Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса

( Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса уравнения RANS ) усреднены по времени. ^[а]уравнения движения потока жидкости . Идея, лежащая в основе уравнений, заключается в разложении Рейнольдса , при котором мгновенная величина разлагается на усредненные по времени и колеблющиеся величины, идея, впервые предложенная Осборном Рейнольдсом . ^[1] Уравнения RANS в основном используются для описания турбулентных потоков . Эти уравнения можно использовать с аппроксимациями, основанными на знании свойств турбулентности потока , для получения приближенных усредненных по времени решений уравнений Навье – Стокса .Для стационарного течения несжимаемой ньютоновской жидкости эти уравнения можно записать в обозначениях Эйнштейна в декартовых координатах как: $\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].$

Левая часть этого уравнения представляет собой изменение среднего импульса жидкого элемента из-за нестационарности среднего потока и конвекции среднего потока. Это изменение уравновешивается средней массовой силой, изотропным напряжением, обусловленным полем среднего давления, вязкими напряжениями и кажущимся напряжением. $\left(-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right)$ из-за флуктуирующего поля скоростей, обычно называемого напряжением Рейнольдса . Этот нелинейный член напряжения Рейнольдса требует дополнительного моделирования, чтобы замкнуть уравнение RANS для решения, и привел к созданию множества различных моделей турбулентности . Оператор усреднения по времени ${\overline {.}}$ является оператором Рейнольдса .

Вывод уравнений RANS

Основным инструментом, необходимым для вывода уравнений RANS из мгновенных уравнений Навье – Стокса, является разложение Рейнольдса . Разложение Рейнольдса относится к разделению переменной потока (например, скорости $u$ ) в среднюю (усредненную по времени) составляющую ( ${\overline {u}}$ ) и флуктуационная составляющая ( $u^{\prime }$ ). Поскольку оператор среднего значения является оператором Рейнольдса , он имеет набор свойств. Одним из этих свойств является то, что среднее значение колеблющейся величины равно нулю. $({\bar {u'}}=0)$ . Таким образом, $u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u'({\boldsymbol {x}},t),$ где ${\boldsymbol {x}}=(x,y,z)$ — вектор положения. Некоторые авторы ^[2] предпочитаю использовать $U$ вместо ${\bar {u}}$ для среднего члена (поскольку для обозначения вектора иногда используется верхняя черта). В этом случае колеблющийся член $u^{\prime }$ вместо этого представлен $u$ . Это возможно, поскольку эти два члена не появляются одновременно в одном уравнении. Во избежание путаницы обозначение $u$ , ${\bar {u}}$ , и $u'$ будут использоваться для представления мгновенных, средних и флуктуирующих членов соответственно.

Свойства операторов Рейнольдса полезны при выводе уравнений RANS. Используя эти свойства, уравнения движения Навье – Стокса, выраженные в тензорных обозначениях, имеют вид (для несжимаемой ньютоновской жидкости): ${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0$ ${\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}$ где $f_{i}$ – вектор, представляющий внешние силы.

Затем каждую мгновенную величину можно разбить на усредненную по времени и флуктуирующую компоненты, а полученное уравнение усреднить по времени: ^[б]чтобы дать:

${\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0$ ${\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.$

Уравнение количества движения также можно записать как: ^[с]

${\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}.$ При дальнейших манипуляциях это дает: $\rho {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]$

где, ${\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$ – средний тензор скорости деформации.

Наконец, поскольку интегрирование по времени устраняет зависимость результирующих членов от времени, производную по времени необходимо исключить, оставив: $\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].$

Уравнения напряжения Рейнольдса

Уравнение временной эволюции напряжения Рейнольдса имеет вид: ^[3] ${\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}$ Это уравнение очень сложное. Если ${\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}$ прослеживается, кинетическая энергия турбулентности получается .Последний срок $\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}$ – скорость турбулентной диссипации. Все модели RANS основаны на приведенном выше уравнении.

Приложения (RANS-моделирование)

Было установлено, что модель для тестирования производительности в сочетании с вихревой решеткой (VLM) или методом граничных элементов (BEM) RANS оказалась полезной для моделирования потока воды между двумя гребными винтами противоположного вращения, где VLM или BEM применяются к пропеллеров, а RANS используется для динамически изменяющегося состояния между пропеллерами. ^[4]
Уравнения RANS широко используются в качестве модели для определения характеристик потока и оценки ветрового комфорта в городских условиях. Этот вычислительный подход может быть реализован посредством прямых вычислений, включающих решение уравнений RANS, или с помощью косвенного метода, включающего обучение алгоритмов машинного обучения с использованием уравнений RANS в качестве основы. Прямой подход более точен, чем косвенный, но он требует знаний в области численных методов и вычислительной гидродинамики (CFD), а также значительных вычислительных ресурсов для обработки сложных уравнений. ^[5]

Примечания

^ Истинное среднее время ( ${\bar {X}}$ ) переменной ( $x$ ) определяется ${\bar {X}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x\,dt.$ Чтобы это был четко определенный термин, предел ( ${\bar {X}}$ ) должно быть независимым от начального условия при $t_{0}$ . В случае хаотической динамической системы , которой, как полагают, являются уравнения в турбулентных условиях, это означает, что система может иметь только один странный аттрактор — результат, который еще предстоит доказать для уравнений Навье-Стокса. Однако, предполагая, что предел существует (что и происходит для любой ограниченной системы, какими, безусловно, являются скорости жидкости), существует некоторый $T$ такое, что интеграция из $t_{0}$ к $T$ сколь угодно близко к среднему. Это означает, что при наличии переходных данных за достаточно большое время среднее значение можно вычислить численно с некоторой небольшой ошибкой. Однако аналитического способа получить верхнюю границу величины не существует. $T$ .
^ Разделение каждой мгновенной величины на ее усредненные и колеблющиеся компоненты дает: ${\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}=0$ ${\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}+\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}=\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.$ Усреднение по времени этих уравнений дает: ${\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}=0$ ${\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}}+{\overline {\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}}}={\overline {\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)}}-{\frac {1}{\rho }}{\overline {\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}+\nu {\overline {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}.$ Обратите внимание, что нелинейные члены (например, ${\overline {u_{i}u_{j}}}$ ) можно упростить до ${\overline {u_{i}u_{j}}}={\overline {\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right)}}={\overline {{\bar {u_{i}}}{\bar {u}}_{j}+{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }+u_{i}^{\prime }{\bar {u}}_{j}+u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}={\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}+{\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}$
^ Это следует из уравнения сохранения массы, которое дает: ${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}=0$