Теорема Куратовского–Улама

В математике теорема Куратовского -Улама , введенная Казимежем Куратовским и Станиславом Уламом ( 1932 ), называемая также теоремой Фубини для категории , является аналогом теоремы Фубини для произвольных вторых счетных пространств Бэра .

Пусть X и Y — вторые счетные пространства Бэра (или, в частности, польские пространства ), и пусть $A\subset X\times Y$. Тогда следующие утверждения эквивалентны, если A обладает свойством Бэра :

1. А скуден (соответственно скуден ) .
2. Набор ​ $\{x\in X:A_{x}{\text{ is meager (resp. comeager) in }}Y\}$ является коагером в X, где $A_{x}=\pi _{Y}[A\cap \lbrace x\rbrace \times Y]$, где $\pi _{Y}$ является проекцией на Y .

Даже если А не обладает свойством Бэра, 2 следует из 1. Обратите внимание, что теорема по-прежнему справедлива (возможно, бессмысленно) для X — произвольного хаусдорфова пространства и Y — хаусдорфова пространства со счетной π-базой .

Теорема аналогична обычной теореме Фубини для случая, когда рассматриваемая функция является характеристической функцией в подмножества пространстве-произведении с обычными соответствиями: скудное множество с множеством меры нуль, совпадающее множество с одним из полных мерой, а множество со свойством Бэра — измеримым множеством.

Ссылки

• Куратовски, Казимеж ; Улам, Станислав (1932). «Некоторые топологические свойства комбинаторного произведения» (PDF) . Фундамента Математика . 19 (1). Институт математики Польской академии наук: 247–251. дои : 10.4064/fm-19-1-247-251 .