Уравнение Бассе–Буссинеска–Осена

В гидродинамике уравнение Бассе -Буссинеска-Озеена ( уравнение BBO ) описывает движение – и силы, действующие на – небольшую частицу в нестационарном потоке при низких числах Рейнольдса . Уравнение названо в честь Жозефа Валентина Буссинеска , Альфреда Барнарда Бассета и Карла Вильгельма Осеена .

Формулировка

Уравнение BBO в формулировке, данной Чжу и Фаном (1998 , стр. 18–27) и Су (1990) , относится к небольшой сферической частице диаметром $d_{p}$ имеющая среднюю плотность $\rho _{p}$ центр которого находится в ${\boldsymbol {X}}_{p}(t)$. Частица движется с лагранжевой скоростью ${\boldsymbol {U}}_{p}(t)={\text{d}}{\boldsymbol {X}}_{p}/{\text{d}}t$ в жидкости плотностью $\rho _{f}$, динамическая вязкость $\mu$ и скоростей эйлерово поле ${\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {x}},t)$. Поле скорости жидкости, окружающее частицу, состоит из невозмущенного локального эйлерова поля скорости. ${\boldsymbol {u}}_{f}$ плюс поле возмущения, создаваемое наличием частицы и ее движением относительно невозмущенного поля. ${\boldsymbol {u}}_{f}.$ Для очень малого диаметра частицы последнее локально является константой, значение которой определяется невозмущенным эйлеровым полем, рассчитанным в месте расположения центра частицы: ${\boldsymbol {U}}_{f}(t)={\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {X}}_{p}(t),t)$. Малый размер частиц также означает, что возмущенный поток может быть найден в пределах очень малого числа Рейнольдса, что приводит к силе сопротивления, определяемой сопротивлением Стокса . Нестационарность потока относительно частицы приводит к вкладу силы за счет добавленной массы и силы Бассета . Уравнение BBO гласит:

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{6}}\rho _{p}d_{p}^{3}{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {U}}_{p}}{{\text{d}}t}}&=\underbrace {3\pi \mu d_{p}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)} _{\text{term 1}}-\underbrace {{\frac {\pi }{6}}d_{p}^{3}{\boldsymbol {\nabla }}p} _{\text{term 2}}+\underbrace {{\frac {\pi }{12}}\rho _{f}d_{p}^{3}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)} _{\text{term 3}}\\&+\underbrace {{\frac {3}{2}}d_{p}^{2}{\sqrt {\pi \rho _{f}\mu }}\int _{t_{_{0}}}^{t}{\frac {1}{\sqrt {t-\tau }}}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}\tau }}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)\,{\text{d}}\tau } _{\text{term 4}}+\underbrace {\sum _{k}{\boldsymbol {F}}_{k}} _{\text{term 5}}.\end{aligned}}$

Это второй закон Ньютона , в котором левая часть — это скорость изменения частицы линейного импульса , а правая — сумма сил, действующих на частицу. Слагаемыми в правой части являются соответственно:

1. сопротивление Стокса,
2. Сила Фруда–Крылова, обусловленная градиентом давления в невозмущенном потоке, при ${\boldsymbol {\nabla }}$ оператор градиента и $p({\boldsymbol {x}},t)$ невозмущенное поле давления,
3. добавленная масса,
4. Бассет сила и
5. другие силы, действующие на частицу, например гравитация и т. д.

Частица число Рейнольдса $R_{e}:$

$R_{e}={\frac {\max \left\{\left|{\boldsymbol {U}}_{p}-{\boldsymbol {U}}_{f}\right|\right\}\,d_{p}}{\mu /\rho _{f}}}$

должно быть меньше единицы, $R_{e}<1$, чтобы уравнение BBO давало адекватное представление о силах, действующих на частицу.

Также Zhu & Fan (1998 , стр. 18–27) предлагают оценивать градиент давления по уравнениям Навье – Стокса :

$-{\boldsymbol {\nabla }}p=\rho _{f}{\frac {{\text{D}}{\boldsymbol {u}}_{f}}{{\text{D}}t}}-\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol {u}}_{f},$

с ${\text{D}}{\boldsymbol {u}}_{f}/{\text{D}}t$ материальная производная от ${\boldsymbol {u}}_{f}.$ Заметим, что в уравнениях Навье–Стокса ${\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {x}},t)$ – поле скорости жидкости, а, как указано выше, в уравнении БВО ${\boldsymbol {U}}_{f}$ — скорость невозмущенного потока, наблюдаемая наблюдателем, движущимся вместе с частицей. Таким образом, даже в устойчивом эйлеровом потоке ${\boldsymbol {u}}_{f}$ зависит от времени, если эйлерово поле неоднородно.

Ссылки

• Чжу, Чао; Фань, Лян-Ши (1998). «Глава 18 – Многофазный поток: газ/твердое тело». В Джонсоне, Ричард В. (ред.). Справочник по гидродинамике . Спрингер. ISBN  9783540646129 .
• Су, Шао Л. (1990). Динамика многофазной жидкости . Издательство Эшгейт. ISBN  9780566090332 .