Добавлена масса

В механике жидкости добавленная масса или виртуальная масса — это инерция , добавленная к системе, поскольку ускоряющееся или замедляющееся тело должно перемещать (или отклонять) некоторый объем окружающей жидкости при движении через нее. Добавленная масса является распространенной проблемой, поскольку объект и окружающая жидкость не могут одновременно занимать одно и то же физическое пространство. Для простоты это можно смоделировать как некоторый объем жидкости, движущийся вместе с объектом, хотя на самом деле «вся» жидкость будет ускорена в разной степени.

коэффициент Безразмерный добавленной массы представляет собой добавленную массу, разделенную на вытесненную массу жидкости, т. е. деленную на плотность жидкости , умноженную на объем тела. второго порядка В общем, добавленная масса представляет собой тензор ускорения жидкости , связывающий вектор с результирующим вектором силы, действующей на тело. ^[1]

Фон

Фридрих Вильгельм Бессель предложил концепцию добавленной массы в 1828 году для описания движения маятника в жидкости. Период такого маятника увеличился по сравнению с его периодом в вакууме (даже с учетом эффектов плавучести ), что указывает на то, что окружающая жидкость увеличивает эффективную массу системы. ^[2]

Концепция добавленной массы, возможно, является первым примером перенормировки в физике. ^[3]^[4]^[5]Эту концепцию также можно рассматривать как классический физический аналог квантовомеханической концепции квазичастиц . Однако его не следует путать с релятивистским увеличением массы .

Часто ошибочно утверждают, что добавленная масса определяется импульсом жидкости. Что это не так, становится ясно, если рассмотреть случай жидкости в большом ящике, где импульс жидкости в каждый момент времени равен нулю. Добавленная масса фактически определяется квазиимпульсом: добавленная масса, умноженная на ускорение тела, равна производной по времени квазиимпульса жидкости. ^[4]

Виртуальная массовая сила

Нестационарные силы, возникающие из-за изменения относительной скорости тела, погруженного в жидкость, можно разделить на две части: эффект виртуальной массы и силу Бассета .

Происхождение силы состоит в том, что жидкость приобретает кинетическую энергию за счет работы, совершаемой ускоряющимся погруженным телом.

Можно показать, что виртуальная массовая сила для сферической частицы, погруженной в невязкую несжимаемую жидкость, равна ^[6]

\mathbf {F} ={\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\left({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right),

где жирные символы обозначают векторы, $\mathbf {u}$ жидкости — скорость потока , $\mathbf {v}$ - скорость сферической частицы, $\rho _{\mathrm {c} }$ - массовая плотность жидкости , (сплошная фаза) $V_{\mathrm {p} }$ — объем частицы, а D/D t обозначает производную материала .

Происхождение понятия «виртуальная масса» становится очевидным, если мы взглянем на уравнение импульса частицы.

m_{\mathrm {p} }{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\left({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right),

где $\sum \mathbf {F}$ представляет собой сумму всех других сил, действующих на частицу, таких как гравитация , градиент давления , сопротивление , подъемная сила , сила Бассета и т. д.

Переместив производную скорости частицы из правой части уравнения в левую, получим

\left(m_{\mathrm {p} }+{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\right){\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}{\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}},

таким образом, частица ускоряется, как если бы она имела добавленную массу, равную половине жидкости, которую она вытесняет, а также имеется дополнительный вклад силы с правой стороны из-за ускорения жидкости.

Приложения

Добавленную массу можно включить в большинство физических уравнений, если рассматривать эффективную массу как сумму массы и добавленной массы. Эта сумма широко известна как «виртуальная масса».

Простая формулировка добавленной массы для сферического тела позволяет записать классический второй закон Ньютона в виде

F=m\,a

становится

F=(m+m_{\text{added}})\,a.

Можно показать, что добавленная масса сферы (радиуса $r$ ) является ${\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{fluid}}$ , что равно половине объема сферы, умноженной на плотность жидкости. Для обычного тела добавленная масса становится тензором (называемым тензором индуцированной массы), компоненты которого зависят от направления движения тела. Не все элементы в добавленном тензоре массы будут иметь размерность «масса», некоторые будут иметь размерность «масса × длина», а некоторые — «масса × длина». ².

На все тела, ускоряющиеся в жидкости, будет влиять добавленная масса, но поскольку добавленная масса зависит от плотности жидкости, этим эффектом часто пренебрегают для плотных тел, падающих в гораздо менее плотных жидкостях. В ситуациях, когда плотность жидкости сравнима с плотностью тела или превышает ее, добавленная масса часто может превышать массу тела, и пренебрежение ею может привести к значительным ошибкам в расчетах.

Например, сферический пузырь воздуха, поднимающийся в воде, имеет массу ${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{air}}$ но добавленная масса ${\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{water}}.$ Поскольку вода примерно в 800 раз плотнее воздуха (при RTP ), добавленная масса в этом случае примерно в 400 раз превышает массу пузырька.

Военно-морская архитектура

Эти принципы также применимы к кораблям, подводным лодкам и морским платформам. В морской промышленности добавленную массу называют гидродинамической добавленной массой. При проектировании корабля при выполнении анализа мореходности необходимо учитывать энергию, необходимую для ускорения добавленной массы. Для кораблей добавленная масса может легко достигать одной четверти или одной трети массы корабля и, следовательно, представляет собой значительную инерцию в дополнение к силам трения и волнообразования .

Для некоторых геометрий, свободно погружающихся в столб воды, гидродинамическая добавленная масса, связанная с тонущим телом, может быть намного больше, чем масса объекта. Такая ситуация может возникнуть, например, когда тонущее тело имеет большую плоскую поверхность, вектор нормали которой направлен в сторону движения (вниз). Значительное количество кинетической энергии высвобождается при резком торможении такого объекта (например, из-за удара о морское дно).

В морской отрасли гидродинамические добавленные массы различной геометрии являются предметом серьезных исследований. Эти исследования обычно требуются в качестве входных данных для оценки риска падения объектов под водой (исследования, направленные на количественную оценку риска воздействия падающих объектов на подводную инфраструктуру). Поскольку гидродинамическая добавленная масса может составлять значительную часть общей массы тонущего объекта в момент удара, она существенно влияет на расчетное сопротивление, рассматриваемое для подводных защитных сооружений.

Близость к границе (или другому объекту) может влиять на количество гидродинамической добавленной массы. Это означает, что добавленная масса зависит как от геометрии объекта, так и от его близости к границе. Для плавающих тел (например, кораблей/судов) это означает, что реакция плавучего тела (т. е. из-за воздействия волн) изменяется на конечной глубине воды (на большой глубине эффект практически отсутствует). Конкретная глубина (или близость к границе), на которой влияет гидродинамическая добавленная масса, зависит от геометрии тела, а также местоположения и формы границы (например, причала, дамбы, переборки или морского дна).

Гидродинамическая добавленная масса, связанная со свободно тонущим объектом вблизи границы, аналогична массе плавающего тела. В общем, гидродинамическая добавленная масса увеличивается по мере уменьшения расстояния между границей и телом. Эта характеристика важна при планировании подводных установок или прогнозировании движения плавучего тела в условиях мелководья.

Воздухоплавание

В самолетах (кроме воздушных шаров легче воздуха и дирижаблей) добавленная масса обычно не принимается во внимание, поскольку плотность воздуха очень мала.

Гидротехнические сооружения

Гидравлические конструкции, такие как плотины или шлюзы, часто содержат подвижные стальные конструкции, такие как клапаны или ворота, которые погружены под воду. Эти стальные конструкции часто состоят из тонких стальных пластин, закрепленных на балках. Когда стальные конструкции ускоряются или замедляются, перемещается также значительное количество воды. Эту добавленную массу необходимо учитывать, например, при проектировании систем привода для этих стальных конструкций.

См. также

Сила Бассета для описания влияния истории относительного движения тела на силы вязкости в стоксовом потоке
Уравнение Бассе–Буссинеска–Озеена для описания движения и сил, действующих на частицу, движущуюся в нестационарном потоке при малых числах Рейнольдса
Дарвиновский дрейф для связи между добавленной массой и дрейфовым объемом Дарвина
Число Кьюлегана – Карпентера для безразмерного параметра, показывающего относительную важность силы сопротивления и инерции при волновой нагрузке.
Уравнение Морисона для эмпирической силовой модели волнового нагружения с учетом добавленной массы и сопротивления
Оператор амплитуды отклика для использования добавленной массы в конструкции корабля

Ссылки

^ Ньюман, Джон Николас (1977). Морская гидродинамика . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . §4.13, с. 139. ИСБН 978-0-262-14026-3 .
^ Стоукс, Г.Г. (1851). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников». Труды Кембриджского философского общества . 9 :8–106. Бибкод : 1851TCaPS...9....8S .
^ Гонсалес, Хосе; Мартин-Дельгадо, Мигель А.; Сьерра, Герман; Возмедиано, Анхелес Х. (1995). электронные жидкости и высокотемпературная _{сверхпроводимость} . Квантовые Спрингер. п. 32. ISBN 978-3-540-60503-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Фалькович, Григорий (2011). Механика жидкости, краткий курс для физиков . Издательство Кембриджского университета. Раздел 1.3. ISBN 978-1-107-00575-4 .
^ Бишевель, А.; Споэльстра, С. (1989). «Прибавленный массовый коэффициент распыления сферических пузырьков газа в жидкости» . Международный журнал многофазного потока . 15 (6): 911–924. дои : 10.1016/0301-9322(89)90020-7 .
^ Кроу, Клейтон Т.; Зоммерфельд, Мартин; Цудзи, Ютака (1998). Многофазные потоки с каплями и частицами . ЦРК Пресс. дои : 10.1201/b11103 . ISBN 9780429106392 .

Внешние ссылки

[1] Ньюман, Джон Николас (1977). Морская гидродинамика . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . §4.13, с. 139. ИСБН 978-0-262-14026-3 .

[2] Стоукс, Г.Г. (1851). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников». Труды Кембриджского философского общества . 9 :8–106. Бибкод : 1851TCaPS...9....8S .

[3] Гонсалес, Хосе; Мартин-Дельгадо, Мигель А.; Сьерра, Герман; Возмедиано, Анхелес Х. (1995). электронные жидкости и высокотемпературная _{сверхпроводимость} . Квантовые Спрингер. п. 32. ISBN 978-3-540-60503-4 .

[Falkovich-4] Перейти обратно: ^а ^б Фалькович, Григорий (2011). Механика жидкости, краткий курс для физиков . Издательство Кембриджского университета. Раздел 1.3. ISBN 978-1-107-00575-4 .

[5] Бишевель, А.; Споэльстра, С. (1989). «Прибавленный массовый коэффициент распыления сферических пузырьков газа в жидкости» . Международный журнал многофазного потока . 15 (6): 911–924. дои : 10.1016/0301-9322(89)90020-7 .

[6] Кроу, Клейтон Т.; Зоммерфельд, Мартин; Цудзи, Ютака (1998). Многофазные потоки с каплями и частицами . ЦРК Пресс. дои : 10.1201/b11103 . ISBN 9780429106392 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]