Метод вязких вихревых доменов

вязких вихревых областей ( ВВД ) Метод — это бессеточный метод вычислительной гидродинамики для прямого численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса в координатах Лагранжа . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Он не реализует никакой модели турбулентности и не содержит произвольных параметров. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы представить поле завихренности дискретными областями (доменами), которые движутся с диффузионной скоростью относительно жидкости и сохраняют свою циркуляцию . Тот же подход использовался в методе скорости диффузии Огами и Акамацу. ^{[ 3 ]} но ВВД использует другие дискретные формулы

Функции

Метод ВВД имеет дело с вязкой несжимаемой жидкостью. Вязкость и плотность жидкости считаются постоянными. Метод может быть расширен для моделирования течений теплопроводной жидкости ( метод вязких вихревых тепловых областей ).

Основные особенности:

Прямое решение уравнений Навье-Стокса ( DNS )
Расчет силы трения о поверхности тела
Правильное описание пограничных слоев (даже турбулентных)
Бесконечная вычислительная область
Удобное моделирование деформирующихся границ ^{[ 4 ]}
Исследование взаимодействия течения со структурой, ^{[ 5 ]} даже в случае нулевой массы
Предполагаемая численная диффузия и критерии устойчивости ^{[ 6 ]}

Основные уравнения

Метод ВВД основан на теореме ^{[ 1 ]} что циркуляция в вязкой жидкости сохраняется на контурах, движущихся со скоростью

\mathbf {u} =\mathbf {V} +\mathbf {V} _{d};~~~\mathbf {V} _{d}=-\nu {\dfrac {\nabla \mathbf {\Omega } }{|\mathbf {\Omega } |}};~~~\mathbf {\Omega } =[\nabla \times \mathbf {V} ]

,

где V — скорость жидкости, V _d — скорость диффузии, ν — кинематическая вязкость . Эта теорема имеет сходство с теоремой Кельвина о циркуляции , но работает для вязких потоков.

На основании этой теоремы область течения с ненулевой циркуляцией представляется числом доменов (небольших областей с конечными объемами), которые движутся со скоростью u и, следовательно, их циркуляцией. $\gamma$ остается постоянным. Фактические границы каждого домена не отслеживаются, но сохраняются координаты единственной точки отслеживания в каждом домене. Массив координат и циркуляций областей известен либо из граничных условий , либо из начальных условий . Такое движение приводит к развитию завихренности и удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса.

Дискретные формулы

Скорость жидкости V в точке r можно рассчитать с помощью закона Био-Савара.

\mathbf {V} (\mathbf {r} )={\dfrac {1}{2\pi }}\sum _{i}\gamma _{i}\cdot \left[\mathbf {e} _{z}\times {\dfrac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})^{2}+\delta ^{2}}}\right]

где i индексирует домены в потоке, r _i — точка отслеживания домена и γ _i — его циркуляция. δ — это так называемый «радиус дискретности» — небольшая величина, которая сглаживает вихрь и помогает избавиться от сингулярности в точке слежения за областью. ^{[ 6 ]} Это соответствует среднему расстоянию между доменами.

Расчет скорости диффузии сложнее. ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

\mathbf {V} _{d}(\mathbf {r} )=\nu \left({\dfrac {\mathbf {I} _{2}(\mathbf {r} )}{I_{1}(\mathbf {r} )}}+{\dfrac {\mathbf {I} _{3}(\mathbf {r} )}{2\pi \varepsilon ^{2}-I_{0}(\mathbf {r} )}}\right)

Первая фракция производит вихревое взаимодействие ( i — индекс вихря).

\mathbf {I} _{2}(\mathbf {r} )=\sum \limits _{i}{\dfrac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{\varepsilon \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|}}\cdot \gamma _{i}\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|/\varepsilon )

I_{1}(\mathbf {r} )={\sum \limits _{i}\gamma _{i}\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|/\varepsilon )}

А вторая фракция представляет собой вихрево-граничное отталкивание. Это помогает вычислить ∇Ω вблизи поверхности тела и правильно описать пограничный слой.

\mathbf {I} _{3}(\mathbf {r} )={\sum \limits _{k}d\mathbf {S} _{k}\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}\right|/\varepsilon )}

I_{0}(\mathbf {r} )={\varepsilon ^{2}\sum \limits _{k}{\dfrac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}\right|/\varepsilon +1}{(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k})^{2}}}\cdot ((\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k})\cdot d\mathbf {S} _{k})\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}\right|/\varepsilon )}

Здесь k индексирует отрезки границы, r _k — ее центр, d S _k — ее нормаль, умноженную на длину .

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Дынникова, Г.Я. (1 ноября 2004 г.). «Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса». Доклады Физики . 49 (11): 648–652. Бибкод : 2004ДокФ..49..648Д . дои : 10.1134/1.1831530 . S2CID 120396276 .
^ Дынникова, Г.Я. (16–21 мая 2010 г.). «Метод вязких вихревых доменов (VVD) для моделирования нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости» (PDF) . Материалы IV Европейской конференции по вычислительной механике, Париж, Франция .
^ Огами, Ёсифуми; Акамацу, Теруаки (31 декабря 1990 г.). «Моделирование вязкого течения с использованием модели дискретного вихря - метод скорости диффузии». Компьютеры и жидкости . 19 (3–4): 433–441. дои : 10.1016/0045-7930(91)90068-S .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гувернюк С.В.; Дынникова, Г.Я. (31 января 2007 г.). «Моделирование обтекания колеблющегося профиля методом вязких вихревых областей». Гидродинамика . 42 (1): 1–11. дои : 10.1134/S0015462807010012 . S2CID 55719564 .
^ Андронов, ПР; Григоренко Д.А.; Гувернюк С.В.; Дынникова, Г.Я. (1 октября 2007 г.). «Численное моделирование авторотации пластины в потоке вязкой жидкости». Гидродинамика . 42 (5): 719–731. Бибкод : 2007FlDy...42..719A . дои : 10.1134/S0015462807050055 . S2CID 123148208 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дынников, Я. А.; Дынникова, Г.Я. (12 октября 2011 г.). «Численная стабильность и численная вязкость в некоторых бессеточных вихревых методах применительно к уравнениям Навье-Стокса и теплопроводности». Вычислительная математика и математическая физика . 51 (10): 1792–1804. Бибкод : 2011CMMPh..51.1792D . дои : 10.1134/S096554251110006X . S2CID 56147081 .

Внешние ссылки

Канал YouTube с некоторыми расчетами ВВД

[vvd_dan-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Дынникова, Г.Я. (1 ноября 2004 г.). «Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса». Доклады Физики . 49 (11): 648–652. Бибкод : 2004ДокФ..49..648Д . дои : 10.1134/1.1831530 . S2CID 120396276 .

[vvd_eccm-2] Дынникова, Г.Я. (16–21 мая 2010 г.). «Метод вязких вихревых доменов (VVD) для моделирования нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости» (PDF) . Материалы IV Европейской конференции по вычислительной механике, Париж, Франция .

[dvm-3] Огами, Ёсифуми; Акамацу, Теруаки (31 декабря 1990 г.). «Моделирование вязкого течения с использованием модели дискретного вихря - метод скорости диффузии». Компьютеры и жидкости . 19 (3–4): 433–441. дои : 10.1016/0045-7930(91)90068-S .

[airfoil_fd-4] Перейти обратно: ^а ^б Гувернюк С.В.; Дынникова, Г.Я. (31 января 2007 г.). «Моделирование обтекания колеблющегося профиля методом вязких вихревых областей». Гидродинамика . 42 (1): 1–11. дои : 10.1134/S0015462807010012 . S2CID 55719564 .

[plate_fd-5] Андронов, ПР; Григоренко Д.А.; Гувернюк С.В.; Дынникова, Г.Я. (1 октября 2007 г.). «Численное моделирование авторотации пластины в потоке вязкой жидкости». Гидродинамика . 42 (5): 719–731. Бибкод : 2007FlDy...42..719A . дои : 10.1134/S0015462807050055 . S2CID 123148208 .

[vvd_eccm_stability-6] Перейти обратно: ^а ^б Дынников, Я. А.; Дынникова, Г.Я. (12 октября 2011 г.). «Численная стабильность и численная вязкость в некоторых бессеточных вихревых методах применительно к уравнениям Навье-Стокса и теплопроводности». Вычислительная математика и математическая физика . 51 (10): 1792–1804. Бибкод : 2011CMMPh..51.1792D . дои : 10.1134/S096554251110006X . S2CID 56147081 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]