Полиномы Курнвиндера

В математике полиномы Макдональда-Курнвиндера (также называемые полиномами Курнвиндера ) представляют собой семейство ортогональных полиномов от нескольких переменных, введенное Курнвиндером. и И.Г. Макдональд , которые обобщают полиномы Аски – Вильсона . Это полиномы Макдональда , присоединенные к нередуцированной аффинной корневой системе типа ( C ^∨
_n , C _n ), и, в частности, удовлетворяют аналогам гипотез Макдональда . Кроме того, Ян Фелипе ван Диен показал, что полиномы Макдональда, связанные с любой классической корневой системой, могут быть выражены как пределы или частные случаи полиномов Макдональда-Курнвиндера, и нашел полные наборы конкретных коммутирующих разностных операторов, диагонализируемых ими. Более того, существует большой класс интересных семейств ортогональных полиномов от многих переменных, связанных с классическими системами корней, которые являются вырожденными случаями полиномов Макдональда-Курнвиндера. Полиномы Макдональда-Курнвиндера изучались также с помощью аффинных алгебр Гекке .

Полином Макдональда-Курнвиндера от n переменных, связанный с разбиением λ, представляет собой уникальный полином Лорана, инвариантный относительно перестановки и обращения переменных, со старшим мономом x ^л , и ортогональный относительно плотности

$\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {(x_{i}x_{j},x_{i}/x_{j},x_{j}/x_{i},1/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}{(tx_{i}x_{j},tx_{i}/x_{j},tx_{j}/x_{i},t/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(x_{i}^{2},1/x_{i}^{2};q)_{\infty }}{(ax_{i},a/x_{i},bx_{i},b/x_{i},cx_{i},c/x_{i},dx_{i},d/x_{i};q)_{\infty }}}$

на единичном торе

$|x_{1}|=|x_{2}|=\cdots |x_{n}|=1$,

где параметры удовлетворяют ограничениям

$|a|,|b|,|c|,|d|,|q|,|t|<1,$

и ( x ; q ) _∞ обозначает бесконечный символ q-Похгаммера .Здесь ведущий моном x ^л означает, что µ≤λ для всех термов x ^м с ненулевым коэффициентом, где µ≤λ тогда и только тогда, когда µ ₁ ≤λ ₁ , µ ₁ +μ ₂ ≤λ ₁ +λ ₂ , …, µ ₁ +…+μ _n ≤λ ₁ +…+λ _n .При дальнейших ограничениях, что q и t вещественны и что a , b , c , d вещественны или, если они комплексные, встречаются в сопряженных парах, данная плотность положительна.

Ссылки

• Коорнвиндер, Том Х. (1992), «Полиномы Аски-Вильсона для корневых систем типа BC», Contemporary Mathematics , 138 : 189–204, doi : 10.1090/conm/138/1199128 , MR   1199128 , S2CID   14028685
• Ван Диен, Ян Ф. (1996), «Самодвойственные полиномы Курнвиндера-Макдональда», Mathematical Inventions , 126 (2): 319–339, arXiv : q-alg/9507033 , Bibcode : 1996InMat.126..319V , doi : 10.1007/s002220050102 , MR   1411136 , S2CID   17405644
• Сахи, С. (1999), «Несимметричные полиномы Курнвиндера и двойственность», Annals of Mathematics , Second Series, 150 (1): 267–282, arXiv : q-alg/9710032 , doi : 10.2307/121102 , JSTOR   121102 , MR   1715325 , S2CID   8958999
• Ван Диен, Ян Ф. (1995), «Коммутирующие разностные операторы с полиномиальными собственными функциями», Compositio Mathematica , 95 : 183–233, arXiv : funct-an/9306002 , MR   1313873
• ван Диен, Ян Ф. (1999), «Свойства некоторых семейств гипергеометрических ортогональных полиномов от нескольких переменных», Trans. амер. Математика. Соц. , 351 : 233–70, arXiv : q-alg/9604004 , doi : 10.1090/S0002-9947-99-02000-0 , MR   1433128 , S2CID   16214156
• Ноуми, М. (1995), «Полиномы Макдональда-Курнвиндера и аффинные кольца Гекке», Различные аспекты гипергеометрических функций , Surikaisekikenkyusho Kokyuroku (на японском языке), vol. 919, стр. 44–55, МР   1388325.
• Макдональд, И.Г. (2003), Аффинные алгебры Гекке и ортогональные многочлены , Кембриджские трактаты по математике, том. 157, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. x+175, ISBN  978-0-521-82472-9 , г-н   : 1976581
• Стокман, Джаспер В. (2004), «Конспекты лекций по полиномам Курнвиндера», Лекции Ларедо по ортогональным полиномам и специальным функциям , Adv. Теория Спец. Функц. Ортогональные полиномы, Хауппож, Нью-Йорк: Nova Science Publishers, стр. 145–207, MR   2085855.