Закон Стокса

В гидродинамике , закон Стокса — это эмпирический закон силы трения, также называемой силой сопротивления действующей на сферические объекты с очень малыми числами Рейнольдса в вязкой жидкости . ^{[ 1 ]} Он был получен Джорджем Габриэлем Стоксом в 1851 году путем решения предела потока Стокса для малых чисел Рейнольдса уравнений Навье – Стокса . ^{[ 2 ]}

Заявление о законе

Сила вязкости, действующая на небольшую сферу, движущуюся через вязкую жидкость, определяется выражением: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

F_{\rm {d}}=6\pi \mu Rv

где (в единицах СИ ):

$F d$ — сила трения, известная как сопротивление Стокса , действующая на границу раздела между жидкостью и частицей ( ньютоны , кг мс). ⁻²);
$μ$ (некоторые авторы используют обозначение $η$ ) — динамическая вязкость ( Паскаль -секунды, кг·м ⁻¹ с ⁻¹);
$R$ – радиус сферического объекта (метры);
⁠ $v$ ⁠ — скорость потока относительно объекта (метры в секунду).

Закон Стокса делает следующие предположения о поведении частицы в жидкости:

Ламинарный поток
Отсутствие инерционных эффектов (нулевое число Рейнольдса )
Сферические частицы
Однородный (однородный по составу) материал
Гладкие поверхности
Частицы не мешают друг другу.

В зависимости от желаемой точности невыполнение этих предположений может потребовать или не потребовать использования более сложной модели. Например, при ошибке 10% скорости необходимо ограничить до значений Re < 1.

Для молекул закон Стокса используется для определения их радиуса и диаметра Стокса .

В честь его работы единица СГС кинематической вязкости была названа «стокс».

Приложения

Закон Стокса лежит в основе вискозиметра с падающей сферой , в котором жидкость неподвижна в вертикальной стеклянной трубке. Через жидкость опускается сфера известного размера и плотности. При правильном выборе он достигает конечной скорости, которую можно измерить по времени, необходимому для прохождения двух отметок на трубке. Электронное зондирование можно использовать для непрозрачных жидкостей. Зная конечную скорость, размер и плотность сферы, а также плотность жидкости, закон Стокса можно использовать для расчета вязкости жидкости . В классическом эксперименте для повышения точности расчета обычно используется серия стальных шарикоподшипников разного диаметра. В школьном эксперименте в качестве жидкости используется глицерин или золотой сироп , а этот метод используется в промышленности для проверки вязкости жидкостей, используемых в технологических процессах. Некоторые школьные эксперименты часто включают изменение температуры и/или концентрации используемых веществ, чтобы продемонстрировать влияние этого на вязкость. Промышленные методы включают в себя множество различных масла и полимерные жидкости, такие как растворы.

Важность закона Стокса иллюстрируется тем фактом, что он сыграл решающую роль в исследованиях, приведших как минимум к трем Нобелевским премиям. ^{[ 5 ]}

Закон Стокса важен для понимания плавания микроорганизмов и сперматозоидов ; также осаждение мелких частиц и организмов в воде под действием силы тяжести. ^{[ 5 ]}

В воздухе ту же теорию можно использовать, чтобы объяснить, почему маленькие капли воды (или кристаллы льда) могут оставаться во взвешенном состоянии в воздухе (в виде облаков), пока не вырастут до критического размера и не начнут падать в виде дождя (или снега и града). ^{[ 6 ]} Аналогичное использование уравнения можно использовать при осаждении мелких частиц в воде или других жидкостях. ^{[ нужна ссылка ]}

Конечная скорость сферы, падающей в жидкость

При конечной скорости (или скорости стабилизации) избыточная сила $F e,$ возникающая из-за разницы между весом и плавучестью сферы (оба вызваны силой тяжести ^{[ 7 ]}) дается:

F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},

где (в единицах СИ ):

$ρ p$ — плотность массы сферы [кг/м ³]
$ρ f$ — массовая плотность жидкости [кг/м ³]
$g$ — ускорение свободного падения [м/с ²]

Требование баланса сил $F d = F e$ и определение скорости $v$ дает конечную скорость $v s$ . Обратите внимание, что, поскольку избыточная сила увеличивается с ростом $R 3$ и сопротивление Стокса увеличивается как $R$ , конечная скорость увеличивается как $R 2$ и, таким образом, сильно зависит от размера частиц, как показано ниже. Если при падении в вязкой жидкости частица испытывает только собственный вес, то конечная скорость достигается, когда сумма сил трения и плавучести, действующих на частицу из-за жидкости, точно уравновешивает гравитационную силу . Эта скорость $v$ [м/с] определяется выражением: ^{[ 7 ]}

v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically downwards}}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically upwards}}\end{cases}}

где (в единицах СИ):

$g$ — напряженность гравитационного поля [м/с ²]
$R$ — радиус сферической частицы [м]
$ρ p$ — массовая плотность частицы [кг/м ³]
$ρ f$ — массовая плотность жидкости [кг/м ³]
$μ$ — динамическая вязкость [кг/(м•с)].

Вывод

Устойчивый стоксов поток

В потоке Стокса при очень малом числе Рейнольдса члены конвективного ускорения в уравнениях Навье – Стокса пренебрегаются. Тогда уравнения течения для несжимаемого установившегося потока примут вид : ^{[ 8 ]}

{\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}

где:

$p$ — давление жидкости (в Па),
$u$ - скорость потока (в м/с), а
$ω$ – завихренность (в с ⁻¹), определяемый как ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .$

Используя некоторые тождества векторного исчисления , можно показать, что эти уравнения приводят к уравнениям Лапласа для давления и каждого из компонентов вектора завихренности: ^{[ 8 ]}

\nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0

и

\nabla ^{2}p=0.

Дополнительные силы, такие как сила тяжести и плавучесть, не были приняты во внимание, но их можно легко добавить, поскольку приведенные выше уравнения являются линейными, поэтому линейную суперпозицию можно применить решений и связанных с ними сил.

Поперечное обтекание сферы

Для случая сферы в однородном потоке в дальней зоне выгодно использовать цилиндрическую систему координат $(r, φ, z)$ . Ось $z$ проходит через центр сферы и совпадает со средним направлением потока, а $r$ представляет собой радиус, измеренный перпендикулярно оси $z$ . Начало координат находится в центре сферы. Поскольку поток осесимметричен вокруг $оси z$ , он не зависит от азимута $φ$ .

В этой цилиндрической системе координат несжимаемый поток можно описать функцией тока Стокса $ψ$ , зависящей от $r$ и $z$ : ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},

где $u r$ и $u z$ — компоненты скорости потока в $направлении r$ и $z$ соответственно. Азимутальная составляющая скорости в $φ$ -направлении в этом осесимметричном случае равна нулю. Объемный поток через трубку, ограниченную поверхностью некоторой постоянной величины $ψ$ , равен $2 πψ$ и является постоянным. ^{[ 9 ]}

Для этого случая осесимметричного течения единственной ненулевой компонентой вектора завихренности $ω$ является азимутальная $φ$ –компонента $ω φ$ ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

\omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.

Оператор Лапласа , примененный к завихренности $ω φ$ , в этой цилиндрической системе координат с осесимметрией принимает вид: ^{[ 12 ]}

\nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.

Из двух предыдущих уравнений и с соответствующими граничными условиями для скорости однородного потока $u$ в дальней зоне в $направлении z$ и сферы радиуса $R$ находится решение: ^{[ 13 ]}

\psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].

Решение скорости в цилиндрических координатах и компонентах выглядит следующим образом:

{\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}

Стокс-обтекание сферы с параметрами скорости в дальнем поле $\mathbf {u} _{\infty }={\begin{pmatrix}6&0&6\end{pmatrix}}^{T}{\text{m/s}}$ , радиус сферы $R=1\;{\text{m}}$ , вязкость воды (Т = 20°С) $\mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}$ . Показаны силовые линии поля скорости и амплитуды скорости, давления и завихренности с псевдоцветами.

Решение завихренности в цилиндрических координатах выглядит следующим образом:

\omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}

Решение давления в цилиндрических координатах имеет вид:

p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}

Решение давления в сферических координатах выглядит следующим образом:

p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}

Формулу давления также называют дипольным потенциалом, аналогично понятию в электростатике.

Более общая формулировка с произвольным вектором скорости в дальней зоне $\mathbf {u} _{\infty }$ , в декартовых координатах $\mathbf {x} =(x,y,z)^{T}$ следует с: ${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}$

{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}

p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}

В этой формулировке неконсервативный член представляет собой разновидность так называемого Стокслета . Стокса — это функция Грина уравнений потока Стокса. Консервативный член равен полю дипольного градиента . Формула завихренности аналогична закону Био–Савара в электромагнетизме .

Альтернативно, более компактно, можно сформулировать поле скорости следующим образом:

\mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R

,

где $\mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla$ – матричный дифференциальный оператор Гессе и $\mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H}$ — дифференциальный оператор, состоящий из разности лапласиана и гессиана. Таким образом, становится явно ясно, что решение состоит из производных потенциала кулоновского типа ( $1/\|\mathbf {x} \|$ ) и потенциал бигармонического типа ( $\|\mathbf {x} \|$ ). Дифференциальный оператор $\mathrm {S}$ применяется к векторной норме $\|\mathbf {x} \|$ генерирует Стокслета.

Следующая формула описывает тензор вязких напряжений для частного случая стоксова течения. Он нужен при расчете силы, действующей на частицу. В декартовых координатах вектор-градиент $\nabla \mathbf {u}$ идентична матрице Якобиана . Матрица $I$ представляет собой единичную матрицу .

{\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)

рассчитывают с помощью поверхностного интеграла, где $er Силу, действующую на сферу ,$ представляет собой радиальный единичный вектор сферических координат :

{\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}

Вращательное обтекание сферы

Стокса-обтекание сферы: ${\boldsymbol {\omega }}_{R}={\begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}}^{T}\;{\text{Hz}}$ , $\mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}$ , $R=1\;{\text{m}}$

{\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}

Другие типы стоксова течения

Хотя жидкость статична и сфера движется с определенной скоростью, относительно рамки сферы сфера покоится, и жидкость течет в направлении, противоположном движению сферы.

См. также

Соотношение Эйнштейна (кинетическая теория)
Научные законы, названные в честь людей
Уравнение перетаскивания
Вискозиметрия
Эквивалентный сферический диаметр
Отложение (геология)
Число Стокса - определяющий фактор дополнительного влияния турбулентности на конечную скорость падения частиц в жидкостях. ^{[ 14 ]}

Источники

Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2 .
Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9 . Первоначально опубликованное в 1879 году, шестое расширенное издание появилось впервые в 1932 году.

Ссылки

^ Стоукс, Г.Г. (1856). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников» . Труды Кембриджского философского общества . 9, часть II: 8–106. Бибкод : 1851TCaPS...9....8S . Формула для конечной скорости ( V ) приведена на стр. [52], уравнение (127).
^ Бэтчелор (1967), с. 233.
^ Лейдлер, Кейт Дж .; Мейзер, Джон Х. (1982). Физическая химия . Бенджамин/Каммингс. п. 833. ИСБН 0-8053-5682-7 .
^ Роберт Байрон, Берд; Уоррен Э., Стюарт; Эдвин Н., Лайтфут (7 августа 2001 г.). Транспортные явления (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 61. ИСБН 0-471-41077-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дюзенбери, Дэвид (2009). Жизнь на микроуровне: неожиданная физика маленького размера . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-03116-6 . OCLC 225874255 .
^ Хэдли, Питер. «Почему облака не падают?» . Институт физики твердого тела, ТУ Грац . Архивировано из оригинала 12 июня 2017 года . Проверено 30 мая 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Лэмб (1994), §337, с. 599.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), раздел 4.9, с. 229.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), раздел 2.2, с. 78.
^ Лэмб (1994), §94, с. 126.
^ Бэтчелор (1967), раздел 4.9, с. 230
^ Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), приложение 2, с. 602.
^ Лэмб (1994), §337, с. 598.
^ Дей, С; Али, СЗ; Падхи, Э (2019). «Конечная скорость падения: наследие Стокса с точки зрения речной гидравлики» . Труды Королевского общества А. 475 (2228). дои : 10.1098/rspa.2019.0277 . ПМК 6735480 . 20190277.

[1] Стоукс, Г.Г. (1856). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников» . Труды Кембриджского философского общества . 9, часть II: 8–106. Бибкод : 1851TCaPS...9....8S . Формула для конечной скорости ( V ) приведена на стр. [52], уравнение (127).

[Batch233-2] Бэтчелор (1967), с. 233.

[3] Лейдлер, Кейт Дж .; Мейзер, Джон Х. (1982). Физическая химия . Бенджамин/Каммингс. п. 833. ИСБН 0-8053-5682-7 .

[4] Роберт Байрон, Берд; Уоррен Э., Стюарт; Эдвин Н., Лайтфут (7 августа 2001 г.). Транспортные явления (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 61. ИСБН 0-471-41077-2 .

[Dusenbery2009-5] Перейти обратно: ^а ^б Дюзенбери, Дэвид (2009). Жизнь на микроуровне: неожиданная физика маленького размера . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-03116-6 . OCLC 225874255 .

[6] Хэдли, Питер. «Почему облака не падают?» . Институт физики твердого тела, ТУ Грац . Архивировано из оригинала 12 июня 2017 года . Проверено 30 мая 2015 г.

[Lamb599-7] Перейти обратно: ^а ^б Лэмб (1994), §337, с. 599.

[Batch229-8] Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), раздел 4.9, с. 229.

[Batch78-9] Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), раздел 2.2, с. 78.

[10] Лэмб (1994), §94, с. 126.

[Batch230-11] Бэтчелор (1967), раздел 4.9, с. 230

[Batch602-12] Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), приложение 2, с. 602.

[13] Лэмб (1994), §337, с. 598.

[14] Дей, С; Али, СЗ; Падхи, Э (2019). «Конечная скорость падения: наследие Стокса с точки зрения речной гидравлики» . Труды Королевского общества А. 475 (2228). дои : 10.1098/rspa.2019.0277 . ПМК 6735480 . 20190277.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]