Матроид ранга

В математической теории матроидов звание матроид является максимальным размером независимого набора в матроиде. Ранг подмножества элементов матоидера аналогично - максимальный размер независимого подмножества S и ранга функции наборов элементов Matroid карт в их ряды.

Рейн -функция является одной из фундаментальных концепций теории Matroid, посредством которой матроиды могут быть аксиоматизированы. Функции ранга Matroid образуют важный подкласс функций подмодулярного набора . Ранные функции матоидов, определенные из некоторых других типов математических объектов, таких как неправомерные графики , матрицы и расширения поля, важны в рамках изучения этих объектов.

Примеры

Во всех примерах E является базовым набором Matroid, а B некоторое подмножество E. -

Пусть M - бесплатная матроид , где независимые наборы являются подмножествами e . Тогда ранга функции М - просто: r ( b ) = | B |.
Пусть M - единый матроид , где независимые наборы являются подмножествами E с большинством k -элементов, для некоторого целого числа k . Тогда ранг функция M : r ( b ) = min ( k , | b |).
Пусть M - раздел Matroid элементы E разделены на категории, каждая категория C имеет емкость K _C , а независимые наборы - это те, которые содержат наиболее k _{-элементы} категории C. : Тогда ранга функции M : R ( B ) = сумма _C MIN ( k _C , | B _C |), где B _C - подмножество B , содержащееся в категории c .
Пусть M -графическая матовая железа , где независимые наборы представляют собой все ациклические наборы краев ( леса ) некоторых непосредственных неистовых графиков g . Тогда ранг функция r ( b количества подключенных компонентов B )-это количество вершин на графике, за исключением (включая одноразовые компоненты).

Свойства и аксиоматизация

Рейн -функция Matroid подчиняется следующим свойствам.

(R1) Значение функции ранга всегда является неотрицательным целым числом , а ранг пустого набора составляет 0.

(R2) для любых подмножеств $A$ и $B$ из $E$ , $r(A\cup B)+r(A\cap B)\leq r(A)+r(B)$ Полем То есть ранг представляет собой субмодулярную функцию .

(R3) для любого набора $A$ и элемент $x$ , $r(A)\leq r(A\cup \{x\})\leq r(A)+1$ .

Эти свойства могут быть использованы в качестве аксиомов для характеристики ранговой функции матридов: каждая целочисленная субмодулярная функция на подмножествах конечного набора, который подчиняется неравенству $r(A)\leq r(A\cup \{x\})\leq r(A)+1$ для всех $A$ и $x$ это ранга функции Matroid. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Приведенные выше свойства подразумевают дополнительные свойства:

Если $A\subset B\subset E$ , затем $r(A)\leq r(B)\leq r(E)$ Полем То есть ранг - это монотонная функция .
$r(A)\leq |A|$ .

Другие свойства Matroid из ранга

Функция ранга может использоваться для определения других важных свойств матроид:

Набор является независимым, если и только тогда, когда его ранг равен его кардинальности, и зависит тогда и только тогда, когда он имеет большую кардинальность, чем ранг. ^{[ 3 ]}
Непустые наборы - это схема, если его кардинальность равна одному плюс его ранг, и каждое подмножество, сформированное путем удаления одного элемента из набора, имеет равный ранг. ^{[ 3 ]}
Набор является основой, если его ранг равняется как его кардинальности, так и ранжирования Matroid. ^{[ 3 ]}
Набор закрыт, если он максимален для своего ранга, в том смысле, что нет никакого элемента, который может быть добавлен в него при сохранении того же ранга.
Разница $|A|-r(A)$ называется недействительностью подмножества $A$ Полем Это минимальное количество элементов, которое должно быть удалено из $A$ Чтобы получить независимый набор. ^{[ 4 ]}
Коранк подмножества $A$ может ссылаться как минимум две разные величины: некоторые авторы используют его для обозначения ранга $A$ в двойной матроид, $r^{*}(A)=|A|+r(E\setminus A)-r(E)$ , в то время как другие авторы используют Corank для обозначения разницы $r(E)-r(A)$ .

Ряды специальных матроидов

В теории графиков ранг схемы (или цикломатического числа) графика является коранком соответствующей графической матроид ; Он измеряет минимальное количество краев, которые должны быть удалены из графика, чтобы оставшиеся края образовали лес. ^{[ 5 ]} Несколько авторов изучили параметризованную сложность алгоритмов графика, параметризованных этим номером. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

В линейной алгебре звание линейной матрицы , определяемое линейной независимостью из столбцов матрицы, является рангом матрицы , ^{[ 8 ]} и это также измерение векторного пространства, охватываемого колоннами.

В абстрактной алгебре звание матроид, определенное из наборов элементов в расширении поля L / K с помощью алгебраической независимости, известно как степень трансцендентности . ^{[ 9 ]}

Функции ранга Matroid как функции утилиты

Функции ранга Matroid (MRF) использовались для представления полезных функций агентов в задачах справедливого распределения предметов . Если функция полезности агента является MRF, это означает, что:

Утилита агента имеет уменьшающуюся доходность (это следует из того факта, что MRF является субмодулярной функцией);
агента Периочная утилита для каждого элемента является дихотомической (двоичной) - либо 0, либо 1. Добавление элемента в пакет либо добавляет утилиты, либо добавляет утилиту 1.

Следующие решения известны для этой настройки:

Babaioff, Ezra и Feige ^{[ 10 ]} Разработать детерминированный полиномиальный правдивый механизм , называемый приоритетным эгалитарным, который выводит доминирующее распределение Лоренца, которое, следовательно, также является EFX ₀ , максимизирует продукт коммунальных услуг, достигает максимальной доли 1/2-Fraction и достигает полной доли максимина, когда оценки достигает 1/2-фракционного. являются аддитивными. С случайными приоритетами этот механизм также не является бывшим без зависти . Они также изучают e -дихотомические оценки, в которых маргинальная полезность является либо неположительной, либо в диапазоне [1,1+ E ].
Бенаббу, Чакраборти, Игараши и Зик ^{[ 11 ]} Покажите, что в этом обстановке каждое оптимальное распределение парето максимизирует сумму коммунальных услуг ( утилитарное благосостояние ), набор распределений, которые максимизируют симметричную строго- вогнутую функцию F над всеми максимальными распределениями, не зависит от выбора F и все эти F -максимизирующие ассигнования являются EF1. Это подразумевает, что ассигнования максимального продукта-это нептимальные ассигнования лексина, и все они-макс-сумасшедшие и EF1. Они также представляют алгоритм полиномиального времени, который вычисляет максимальное распределение и EF1 (которое не обязательно максимизирует вогнутую функцию), и алгоритм полиномиального времени, который максимизирует вогнутую функцию для особого случая MRF, основанных на максимальной кардинальности. Сопоставление в двухпартийных графиках.

Функции Matroid-Rank представляют собой подклассы грубых заменителей .

Смотрите также

Ранга Oracle

Ссылки

^ Шикаре, мм; Waphare, BN (2004), Комбинаторная оптимизация , Alpha Science Int'l Ltd., p. 155, ISBN 9788173195600 .
^ Welsh, DJA (2010), Теория Matroid , Courier Dover Publications, p. 8, ISBN 9780486474397 .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Оксли (2006) , с. 25
^ Оксли (2006) , с. 34
^ Berge, Claude (2001), «Цикломатическое число», теория графиков , Courier Dover Publications, с. 27–30, ISBN 9780486419756 .
^ Coppersmith, Don ; Vishkin, Uzi (1985), «Решение проблем NP-Hard в« почти деревьях »: обложка вершины», дискретная прикладная математика , 10 (1): 27–45, doi : 10.1016/0166-218x (85) 90057-5 , ZBL 0573.68017 .
^ Фиала, Джидж; Клокс, Тон; Kratochvíl, Jan (2001), «Сложность фиксированного параметра λ-webelings», дискретная прикладная математика , 113 (1): 59–72, doi : 10.1016/s0166-218x (00) 00387-5 , vl 0982.05085 .
^ Оксли, Джеймс Г. (2006), Теория Matroid , Оксфордские тексты по математике, вып. 3, издательство Оксфордского университета, с. 81, ISBN 9780199202508 .
^ Lindström, B. (1988), "Matroids, Algebraic и Nonalgebraic", Algebraic, Extremal и Metric Combinatorics, 1986 (Montreal, PQ, 1986) , London Math. Соц Лекция примечание ser., Vol. 131, Кембридж: Cambridge Univ. Press, стр. 166–174, MR 1052666 .
^ Бабайофф, Моше; Эзра, Томер; Фейдж, Уриэль (2020-07-27). «Справедливые и правдивые механизмы для дихотомических оценок». Arxiv : 2002.10704 [ Cs.gt ].
^ Бенаббу, Навал; Чакраборти, Митхун; Игараши, Аюми; Зик, Яир (2020). Поиск справедливой и эффективной ассигнования, когда оценки не складываются . Заметки лекции в информатике. Тол. 12283. С. 32–46. Arxiv : 2003.07060 . doi : 10.1007/978-3-030-57980-7_3 . ISBN 978-3-030-57979-1 Полем S2CID 208328700 .

[1] Шикаре, мм; Waphare, BN (2004), Комбинаторная оптимизация , Alpha Science Int'l Ltd., p. 155, ISBN 9788173195600 .

[2] Welsh, DJA (2010), Теория Matroid , Courier Dover Publications, p. 8, ISBN 9780486474397 .

[o25-3] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Оксли (2006) , с. 25

[4] Оксли (2006) , с. 34

[5] Berge, Claude (2001), «Цикломатическое число», теория графиков , Courier Dover Publications, с. 27–30, ISBN 9780486419756 .

[6] Coppersmith, Don ; Vishkin, Uzi (1985), «Решение проблем NP-Hard в« почти деревьях »: обложка вершины», дискретная прикладная математика , 10 (1): 27–45, doi : 10.1016/0166-218x (85) 90057-5 , ZBL 0573.68017 .

[7] Фиала, Джидж; Клокс, Тон; Kratochvíl, Jan (2001), «Сложность фиксированного параметра λ-webelings», дискретная прикладная математика , 113 (1): 59–72, doi : 10.1016/s0166-218x (00) 00387-5 , vl 0982.05085 .

[8] Оксли, Джеймс Г. (2006), Теория Matroid , Оксфордские тексты по математике, вып. 3, издательство Оксфордского университета, с. 81, ISBN 9780199202508 .

[9] Lindström, B. (1988), "Matroids, Algebraic и Nonalgebraic", Algebraic, Extremal и Metric Combinatorics, 1986 (Montreal, PQ, 1986) , London Math. Соц Лекция примечание ser., Vol. 131, Кембридж: Cambridge Univ. Press, стр. 166–174, MR 1052666 .

[10] Бабайофф, Моше; Эзра, Томер; Фейдж, Уриэль (2020-07-27). «Справедливые и правдивые механизмы для дихотомических оценок». Arxiv : 2002.10704 [ Cs.gt ].

[11] Бенаббу, Навал; Чакраборти, Митхун; Игараши, Аюми; Зик, Яир (2020). Поиск справедливой и эффективной ассигнования, когда оценки не складываются . Заметки лекции в информатике. Тол. 12283. С. 32–46. Arxiv : 2003.07060 . doi : 10.1007/978-3-030-57980-7_3 . ISBN 978-3-030-57979-1 Полем S2CID 208328700 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]