Черный полином

Корни полинома Фекете для p = 43

В математике полином Фекете — это многочлен

$f_{p}(t):=\sum _{a=0}^{p-1}\left({\frac {a}{p}}\right)t^{a}\,$

где $\left({\frac {\cdot }{p}}\right)\,$ является символом Лежандра по модулю некоторого целого числа p > 1.

девятнадцатого века Эти полиномы были известны в исследованиях L-функций Дирихле , а также самому Дирихле . Они получили имя Михаэля Фекете , который заметил, что отсутствие вещественных нулей t у полинома Фекете с 0 < t < 1 влечет за собой отсутствие такого же рода для L-функции

$L\left(s,{\dfrac {x}{p}}\right).\,$

Это представляет значительный потенциальный интерес в теории чисел в связи с гипотетическим нулем Зигеля вблизи s = 1. Хотя численные результаты для небольших случаев показали, что таких реальных нулей немного, дальнейший анализ показывает, что это действительно может быть «маленькое число». ' эффект.

Ссылки

• Питер Борвейн : Вычислительные экскурсы в анализ и теорию чисел. Спрингер, 2002 г., ISBN   0-387-95444-9 , Глава 5.

Внешние ссылки

• Брайан Конри , Эндрю Грэнвилл , Бьорн Пунен и Каннан Саундарараджан , Нули полиномов Фекете , arXiv e-print math.NT/9906214, 16 июня 1999 г.