Эссе по решению проблемы в учении о шансах

«Очерк решения проблемы доктрины шансов» — это работа Томаса Байеса по математической , теории вероятностей опубликованная в 1763 году. через два года после смерти автора и содержит множество поправок и дополнений, внесенных его другом Ричардом Прайсом . Название происходит от современного использования фразы «доктрина шансов» для обозначения теории вероятностей, которая была представлена ​​​​в названии книги Абрахама де Муавра . Современные переиздания «Очерка» носят более конкретное и значимое название: «Метод расчета точной вероятности всех заключений, основанный на индукции» .

Эссе включает в себя теоремы об условной вероятности , которые составляют основу того, что сейчас называется теоремой Байеса , а также подробное рассмотрение проблемы установления априорной вероятности .

Байес предположил последовательность независимых экспериментов, каждый из которых имел в качестве результата либо успех, либо неудачу, причем вероятность успеха равна некоторому числу p от 0 до 1. Но затем он предположил, что p — неопределенная величина, вероятность нахождения которой в любом интервале между 0 и 1 — длина интервала. Говоря современным языком, p можно было бы считать случайной величиной, равномерно распределенной между 0 и 1. В зависимости от значения p испытания, приведшие к успеху или неудаче, являются независимыми, но безоговорочно (или « крайне незначительно ») они таковыми не являются. Это связано с тем, что если наблюдается большое количество успехов, то p , скорее всего, будет большим, так что успех в следующем испытании более вероятен. Вопрос, к которому обратился Байес, заключался в следующем: каково условное распределение вероятностей p , учитывая количество наблюдавшихся успехов и неудач. Ответ заключается в том, что его функция плотности вероятности равна

$f(p)={\frac {(n+1)!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}{\text{ for }}0\leq p\leq 1$

(и ƒ ( p ) = 0 для p < 0 или p > 1), где k — количество наблюдаемых на данный момент успехов, а n — количество наблюдаемых на данный момент испытаний. Это то, что сегодня называют бета-распределением с параметрами k + 1 и n − k + 1.

Схема

Предварительные результаты Байеса по условной вероятности (особенно предложения 3, 4 и 5) подразумевают истинность теоремы, названной в его честь. Он утверждает: «Если есть два последующих события, то вероятность второго b/N и вероятность обоих вместе P/N, и впервые обнаружено, что второе событие также произошло, следовательно, я предполагаю, что первое событие тоже произошло, вероятность того, что я прав, равна P/b». . Символически это означает (см. Stigler 1982):

$P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ if }}P(A)\neq 0,$

что приводит к теореме Байеса для условных вероятностей:

$\Rightarrow P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0.$

Однако не похоже, чтобы Байес подчеркивал или сосредоточивал внимание на этом открытии. Скорее, он сосредоточился на поиске решения гораздо более широкой проблемы вывода:

«Учитывая количество раз, когда неизвестное событие происходило и терпело неудачу, [... найдите] вероятность того, что вероятность того, что оно произойдет в одном испытании, лежит где-то между любыми двумя степенями вероятности, которые можно назвать».

В эссе приведен пример человека, пытающегося угадать соотношение «бланков» и «призов» в лотерее. На данный момент мужчина наблюдал, как в лотерее разыгралось десять бланков и один приз. Учитывая эти данные, Байес подробно показал, как вычислить вероятность того, что соотношение бланков и призов находится в пределах от 9:1 до 11:1 (вероятность невысока — около 7,7%). Далее он описал это вычисление после того, как мужчина наблюдал, как в лотерее вытянули двадцать бланков и два приза, сорок бланков и четыре приза и так далее. Наконец, вытянув 10 000 бланков и 1000 призов, вероятность достигает около 97%.

Основной результат Байеса (предложение 9) в современных терминах выглядит следующим образом:

Предположим равномерное априорное распределение биномиального параметра $p$. После наблюдения $m$ успехи и $n$ неудачи,

$P(a<p<b\mid m;n)={\frac {\int _{a}^{b}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}{\int _{0}^{1}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}}.$

Неясно, был ли Байес «байесовцем» в современном смысле слова. То есть, интересовался ли он байесовским выводом или просто вероятностью . Предложение 9 кажется «байесовским» в его представлении как вероятность относительно параметра $p$. Однако Байес сформулировал свой вопрос в манере, предполагающей частотную точку зрения: он предполагал, что шар брошен наугад на квадратный стол (этот стол часто ошибочно представляют как бильярдный стол, а шар — как бильярдный шар, но Байес никогда не описывает их как таковые), и рассматривал дальнейшие шары, упавшие слева или справа от первого шара с вероятностями $p$ и $1-p$. Алгебра, конечно, одинакова, независимо от того, какую точку зрения принять.

Ричард Прайс и существование Бога

Ричард Прайс обнаружил эссе Байеса и его ныне знаменитую теорему в его бумагах после смерти Байеса. Он считал, что теорема Байеса помогла доказать существование Бога («Божества») , и во введении к эссе написал следующее:

«Цель, которую я имею в виду, состоит в том, чтобы показать, какие основания у нас есть для веры в то, что в строении вещей существуют фиксированные законы, согласно которым все происходит, и что, следовательно, устройство мира должно быть результатом мудрости и силы разумной причины и, таким образом, подтвердить аргумент, взятый из конечных причин существования Божества. Легко увидеть, что обратная проблема, решаемая в этом эссе, более непосредственно применима к этой цели, поскольку она показывает нам, с. четкости и точности в каждом случае какого-либо особого порядка или повторяемости событий, какое основание думать, что такая повторяемость или порядок вытекает из устойчивых причин или правил в природе, а не из каких-либо случайностей». ( Философские труды Лондонского королевского общества , 1763 г.)

Говоря современным языком, это пример телеологического аргумента .

Версии эссе

• Байес, г-н; Прайс, мистер (1763). «Очерк решения проблемы доктрины шансов. Покойный преподобный г-н Байес, FRS, переданный г-ном Прайсом в письме Джону Кантону, AMFR S» (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества . 53 : 370–418. дои : 10.1098/rstl.1763.0053 .
• Барнард, Джорджия (1958). «Исследования по истории вероятности и статистики: Ix. Эссе Томаса Байеса о решении проблемы доктрины шансов». Биометрика . 45 (3–4): 293–295. дои : 10.1093/biomet/45.3-4.293 .
• Томас Байес «Очерк решения проблемы учения о шансах» . (эссе Байеса в оригинальных обозначениях)

Комментарии

• Г. А. Барнард (1958) «Исследования по истории вероятности и статистики: IX. Эссе Томаса Байеса о решении проблемы доктрины шансов», Biometrika 45: 293–295. (биографические заметки)
• Стивен М. Стиглер (1982). «Байесовский вывод Томаса Байеса», Журнал Королевского статистического общества , серия A, 145:250–258. (Стиглер выступает за пересмотренную интерпретацию эссе; рекомендуется)
• Исаак Тодхантер (1865). История математической теории вероятностей со времен Паскаля до времен Лапласа , Макмиллана. Перепечатано в 1949, 1956 годах издательством «Челси» и в 2001 году издательством Томмес.

Внешние ссылки

• Эссе по решению проблемы в доктрине шансов в Интернет-архиве
• Эссе по решению проблемы доктрины шансов на Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе факультете статистики