных тел с контактами, соединениями и трением. Межд. Дж. Нумер. Мет. Англия 66(7):1079-1124, 2006
• Стюарт Д.Е. и Тринкл Дж.К. Неявная схема временного шага для динамики твердого тела с неупругими столкновениями и кулоновским трением. Межд. Дж. Нумер. Методы инженерии 39(15):2673-2691, 1996.
• Студер К. Расширенная временная интеграция негладких динамических систем , докторская диссертация ETH Zurich, ETH E-Collection, появится в 2008 г.
• Студер К. Числовые показатели односторонних контактов и трения - моделирование и численное интегрирование времени в негладкой динамике , Конспект лекций по прикладной и вычислительной механике, том 47, Springer, Берлин, Гейдельберг, 2009 г.

Внешние ссылки

• Группа исследования многотельных тел , Центр механики, ETH Zurich.
• Кафедра прикладной механики Мюнхенского технического университета.
• Команда BiPoP , INRIA Рона-Альпы, Франция,
• Программное обеспечение Siconos . Программное обеспечение с открытым исходным кодом, предназначенное для моделирования и моделирования негладких динамических систем, особенно механических систем с контактом и кулоновским трением.
• Динамика многотельных тел , Политехнический институт Ренсселера.
• программное обеспечение dynamY
• Программное обеспечение LMGC90
• Программное обеспечение МигФлоу
• Программное обеспечение Сольфек
• GRSFramework Структура моделирования гранулированного твердого тела, разработанная в IMES в гл. Группа Глокера (Высокопроизводительные вычисления с MPI), 2016 г.
• Chrono , механизм мультифизического моделирования с открытым исходным кодом, см. также веб-сайт проекта , 2017 г.