Уравнение восхода солнца

График светового дня в зависимости от даты изменения широты. Этот график был создан с использованием простого уравнения восхода Солнца, аппроксимирующего Солнце как одну точку и не учитывающего эффектов, вызванных атмосферой или диаметром Солнца.

Уравнение восхода или заката можно использовать для определения времени восхода или заката солнца для любого солнечного склонения и широты с точки зрения местного солнечного времени, когда фактически происходят восход и закат.

Формулировка

Он формулируется как:

\cos \omega _{\circ }=-\tan \phi \times \tan \delta

где:

\omega _{\circ }

— угол солнечного часа либо на восходе солнца (когда принимается отрицательное значение), либо на закате (когда принимается положительное значение);

\phi

– широта наблюдателя на Земле ;

\delta

Солнца это склонение .

Принципы

Земля . вращается с угловой скоростью 15°/час Следовательно, выражение $\omega _{\circ }/\mathrm {15} ^{\circ }$ , где $\omega _{\circ }$ в градусах, дает интервал времени в часах от восхода солнца до местного солнечного полудня или от местного солнечного полудня до заката .

Соглашение о знаках обычно заключается в том, что широта наблюдателя $\phi$ равно 0 на экваторе , положительно для северного полушария и отрицательно для южного полушария , а солнечное склонение $\delta$ равен 0 в дни весеннего и осеннего равноденствия , когда солнце находится точно над экватором, положительный летом в северном полушарии и отрицательный зимой в северном полушарии.

Выражение выше всегда применимо для широт между Полярным кругом и Южным полярным кругом . К северу от Полярного круга или к югу от Полярного круга есть по крайней мере один день в году без восхода и захода солнца. Формально, есть восход или закат, когда $-90^{\circ }+\delta <\phi <90^{\circ }-\delta$ летом в Северном полушарии, и когда $-90^{\circ }-\delta <\phi <90^{\circ }+\delta$ зимой в Северном полушарии. Для мест за пределами этих широт это либо 24-часовое дневное время , либо 24-часовое ночное время .

Выражения для солнечного часового угла

В уравнении, приведенном в начале, функция косинуса в левой части дает результаты в диапазоне [-1, 1], но значение выражения в правой части находится в диапазоне $[-\infty ,\infty ]$ . Применимое выражение для $\omega _{\circ }$ в формате Фортрана 90 выглядит следующим образом:

omegao = acos(max(min(-tan(delta*rpd)*tan(phi*rpd), 1.0), -1.0))*dpr

где омегао $\omega _{\circ }$ градусах дельта в $\delta$ в градусах фи равно $\phi$ в градусах rpd равно ${\frac {\pi }{180}}$ , а dpr равен ${\frac {180}{\pi }}$ .

Вышеприведенное выражение дает результаты в степени в диапазоне $[0^{\circ },180^{\circ }]$ . Когда $\omega _{\circ }=0^{\circ }$ , это означает, что сейчас полярная ночь или 0-часовой световой день; когда $\omega _{\circ }=180^{\circ }$ , это означает, что сейчас полярный день или 24-часовой световой день.

Отношение полушарий

Предполагать $\phi _{N}$ - заданная широта в северном полушарии, а $\omega _{\circ N}$ — соответствующий угол восхода солнца, имеющий отрицательное значение, и аналогично $\phi _{S}$ находится на той же широте, но в южном полушарии, что означает $\phi _{S}=-\phi _{N}$ , и $\omega _{\circ S}$ — соответствующий угол часа восхода солнца, то очевидно, что

\cos \omega _{\circ S}=-\cos \omega _{\circ N}=\cos(-180^{\circ }-\omega _{\circ N})

,

что означает

\omega _{\circ N}+\omega _{\circ S}=-180^{\circ }

.

Из приведенного выше соотношения следует, что в один и тот же день продолжительность дня от восхода до захода солнца в $\phi _{N}$ и $\phi _{S}$ сумма равна 24 часам, если $\phi _{S}=-\phi _{N}$ , причем это касается и регионов, где бывают полярные дни и полярные ночи. Это также предполагает, что глобальная средняя продолжительность дневного времени в любой конкретный день составляет 12 часов без учета влияния атмосферной рефракции.

Обобщенное уравнение

В приведенном выше уравнении не учитывается влияние атмосферной рефракции (которая поднимает солнечный диск — т. е. заставляет солнечный диск казаться выше в небе — примерно на 0,6°, когда он находится на горизонте) и ненулевой угол, образуемый солнечным диском — т. е. видимый диаметр Солнца — (около 0,5°). Время восхода и захода верхнего лимба Солнца, указанное в астрономических альманахах, корректирует это с помощью более общего уравнения

\cos \omega _{\circ }={\dfrac {\sin a-\sin \phi \times \sin \delta }{\cos \phi \times \cos \delta }}

с углом высоты (а) центра солнечного диска, равным примерно -0,83 ° (или -50 угловых минут).

Приведенное выше общее уравнение можно также использовать для любой другой высоты Солнца. NOAA предоставляет дополнительные приблизительные выражения для поправок за рефракцию на этих других высотах. ^[1] Существуют также альтернативные формулировки, такие как некусочное выражение Г.Г. Беннета, используемое в «Программном обеспечении векторной астрономии» Военно-морской обсерватории США. ^[2]

Полный расчет на Земле

Обобщенное уравнение опирается на ряд других переменных, которые необходимо вычислить, прежде чем его можно будет вычислить самостоятельно. В этих уравнениях солнечно-земные константы заменены угловыми константами, выраженными в градусах.

Рассчитать текущий юлианский день

n=\lceil J_{\text{date}}-2451545.0+0.0008\rceil

где:

n

— количество дней с 12:00 1 января 2000 г.

J_{\text{date}}

это юлианская дата ;

2451545.0 — это эквивалент юлианского года юлианским дням для 01 января 2000 г., 12:00:00.

0,0008 — это дробный юлианский день для високосных секунд и земного времени (TT).

1 января 1958 года TT было установлено на 32,184 секунды с отставанием от TAI. К 1972 году, когда была введена дополнительная секунда, были добавлены 10 секунд. К 1 января 2017 года было добавлено еще 27 секунд, что составило 69,184 секунды. 0,0008=69,184/86400 без DUT1 .

The

\lceil \cdot \rceil

операция округляет до следующего целого числа дней n.

Среднее солнечное время

J^{\star }=n-{\dfrac {l_{w}}{360^{\circ }}}

где:

J^{\star }

является аппроксимацией среднего солнечного времени в целом числе

n

выражается в юлианских днях с дробью дня.

l_{\omega }

– долгота (запад – отрицательная, восток – положительная) наблюдателя на Земле;

Средняя солнечная аномалия

M=(357.5291+0.98560028\times J^{\star }){\bmod {3}}60

где:

M — средняя солнечная аномалия, используемая в следующих трех уравнениях.

Уравнение центра

C=1.9148\sin(M)+0.0200\sin(2M)+0.0003\sin(3M)

где:

C — это уравнение центрального значения, необходимое для расчета лямбды (см. следующее уравнение).

1,9148 — коэффициент уравнения центра планеты, на которой находится наблюдатель (в данном случае Земли).

Эклиптическая долгота

\lambda =(M+C+180+102.9372){\bmod {3}}60

где:

λ — эклиптическая долгота .

102,9372 — это значение аргумента перигелия .

Солнечный транзит

J_{transit}=2451545.0+J^{\star }+0.0053\sin M-0.0069\sin \left(2\lambda \right)

где:

J- _{транзит} — это юлианская дата местного истинного солнечного транзита (или солнечного полудня ).

2451545.0 — это полдень соответствующего юлианского года .

0.0053\sin M-0.0069\sin \left(2\lambda \right)

представляет собой упрощенную версию уравнения времени . Коэффициенты представляют собой дробные дни.

Склонение Солнца

\sin \delta =\sin \lambda \times \sin 23.4397^{\circ }

где:

\delta

это склонение Солнца.

23,4397 ° - максимальный наклон оси Земли к Солнцу. ^[3]

Часовой угол

Это уравнение, приведенное выше, с поправками на атмосферную рефракцию и диаметр солнечного диска.

\cos \omega _{\circ }={\dfrac {\sin(-0.833^{\circ })-\sin \phi \times \sin \delta }{\cos \phi \times \cos \delta }}

где:

ω _o — часовой угол наблюдателя от меридиана ;

\phi

— северная широта наблюдателя (север положителен, юг отрицателен) на Земле.

Для наблюдений на морском горизонте, требующих поправки на высоту наблюдателя, добавьте $-1.15^{\circ }{\sqrt {\text{elevation in feet}}}/60$ , или $-2.076^{\circ }{\sqrt {\text{elevation in metres}}}/60$ до -0,833 ° в синусоидальном члене числителя. Это корректирует как видимое падение, так и земную рефракцию. Например, для наблюдателя на высоте 10 000 футов добавьте (-115°/60) или примерно от -1,92° до -0,833°. ^[4]

Рассчитать восход и заход солнца

J_{rise}=J_{transit}-{\dfrac {\omega _{\circ }}{360^{\circ }}}

J_{set}=J_{transit}+{\dfrac {\omega _{\circ }}{360^{\circ }}}

где:

Jrise _— фактическая дата восхода солнца по юлианскому календарю;

J _set — это фактическая дата заката по юлианскому календарю.

Пример реализации на Python

#!/usr/bin/env python3

import logging
from datetime import datetime, timedelta, timezone, tzinfo
from math import acos, asin, ceil, cos, degrees, fmod, radians, sin, sqrt
from time import time

log = logging.getLogger()


def _ts2human(ts: int | float, debugtz: tzinfo | None) -> str:
    return str(datetime.fromtimestamp(ts, debugtz))


def j2ts(j: float | int) -> float:
    return (j - 2440587.5) * 86400


def ts2j(ts: float | int) -> float:
    return ts / 86400.0 + 2440587.5


def _j2human(j: float | int, debugtz: tzinfo | None) -> str:
    ts = j2ts(j)
    return f'{ts} = {_ts2human(ts, debugtz)}'


def _deg2human(deg: float | int) -> str:
    x = int(deg * 3600.0)
    num = f'∠{deg:.3f}°'
    rad = f'∠{radians(deg):.3f}rad'
    human = f'∠{x // 3600}°{x // 60 % 60}′{x % 60}″'
    return f'{rad} = {human} = {num}'


def calc(
        current_timestamp: float,
        f: float,
        l_w: float,
        elevation: float = 0.0,
        *,
        debugtz: tzinfo | None = None,
) -> tuple[float, float, None] | tuple[None, None, bool]:
    log.debug(f'Latitude               f       = {_deg2human(f)}')
    log.debug(f'Longitude              l_w     = {_deg2human(l_w)}')
    log.debug(f'Now                    ts      = {_ts2human(current_timestamp, debugtz)}')

    J_date = ts2j(current_timestamp)
    log.debug(f'Julian date            j_date  = {J_date:.3f} days')

    # Julian day
    # TODO: ceil ?
    n = ceil(J_date - (2451545.0 + 0.0009) + 69.184 / 86400.0)
    log.debug(f'Julian day             n       = {n:.3f} days')

    # Mean solar time
    J_ = n + 0.0009 - l_w / 360.0
    log.debug(f'Mean solar time        J_      = {J_:.9f} days')

    # Solar mean anomaly
    # M_degrees = 357.5291 + 0.98560028 * J_  # Same, but looks ugly
    M_degrees = fmod(357.5291 + 0.98560028 * J_, 360)
    M_radians = radians(M_degrees)
    log.debug(f'Solar mean anomaly     M       = {_deg2human(M_degrees)}')

    # Equation of the center
    C_degrees = 1.9148 * sin(M_radians) + 0.02 * sin(2 * M_radians) + 0.0003 * sin(3 * M_radians)
    # The difference for final program result is few milliseconds
    # https://www.astrouw.edu.pl/~jskowron/pracownia/praca/sunspot_answerbook_expl/expl-4.html
    # e = 0.01671
    # C_degrees = \
    #     degrees(2 * e - (1 / 4) * e ** 3 + (5 / 96) * e ** 5) * sin(M_radians) \
    #     + degrees(5 / 4 * e ** 2 - (11 / 24) * e ** 4 + (17 / 192) * e ** 6) * sin(2 * M_radians) \
    #     + degrees(13 / 12 * e ** 3 - (43 / 64) * e ** 5) * sin(3 * M_radians) \
    #     + degrees((103 / 96) * e ** 4 - (451 / 480) * e ** 6) * sin(4 * M_radians) \
    #     + degrees((1097 / 960) * e ** 5) * sin(5 * M_radians) \
    #     + degrees((1223 / 960) * e ** 6) * sin(6 * M_radians)

    log.debug(f'Equation of the center C       = {_deg2human(C_degrees)}')

    # Ecliptic longitude
    # L_degrees = M_degrees + C_degrees + 180.0 + 102.9372  # Same, but looks ugly
    L_degrees = fmod(M_degrees + C_degrees + 180.0 + 102.9372, 360)
    log.debug(f'Ecliptic longitude     L       = {_deg2human(L_degrees)}')

    Lambda_radians = radians(L_degrees)

    # Solar transit (julian date)
    J_transit = 2451545.0 + J_ + 0.0053 * sin(M_radians) - 0.0069 * sin(2 * Lambda_radians)
    log.debug(f'Solar transit time     J_trans = {_j2human(J_transit, debugtz)}')

    # Declination of the Sun
    sin_d = sin(Lambda_radians) * sin(radians(23.4397))
    # cos_d = sqrt(1-sin_d**2) # exactly the same precision, but 1.5 times slower
    cos_d = cos(asin(sin_d))

    # Hour angle
    some_cos = (sin(radians(-0.833 - 2.076 * sqrt(elevation) / 60.0)) - sin(radians(f)) * sin_d) / (cos(radians(f)) * cos_d)
    try:
        w0_radians = acos(some_cos)
    except ValueError:
        return None, None, some_cos > 0.0
    w0_degrees = degrees(w0_radians)  # 0...180

    log.debug(f'Hour angle             w0      = {_deg2human(w0_degrees)}')

    j_rise = J_transit - w0_degrees / 360
    j_set = J_transit + w0_degrees / 360

    log.debug(f'Sunrise                j_rise  = {_j2human(j_rise, debugtz)}')
    log.debug(f'Sunset                 j_set   = {_j2human(j_set, debugtz)}')
    log.debug(f'Day length                       {w0_degrees / (180 / 24):.3f} hours')

    return j2ts(j_rise), j2ts(j_set), None


def main():
    logging.basicConfig(level=logging.DEBUG)
    latitude = 33.00801
    longitude = 35.08794
    elevation = 0
    print(calc(time(), latitude, longitude, elevation, debugtz=timezone(timedelta(hours=3), 'fake-zone')))


if __name__ == '__main__':
    main()

См. также

Ссылки

^ НОАА (Министерство торговли США). «Детали солнечного расчета» . Лаборатория глобального мониторинга ESRL – Глобальная радиация и аэрозоли .
^ «Таблицы поправок на высоту секстанта» . www.siranah.de .
^ «Информационный бюллетень о Земле» .
^ Точный источник этих цифр трудно отследить, но в «Записках о падении горизонта» содержится описание, дающее еще одну менее значимую цифру, а на другой странице серии указано -2,075.

Внешние ссылки

[1] НОАА (Министерство торговли США). «Детали солнечного расчета» . Лаборатория глобального мониторинга ESRL – Глобальная радиация и аэрозоли .

[2] «Таблицы поправок на высоту секстанта» . www.siranah.de .

[3] «Информационный бюллетень о Земле» .

[4] Точный источник этих цифр трудно отследить, но в «Записках о падении горизонта» содержится описание, дающее еще одну менее значимую цифру, а на другой странице серии указано -2,075.

[1]

[2]

[3]

[4]