Детерминантный метод
В математике — детерминантный метод это любой из семейств методов аналитической теории чисел .
Название было придумано Роджером Хит-Брауном и связано с тем, что центральной частью метода является оценка определенного определителя . Его основное применение — дать верхнюю оценку числа рациональных точек ограниченной высоты на алгебраических многообразиях или вблизи них, определенных над рациональными числами. Основная новизна детерминантного метода состоит в том, что во всех воплощениях полученные оценки однородны по отношению к коэффициентам многочленов, определяющих многообразие, и зависят только от степени и размерности многообразия.
Разработка
[ редактировать ]Первоначальная версия детерминантного метода была разработана Энрико Бомбьери и Джонатаном Пилой в 1989 году. [1] В своем первоначальном контексте результаты Бомбьери и Пилы применимы только к поскольку их аргументы сильно зависели от геометрии плоскости. Версия детерминантного метода Бомбьери-Пила позже будет названа реально-аналитическим детерминантным методом . Оскар Мармон обобщил результаты Бомбьери и Пилы в 2010 году. [2]
Результат Бомбьери и Пилы был новым из-за его единообразия в отношении полиномов, определяющих кривые. Роджер Хит-Браун получил аналогичный результат Бомбьери и Пилы в более высоких измерениях в 2002 году: [3] используя другой аргумент. Подход Хита-Брауна позже будет назван методом локального p - адического определителя. Основное использование детерминантного метода Хита-Брауна заключалось в попытке решить так называемую гипотезу роста размерности. [4] [5]
Помимо реально-аналитического подхода Бомбьери, Пилы и местного представителя Хита-Брауна -адический подход, другие подходы включают метод приближенных определителей, также предложенный Хитом-Брауном, [6] метод глобального определителя Салбергера, [7] [8] и новый вариант метода приближенного определителя Дитмана и Мармона, который применяется к полиномам, близким к биоднородным. [9]
В 2012 году этот метод переформулирован на языке теории Аракелова Хуайи Чена. [10] [11]
В 2016 году Стэнли Яо Сяо получил обобщение метода глобального определителя Салбергера на случай взвешенного проективного пространства . [12]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Э. Бомбьери, Дж. Пила, Число целых точек на дугах и овалах , Duke Mathematical Journal, 59 (2), страницы 337–357 (1989)
- ^ О. Мармон, Обобщение метода определителя Бомбьери-Пила , Труды триместра HIM по диофантовым уравнениям, Журнал математических наук, 171 , страницы 736–744 (2010) два : 10.1007/s10958-010-0178-5
- ^ Д. Р. Хит-Браун, Плотность рациональных точек на кривых и поверхностях , Анналы математики, 155 (2), страницы 553-598 (2002)
- ^ Д. Р. Хит-Браун, Плотность рациональных точек на кривых и поверхностях , Анналы математики, 155 (2), страницы 553–598 (2002)
- ^ Т.Д. Браунинг, Д.Р. Хит-Браун, П. Салбергер, Подсчет рациональных точек на алгебраических многообразиях , Duke Mathematical Journal, 132 (3), страницы 545–578 (2006)
- ^ Д. Р. Хит-Браун, Суммы и разности трех -я степень , Журнал теории чисел, 129 , страницы 1579–1594 (2009).
- ^ П. Салбергер, Подсчет рациональных точек на проективных многообразиях , препринт 2009 г.
- ^ Т. Д. Браунинг, Количественная арифметика проективных многообразий , Прогресс в математике, 277 , Биркхаузер
- ^ Р. Дитманн, О. Мармон, Плотность близнецов -свободные числа , Бюллетень Лондонского математического общества, 46 (4), страницы 818–826 (2014).
- ^ Х. Чен, Явная равномерная оценка рациональных точек I. Оценка высот. Дж. Рейн Анжью. Математика. 668 (2012), 59–88.
- ^ Х. Чен, Явная равномерная оценка рациональных точек II. Гиперповерхностные покрытия. Дж. Рейн Анжью. Математика. 668 (2012), 89–108.
- ^ С. Ю. Сяо, Бесстепенные значения двоичных форм и метод глобального определителя. Уведомления о международных математических исследованиях (2016 г.) два : 10.1093/imrn/rnw165
