Предел Баргмана

В квантовой механике предел Баргмана , названный в честь Валентина Баргмана , обеспечивает верхнюю границу числа. $N_{\ell }$ связанных состояний с азимутальным квантовым числом $\ell$ в системе с центральным потенциалом $V$. Он принимает форму

$N_{\ell }<{\frac {1}{2\ell +1}}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{\infty }r|V(r)|\,dr$

Этот предел является наилучшей возможной верхней границей таким образом, что для данного $\ell$, всегда можно построить потенциал $V_{\ell }$ для чего $N_{\ell }$ сколь угодно близко к этой верхней границе. Обратите внимание, что потенциал дельта-функции Дирака достигает этого предела. После первого доказательства этого неравенства Валентина Баргмана в 1953 году Джулиан Швингер представил альтернативный способ его получения в 1961 году.

Строгая формулировка и доказательство.

Формально математически предел Баргмана выглядит следующим образом. Позволять $V:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} :\mathbf {r} \mapsto V(r)$ — сферически-симметричный потенциал, такой, что он кусочно-непрерывен по $r$, $V(r)=O(1/r^{a})$ для $r\to 0$ и $V(r)=O(1/r^{b})$ для $r\to +\infty$, где $a\in (2,+\infty )$ и $b\in (-\infty ,2)$. Если

$\int _{0}^{+\infty }r|V(r)|dr<+\infty ,$

тогда количество связанных состояний $N_{\ell }$ с азимутальным квантовым числом $\ell$ для частицы массы $m$ подчиняющееся соответствующему уравнению Шредингера , ограничено сверху величиной

$N_{\ell }<{\frac {1}{2\ell +1}}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{+\infty }r|V(r)|dr.$

Хотя оригинальное доказательство Валентина Баргмана довольно техническое, основная идея вытекает из двух общих теорем об обыкновенных дифференциальных уравнениях: теоремы Штурма о колебаниях и теоремы сравнения Штурма-Пикоуна . Если мы обозначим через $u_{0\ell }$ волновая функция, подчиненная заданному потенциалу с полной энергией $E=0$ и азимутальное квантовое число $\ell$, из теоремы о колебаниях Штурма следует, что $N_{\ell }$ равно количеству узлов $u_{0\ell }$. Из теоремы сравнения Штурма-Пиконе следует, что при более сильном потенциале $W$ (т.е. $W(r)\leq V(r)$ для всех $r\in \mathbb {R} _{0}^{+}$), количество узлов либо растет, либо остается прежним. Таким образом, более конкретно, мы можем заменить потенциальный $V$ к $-|V|$. Для соответствующей волновой функции с полной энергией $E=0$ и азимутальное квантовое число $\ell$, обозначенный $\phi _{0\ell }$, радиальное уравнение Шредингера принимает вид

${\frac {d^{2}}{dr^{2}}}\phi _{0\ell }(r)-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}\phi _{0\ell }(r)=-W(r)\phi _{0\ell }(r),$

с $W=2m|V|/\hbar ^{2}$. Применяя вариацию параметров , можно получить следующее неявное решение

$\phi _{0\ell }(r)=r^{\ell +1}-\int _{0}^{p}G(r,\rho )\phi _{0\ell }(\rho )W(\rho )d\rho ,$

где $G(r,\rho )$ дается

$G(r,\rho )={\frac {1}{2\ell +1}}\left[r{\bigg (}{\frac {r}{\rho }}{\bigg )}^{\ell }-\rho {\bigg (}{\frac {\rho }{r}}{\bigg )}^{\ell }\right].$

Если теперь обозначить все последовательные узлы $\phi _{0\ell }$ к $0=\nu _{1}<\nu _{2}<\dots <\nu _{N}$, из приведенного выше неявного решения можно показать, что для последовательных узлов $\nu _{i}$ и $\nu _{i+1}$

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{\nu _{i}}^{\nu _{i+1}}r|V(r)|dr>2\ell +1.$

Из этого мы можем сделать вывод, что

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{+\infty }r|V(r)|dr\geq {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{\nu _{N}}r|V(r)|dr>N(2\ell +1)\geq N_{\ell }(2\ell +1),$

доказывая предел Баргмана. Обратите внимание: поскольку интеграл справа предполагается конечным, то и должно быть $N$ и $N_{\ell }$. Кроме того, для заданного значения $\ell$, всегда можно построить потенциал $V_{\ell }$ для чего $N_{\ell }$ сколь угодно близко к пределу Баргмана. Идея получения такого потенциала состоит в аппроксимации потенциалов дельта-функции Дирака, поскольку они точно достигают предела. Пример такой конструкции можно найти в оригинальной статье Баргмана.