Махарам алгебра

В математике алгебра Махарама — это полная булева алгебра с непрерывной подмерой (определенной ниже). Их представила Дороти Махарам ( 1947 ).

Определения

или Непрерывная подмера подмера Махарама в булевой алгебре — это вещественная функция m такая, что

• $m(0)=0,m(1)=1,$ и $m(x)>0$ если $x\neq 0$.
• Если $x\leq y$, затем $m(x)\leq m(y)$.
• $m(x\vee y)\leq m(x)+m(y)-m(x\wedge y)$.
• Если $x_{n}$ — убывающая последовательность с наибольшей нижней границей 0, то последовательность $m(x_{n})$ имеет лимит 0.

Алгебра Махарама — это полная булева алгебра с непрерывной подмерой.

Примеры

Каждая вероятностная мера является непрерывной подмерой, поэтому, поскольку соответствующая булева алгебра измеримых множеств по модулю множеств нулевой меры полна, она является алгеброй Махарама.

Мишель Талагранд ( 2008 ) решил давнюю проблему, построив алгебру Махарама, которая не является алгеброй с мерой , т. е . которая не допускает счетно-аддитивной строго положительной конечной меры.

Ссылки

• Balcar, Богуслав ; Йех, Томас (2006), «Слабая дистрибутивность, проблема фон Неймана и тайна измеримости» , Бюллетень символической логики , 12 (2): 241–266, doi : 10.2178/bsl/1146620061 , MR   2223923 , Zbl   1120.03028
• Махарам, Дороти (1947), «Алгебраическая характеристика алгебр с мерой», Annals of Mathematics , Second Series, 48 ​​(1): 154–167, doi : 10.2307/1969222 , JSTOR   1969222 , MR   0018718 , Zbl   0029.20401
• Талагранд, Мишель (2008), «Проблема Махарама», Annals of Mathematics , Second Series, 168 (3): 981–1009, doi : 10.4007/annals.2008.168.981 , JSTOR   40345433 , MR   2456888 , Zbl   1185.28002
• Великович, Бобан (2005), «Принуждение и разделение действительных чисел CCC», Израильский математический журнал , 147 : 209–220, doi : 10.1007/BF02785365 , MR   2166361 , Zbl   1118.03046