Сплайновый вейвлет

Анимация, показывающая компактно поддерживаемые кардинальные вейвлеты B-сплайнов порядков 1, 2, 3, 4 и 5.

В математической теории вейвлетов сплайн - сплайновый вейвлет — это вейвлет, построенный с использованием функции . Существуют различные типы сплайн-вейвлетов. Интерполяционные сплайновые вейвлеты, представленные CK Chui и JZ Wang, основаны на определенной формуле сплайн- интерполяции . Хотя эти вейвлеты ортогональны , они не имеют компактных носителей . Существует определенный класс вейвлетов, в некотором смысле уникальный, построенный с использованием B-сплайнов и имеющий компактные носители. Несмотря на то, что эти вейвлеты не ортогональны, они обладают некоторыми особыми свойствами, которые сделали их довольно популярными. Терминология сплайн-вейвлет иногда используется для обозначения вейвлетов этого класса сплайн-вейвлетов. Эти специальные вейвлеты также называются вейвлетами B-сплайна и кардинальными вейвлетами B-сплайна . Вейвлеты Баттла-Лемари также представляют собой вейвлеты, построенные с использованием сплайн-функций.

Кардинальные B-сплайны

Пусть n — фиксированное неотрицательное целое число . Пусть С ^н обозначают набор всех действительных функций, определенных над набором действительных чисел, таких, что каждая функция в наборе, а также ее первые n производные всюду , непрерывны . Бибесконечная последовательность . . . Икс _-2 , Икс _-1 , Икс ₀ , Икс ₁ , Икс ₂ , . . . такой, что x _r < x _{r +1} для всех r и такой, что x _r приближается к ±∞ при приближении r к ±∞, называется определяющим набор узлов. Сплайн } — это порядка n с набором узлов { x _r функция S ( x ) в C ^н такой, что для каждого r ограничение S ( x ) на интервал [ x _r , x _{r +1} ) совпадает с многочленом с вещественными коэффициентами степени не выше n по x .

Если расстояние x _{r +1} - x _r , где r — любое целое число, между последовательными узлами в множестве узлов является константой, сплайн называется кардинальным сплайном . Множество целых чисел Z = {. . ., -2, -1, 0, 1, 2, . . .} — стандартный выбор для набора узлов кардинального сплайна. Если не указано иное, обычно предполагается, что набор узлов представляет собой набор целых чисел.

Кардинальный B-сплайн — это особый тип кардинального сплайна. Для любого положительного целого числа m кардинальный B-сплайн порядка m , обозначаемый N _m ( x ), определяется рекурсивно следующим образом.

$N_{1}(x)={\begin{cases}1&0\leq x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

$N_{m}(x)=\int _{0}^{1}N_{m-1}(x-t)dt$, для $m>1$.

Конкретные выражения для кардинальных B-сплайнов всех порядков до 5 и их графики приведены далее в этой статье.

Свойства кардинальных B-сплайнов

Элементарные свойства

1. Поддержка ​ ​ $N_{m}(x)$ это закрытый интервал $[0,m]$.
2. Функция $N_{m}(x)$ неотрицательен, то есть $N_{m}(x)>0$ для $0<x<m$.
3. $\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ для всех $x$.
4. Кардинальные B-сплайны порядков m и m-1 связаны тождеством: $N_{m}(x)={\frac {x}{m-1}}N_{m-1}(x)+{\frac {m-x}{m-1}}N_{m-1}(x-1)$.
5. Функция $N_{m}(x)$ симметричен относительно $x={\frac {m}{2}}$, то есть, $N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)$.
6. Производная от $N_{m}(x)$ дается $N_{m}^{\prime }(x)=N_{m-1}(x)-N_{m-1}(x-1)$.
7. $\int _{-\infty }^{\infty }N_{m}(x)\,dx=1$

Двухмасштабное отношение

Кардинальный B-сплайн порядка m удовлетворяет следующему двухмасштабному соотношению:

$N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)$.

недвижимость в Риссе

Кардинальный B-сплайн порядка m удовлетворяет следующему свойству, известному как свойство Рисса: существуют два положительных действительных числа. $A$ и $B$ такая, что для любой суммируемой с квадратом двусторонней последовательности $\{c_{k}\}_{k=-\infty }^{\infty }$ для любого х и

$A\left\Vert \{c_{k}\}\right\Vert ^{2}\leq \left\Vert \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}N_{m}(x-k)\right\Vert ^{2}\leq B\left\Vert \{c_{k}\}\right\Vert ^{2}$

где $\Vert \cdot \Vert$ является нормой в ℓ ² -космос.

Кардинальные B-сплайны малых порядков

Кардинальные B-сплайны определяются рекурсивно, начиная с B-сплайна первого порядка, а именно $N_{1}(x)$, который принимает значение 1 в интервале [0, 1) и 0 в другом месте. Возможно, придется использовать системы компьютерной алгебры для получения конкретных выражений для кардинальных B-сплайнов более высокого порядка. Ниже приведены конкретные выражения для кардинальных B-сплайнов всех порядков до 6. Представлены также графики кардинальных B-сплайнов порядков до 4. На изображениях также показаны графики членов, вносящих вклад в соответствующие двухмасштабные отношения. Две точки на каждом изображении обозначают края интервала, поддерживающего B-сплайн.

Постоянный B-сплайн

B-сплайн первого порядка, а именно $N_{1}(x)$, — постоянный B-сплайн. Это определяется

$N_{1}(x)={\begin{cases}1&0\leq x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Двухмасштабное соотношение для этого B-сплайна:

$N_{1}(x)=N_{1}(2x)+N_{1}(2x-1)$

Постоянный B-сплайн $N_{1}(x)$

Линейный B-сплайн

B-сплайн второго порядка, а именно $N_{2}(x)$, — линейный B-сплайн. Это дано

$N_{2}(x)={\begin{cases}x&0\leq x<1\\-x+2&1\leq x<2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Двухмасштабное соотношение для этого вейвлета:

$N_{2}(x)={\frac {1}{2}}N_{2}(2x)+N_{2}(2x-1)+{\frac {1}{2}}N_{2}(2x-2)$

Линейный B-сплайн $N_{2}(x)$

Квадратичный B-сплайн

B-сплайн третьего порядка, а именно $N_{3}(x)$, — квадратичный B-сплайн. Это дано

$N_{3}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x<1\\-x^{2}+3x-{\frac {3}{2}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{2}}x^{2}-3x+{\frac {9}{2}}&2\leq x<3\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Двухмасштабное соотношение для этого вейвлета:

$N_{3}(x)={\frac {1}{4}}N_{3}(2x)+{\frac {3}{4}}N_{3}(2x-1)+{\frac {3}{4}}N_{3}(2x-2)+{\frac {1}{4}}N_{3}(2x-3)$

Квадратичный B-сплайн $N_{3}(x)$

Кубический B-сплайн

Кубический B-сплайн — это кардинальный B-сплайн четвертого порядка, обозначаемый $N_{4}(x)$. Оно задается следующими выражениями:

$N_{4}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x<1\\-{\frac {1}{2}}x^{3}+2x^{2}-2x+{\frac {2}{3}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{2}}x^{3}-4x^{2}+10x-{\frac {22}{3}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{6}}x^{3}+2x^{2}-8x+{\frac {32}{3}}&3\leq x<4\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Двухмасштабное соотношение для кубического B-сплайна:

$N_{4}(x)={\frac {1}{8}}N_{4}(2x)+{\frac {1}{2}}N_{4}(2x-1)+{\frac {3}{4}}N_{4}(2x-2)+{\frac {1}{2}}N_{4}(2x-3)+{\frac {1}{8}}N_{4}(2x-4)$

Кубический B-сплайн $N_{4}(x)$

Биквадратичный B-сплайн

Биквадратичный B-сплайн — это кардинальный B-сплайн пятого порядка, обозначаемый $N_{5}(x)$. Это дано

$N_{5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x<1\\-{\frac {1}{6}}x^{4}+{\frac {5}{6}}x^{3}-{\frac {5}{4}}x^{2}+{\frac {5}{6}}x-{\frac {5}{24}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {5}{2}}x^{3}+{\frac {35}{4}}x^{2}-{\frac {25}{2}}x+{\frac {155}{24}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{6}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{3}-{\frac {55}{4}}x^{2}+{\frac {65}{2}}x-{\frac {655}{24}}&3\leq x<4\\{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {5}{6}}x^{3}+{\frac {25}{4}}x^{2}-{\frac {125}{6}}x+{\frac {625}{24}}&4\leq x<5\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Двухмасштабное соотношение

$N_{5}(x)={\frac {1}{16}}N_{5}(2x)+{\frac {5}{16}}N_{5}(2x-1)+{\frac {10}{16}}N_{5}(2x-2)+{\frac {10}{16}}N_{5}(2x-3)+{\frac {5}{16}}N_{5}(2x-4)+{\frac {1}{16}}N_{5}(2x-5)$

Quintic B-сплайн

B-сплайн пятой степени — это кардинальный B-сплайн 6-го порядка, обозначаемый $N_{6}(x)$. Это дано

$N_{6}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{120}}x^{5}&0\leq x<1\\-{\frac {1}{24}}x^{5}+{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}x+{\frac {1}{20}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{12}}x^{5}-x^{4}+{\frac {9}{2}}x^{3}-{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {39}{4}}x-{\frac {79}{20}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{12}}x^{5}+{\frac {3}{2}}x^{4}-{\frac {21}{2}}x^{3}+{\frac {71}{2}}x^{2}-{\frac {231}{4}}x+{\frac {731}{20}}&3\leq x<4\\{\frac {1}{24}}x^{5}-x^{4}+{\frac {19}{2}}x^{3}-{\frac {89}{2}}x^{2}+{\frac {409}{4}}x-{\frac {1829}{20}}&4\leq x<5\\-{\frac {1}{120}}x^{5}+{\frac {1}{4}}x^{4}-3x^{3}+18x^{2}-54x+{\frac {324}{5}}&5\leq x<6\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Анализ с несколькими разрешениями, генерируемый кардинальными B-сплайнами

Кардинальный B-сплайн $N_{m}(x)$ порядка m генерирует анализ с несколькими разрешениями . Действительно, из изложенных выше элементарных свойств этих функций следует, что функция $N_{m}(x)$ и является интегрируема с квадратом элементом пространства $L^{2}(R)$ квадратично интегрируемых функций. Для настройки анализа с несколькими разрешениями используются следующие обозначения.

• Для любых целых чисел $k,j$, определим функцию $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$.
• Для каждого целого числа $k$, определим подпространство $V_{k}$ из $L^{2}(R)$ как замыкание линейной оболочки множества $\{N_{m,kj}(x):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$.

То, что они определяют анализ с несколькими разрешениями, следует из следующего:

1. Пространства $V_{k}$ удовлетворить имущество: $\cdots \subset V_{-2}\subset V_{-1}\subset V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots$.
2. Закрытие в $L^{2}(R)$ объединения всех подпространств $V_{k}$ это все пространство $L^{2}(R)$.
3. Пересечение всех подпространств $V_{k}$ представляет собой одноэлементный набор, содержащий только нулевую функцию.
4. Для каждого целого числа $k$ набор $\{N_{m,kj}(x):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ является безусловным основанием для $V_{k}$. (Последовательность { xn _{} в} банаховом пространстве X является безусловным базисом пространства X если каждая перестановка последовательности { xn _{} также является} базисом того же пространства X. , )

Вейвлеты из кардинальных B-сплайнов

Пусть m — фиксированное положительное целое число и $N_{m}(x)$ — кардинальный B-сплайн порядка m . Функция $\psi _{m}(x)$ в $L^{2}(R)$ является базовым вейвлетом относительно кардинальной функции B-сплайна $N_{m}(x)$ если замыкание в $L^{2}(R)$ линейной оболочки множества $\{\psi _{m}(x-j):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ (это замыкание обозначается $W_{0}$) является ортогональным дополнением $V_{0}$ в $V_{1}$. Индекс m в $\psi _{m}(x)$ используется, чтобы указать, что $\psi _{m}(x)$ является базовым вейвлетом относительно кардинального B-сплайна порядка m . Не существует уникального базового вейвлета $\psi _{m}(x)$ относительно кардинального B-сплайна $N_{m}(x)$. Некоторые из них обсуждаются в следующих разделах.

Вейвлеты относительно кардинальных B-сплайнов с использованием фундаментальных интерполяционных сплайнов

Фундаментальный интерполяционный сплайн

Определения

Пусть m — фиксированное положительное целое число и пусть $N_{m}(x)$ — кардинальный B-сплайн порядка m . Учитывая последовательность $\{f_{j}:j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ действительных чисел, проблема нахождения последовательности $\{c_{m,k}:k=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ действительных чисел таких, что

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}$ для всех $j$,

известна как задача кардинальной сплайн-интерполяции . Частный случай этой задачи, когда последовательность $\{f_{j}\}$ это последовательность $\delta _{0j}$, где $\delta _{ij}$ это дельта-функция Кронекера $\delta _{ij}$ определяется

$\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}$,

является фундаментальной проблемой кардинальной сплайн-интерполяции . Решение задачи дает фундаментальный кардинальный интерполяционный сплайн порядка m . Этот сплайн обозначается $L_{m}(x)$ и дается

$L_{m}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(x+{\frac {m}{2}}-k\right)$

где последовательность $\{c_{m,k}\}$ теперь является решением следующей системы уравнений:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=\delta _{0j}$

Процедура нахождения фундаментального кардинального интерполяционного сплайна

Фундаментальный кардинальный интерполяционный сплайн $L_{m}(x)$ можно определить с помощью Z-преобразований . Используя следующие обозначения

$A(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta _{k0}z^{k}=1,$

$B_{m}(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}\left(k+{\frac {m}{2}}\right)z^{k},$

$C_{m}(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}z^{k},$

это видно из уравнений, определяющих последовательность $c_{m,k}$ что

$B_{m}(z)C_{m}(z)=A(z)$

из чего мы получаем

$C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}$.

Это можно использовать для получения конкретных выражений для $c_{m,k}$.

Пример

В качестве конкретного примера можно привести случай $L_{4}(x)$ может быть расследовано. Определение $B_{m}(z)$ подразумевает, что

$B_{4}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{4}(2+k)z^{k}$

Единственные ненулевые значения $N_{4}(k+2)$ даны $k=-1,0,1$ и соответствующие значения

$N_{4}(1)={\frac {1}{6}},N_{4}(2)={\frac {4}{6}},N_{4}(3)={\frac {1}{6}}.$

Таким образом $B_{4}(z)$ сводится к

$B_{4}(z)={\frac {1}{6}}z^{-1}+{\frac {4}{6}}z^{0}+{\frac {1}{6}}z^{1}={\frac {1+4z+z^{2}}{6z}}$

Это дает следующее выражение для $C_{4}(z)$.

$C_{4}(z)={\frac {6z}{1+4z+z^{2}}}$

Разделив это выражение на частичные дроби и разложив каждое слагаемое по степеням z в кольцевой области, получим значения $c_{4,k}$ можно вычислить. Эти значения затем подставляются в выражение для $L_{4}(x)$ уступить

$L_{4}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{|k|}N_{4}(x+2-k)$

Вейвлет с использованием фундаментального интерполяционного сплайна

Для положительного целого числа m функция $\psi _{m}(x)$ определяется

$\psi _{I,m}(x)={\frac {d^{m}}{dx^{m}}}L_{2m}(2x-1)$

является базовым вейвлетом относительно кардинального B-сплайна порядка $N_{m}(x)$. Индекс I в $\psi _{I,m}$ используется для обозначения того, что оно основано на формуле интерполяционного сплайна. Этот базовый вейвлет не поддерживается компактно.

Пример

Вейвлет порядка 2 с использованием интерполяционного сплайна имеет вид

$\psi _{I,2}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}L_{4}(2x-1)$

Выражение для $L_{4}(x)$ теперь дает следующую формулу:

$\psi _{I,2}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{|k|}N_{4}(2x+1-k)$

Теперь, используя выражение для производной $N_{m}(x)$ с точки зрения $N_{m-1}(x)$ функция $\psi _{2}(x)$ можно представить в следующем виде:

$\psi _{I,2}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}4{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{|k|}{\Big (}(N_{2}(2x+k-1)-2N_{2}(2x+k-2)+N_{2}(2x+k-3){\Big )}$

Следующая кусочно-линейная функция является приближением к $\psi _{2}(x)$ получается суммированием слагаемых, соответствующих $k=-3,\ldots ,3$ в выражении бесконечного ряда для $\psi _{2}(x)$.

$\psi _{I,2}(x)\approx {\begin{cases}0.07142668x+0.17856670&-2.5<x\leq -2\\-0.48084803x-0.92598272&-2<x\leq -1.5\\2.0088293x+2.8085333&-1.5<x\leq -1\\-7.5684795x-6.7687755&-1<x\leq -0.5\\28.245949x+11.138439&-0.5<x\leq 0\\-57.415316x+11.138439&0<x\leq 0.5\\57.415316x-46.276878&0.5<x\leq 1\\-28.245949x+39.384388&1<x\leq 1.5\\7.5684795x-14.337255&1.5<x\leq 2\\-2.0088293x+4.8173625&2<x\leq 2.5\\0.48084803x-1.4068308&2.5<x\leq 3\\-0.07142668x+0.24999338&3<x\leq 3.5\\0&{otherwise}\end{cases}}$

Двухмасштабное отношение

Двухмасштабное соотношение для вейвлет-функции $\psi _{m}(x)$ дается

$\psi _{I,m}(x)=\sum _{-\infty }^{\infty }q_{n}N_{m}(2x-n)$ где $q_{n}=\sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}{m \choose j}c_{m+n-j-1}.$

Компактно поддерживаемые вейвлеты B-сплайна

Сплайновые вейвлеты, сгенерированные с помощью интерполяционных вейвлетов, не поддерживаются компактно. Вейвлеты с компактной поддержкой B-сплайна были обнаружены Чарльзом К. Чуем и Цзянь-чжун Вангом и опубликованы в 1991 году. Компактный вейвлет B-сплайна относительно кардинального B-сплайна $N_{m}(x)$ порядка m, открытого Чуем и Вонгом и обозначенного $\psi _{C,m}(x)$, имеет в качестве опоры интервал $[0,2m-1]$. Эти вейвлеты по существу уникальны в определенном смысле, который поясняется ниже.

Определение

Вейвлет B-сплайна с компактным носителем порядка m имеет вид

$\psi _{C,m}(x)={\frac {1}{2^{m-1}}}\sum _{j=0}^{2m-2}(-1)^{j}N_{2m}(j+1){\frac {d^{m}}{dx^{m}}}N_{2m}(2x-j)$

Это сплайн m -го порядка. В частном случае вейвлет B-сплайна с компактным носителем порядка 1 имеет вид

$\psi _{C,1}(x)=N_{2}(1){\frac {d}{dx}}N_{2}(2x)={\begin{cases}1&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

это известный вейвлет Хаара .

Характеристики

1. Поддержка $\psi _{C,m}(x)$ это закрытый интервал $[0,2m-1]$.
2. Вейвлет $\psi _{C,m}(x)$ является уникальным вейвлетом с минимальной поддержкой в ​​следующем смысле: Если $\eta (x)\in W_{0}$ генерирует $W_{0}$ и имеет поддержку, не превышающую $2m-1$ в длину тогда $\eta (x)=c_{0}\psi _{C,m}(x-n_{0})$ для некоторой ненулевой константы $c_{0}$ и для некоторого целого числа $n_{0}$.
3. $\psi _{C,m}(x)$ симметричен для четных m и антисимметричен для нечетных m .

Двухмасштабное отношение

$\psi _{m}(x)$ удовлетворяет двухмасштабному соотношению:

$\psi _{C,m}(x)=\sum _{n=0}^{3m-2}q_{n}N_{m}(2x-n)$ где $q_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2^{m-1}}}\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}N_{2m}(n-j+1)$.

Отношение разложения

Отношение разложения для вейвлета B-сплайна с компактным носителем имеет следующий вид:

$N_{m}(2x-l)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{m,l-2k}N_{m}(x-k)+b_{m,l-2k}\psi _{C,m}(x-k)\right]$

где коэффициенты $a_{m,j}$ и $b_{m,j}$ даны

$a_{m,j}=-{\frac {(-1)^{j}}{2}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }q_{-j+2m-2l+1}c_{2m,l},$

$b_{m,j}={\frac {(-1)^{j}}{2}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }p_{-j+2m-2l+1}c_{2m,l}.$

Здесь последовательность $c_{2m,l}$ — это последовательность коэффициентов в фундаментальном интерполяционном кардинальном сплайн-вейвлете порядка m .

Компактно поддерживаемые вейвлеты B-сплайна небольших порядков

Компактно поддерживаемый вейвлет B-сплайна порядка 1

Двухмасштабное соотношение для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 1:

$\psi _{C,1}(x)=N_{1}(2x)-N_{1}(2x-1)$

Выражение в замкнутой форме для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 1:

$\psi _{C,1}(x)={\begin{cases}1&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Компактно поддерживаемый вейвлет B-сплайна порядка 2

Двухмасштабное соотношение для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 2:

$\psi _{C,2}(x)={\frac {1}{12}}\left(N_{2}(2x)-6N_{2}(2x-1)+10N_{2}(2x-2)-6N_{2}(2x-3)+N_{2}(2x-4)\right)$

Выражение в замкнутой форме для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 2:

$\psi _{C,2}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {7}{6}}x+{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {8}{3}}x-{\frac {19}{6}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {8}{3}}x+{\frac {29}{6}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {7}{6}}x-{\frac {17}{6}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {1}{6}}x+{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Компактно поддерживаемый вейвлет B-сплайна порядка 3

Двухмасштабное соотношение для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 3:

$\psi _{C,3}(x)={\frac {1}{480}}{\Big [}(N_{3}(2x)-29N_{3}(2x-1)+147N_{3}(2x-2)-303N_{3}(2x-3)+$

$303N_{3}(2x-4)-147N_{3}(2x-5)+29N_{3}(2x-6)-N_{3}(2x-7){\Big ]}$

Выражение в замкнутой форме для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 3:

$\psi _{C,3}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{240}}x^{2}&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {31}{240}}x^{2}+{\frac {2}{15}}x-{\frac {1}{30}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {103}{120}}x^{2}-{\frac {221}{120}}x+{\frac {229}{240}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {313}{120}}x^{2}+{\frac {1027}{120}}x-{\frac {1643}{240}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {22}{5}}x^{2}-{\frac {779}{40}}x+{\frac {339}{16}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {22}{5}}x^{2}+{\frac {981}{40}}x-{\frac {541}{16}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {313}{120}}x^{2}-{\frac {701}{40}}x+{\frac {2341}{80}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {103}{120}}x^{2}+{\frac {809}{120}}x-{\frac {3169}{240}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {31}{240}}x^{2}-{\frac {139}{120}}x+{\frac {623}{240}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {1}{240}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x-{\frac {5}{48}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Компактно поддерживаемый вейвлет B-сплайна порядка 4

Двухмасштабное соотношение для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 4:

$\psi _{C,4}(x)={\frac {1}{40320}}{\Big [}N_{4}(2x)-124N_{4}(2x-1)+1677N_{4}(2x-2)-7904N_{4}(2x-3)+18482N_{4}(2x-4)-$

$24264N_{4}(2x-5)+18482N_{4}(2x-6)-7904N_{4}(2x-7)+1677N_{4}(2x-8)-124N_{4}(2x-9)+N_{4}(2x-10){\Big ]}$

Выражение в замкнутой форме для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 4:

$\psi _{C,4}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{30240}}x^{3}&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {127}{30240}}x^{3}+{\frac {2}{315}}x^{2}-{\frac {1}{315}}x+{\frac {1}{1890}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {19}{280}}x^{3}-{\frac {47}{224}}x^{2}+{\frac {2147}{10080}}x-{\frac {103}{1440}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1109}{2520}}x^{3}+{\frac {465}{224}}x^{2}-{\frac {32413}{10080}}x+{\frac {16559}{10080}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {5261}{3360}}x^{3}-{\frac {33463}{3360}}x^{2}+{\frac {42043}{2016}}x-{\frac {145193}{10080}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {35033}{10080}}x^{3}+{\frac {93577}{3360}}x^{2}-{\frac {148517}{2016}}x+{\frac {216269}{3360}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {4832}{945}}x^{3}-{\frac {27691}{560}}x^{2}+{\frac {113923}{720}}x-{\frac {28145}{168}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {4832}{945}}x^{3}+{\frac {58393}{1008}}x^{2}-{\frac {52223}{240}}x+{\frac {2048227}{7560}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {35033}{10080}}x^{3}-{\frac {75827}{1680}}x^{2}+{\frac {981101}{5040}}x-{\frac {234149}{840}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {5261}{3360}}x^{3}+{\frac {38509}{1680}}x^{2}-{\frac {112487}{1008}}x+{\frac {30347}{168}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\{\frac {1109}{2520}}x^{3}-{\frac {24077}{3360}}x^{2}+{\frac {78311}{2016}}x-{\frac {141311}{2016}}&5\leq x<{\frac {11}{2}}\\-{\frac {19}{280}}x^{3}+{\frac {1361}{1120}}x^{2}-{\frac {14617}{2016}}x+{\frac {4151}{288}}&{\frac {11}{2}}\leq x<6\\{\frac {127}{30240}}x^{3}-{\frac {55}{672}}x^{2}+{\frac {5359}{10080}}x-{\frac {11603}{10080}}&6\leq x<{\frac {13}{2}}\\-{\frac {1}{30240}}x^{3}+{\frac {1}{1440}}x^{2}-{\frac {7}{1440}}x+{\frac {49}{4320}}&{\frac {13}{2}}\leq x<7\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Компактно поддерживаемый вейвлет B-сплайна порядка 5

Двухмасштабное соотношение для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 5:

$\psi _{C,5}(x)={\frac {1}{5806080}}{\Big [}N_{5}(2x)-507N_{5}(2x-1)+17128N_{5}(2x-2)-166304N_{5}(2x-3)+748465N_{5}(2x-4)$

$-1900115N_{5}(2x-5)+2973560N_{5}(2x-6)-2973560N_{5}(2x-7)+1900115N_{5}(2x-8)$

$-748465N_{5}(2x-9)+166304N_{5}(2x-10)-17128N_{5}(2x-11)+507N_{5}(2x-12)-N_{5}(2x-13){\Big ]}$

Выражение в замкнутой форме для вейвлета B-сплайна с компактным носителем порядка 5:

$\psi _{C,5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{8709120}}x^{4}&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {73}{1244160}}x^{4}+{\frac {1}{8505}}x^{3}-{\frac {1}{11340}}x^{2}+{\frac {1}{34020}}x-{\frac {1}{272160}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {9581}{4354560}}x^{4}-{\frac {19417}{2177280}}x^{3}+{\frac {1303}{96768}}x^{2}-{\frac {19609}{2177280}}x+{\frac {6547}{2903040}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {118931}{4354560}}x^{4}+{\frac {366119}{2177280}}x^{3}-{\frac {186253}{483840}}x^{2}+{\frac {121121}{311040}}x-{\frac {427181}{2903040}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {759239}{4354560}}x^{4}-{\frac {3146561}{2177280}}x^{3}+{\frac {6466601}{1451520}}x^{2}-{\frac {13202873}{2177280}}x+{\frac {26819897}{8709120}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {2980409}{4354560}}x^{4}+{\frac {5183893}{725760}}x^{3}-{\frac {13426333}{483840}}x^{2}+{\frac {426589}{8960}}x-{\frac {12635243}{414720}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {7873577}{4354560}}x^{4}-{\frac {16524079}{725760}}x^{3}+{\frac {7385369}{69120}}x^{2}-{\frac {17868671}{80640}}x+{\frac {497668543}{2903040}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {14714327}{4354560}}x^{4}+{\frac {108543091}{2177280}}x^{3}-{\frac {56901557}{207360}}x^{2}+{\frac {1454458651}{2177280}}x-{\frac {5286189059}{8709120}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {15619}{3402}}x^{4}-{\frac {33822017}{435456}}x^{3}+{\frac {15828929}{32256}}x^{2}-{\frac {597598433}{435456}}x+{\frac {277413649}{193536}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {15619}{3402}}x^{4}+{\frac {38150335}{435456}}x^{3}-{\frac {20157247}{32256}}x^{2}+{\frac {859841695}{435456}}x-{\frac {64472345}{27648}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\{\frac {14714327}{4354560}}x^{4}-{\frac {4466137}{62208}}x^{3}+{\frac {165651247}{290304}}x^{2}-{\frac {875490655}{435456}}x+{\frac {4614904015}{1741824}}&5\leq x<{\frac {11}{2}}\\-{\frac {7873577}{4354560}}x^{4}+{\frac {30717383}{725760}}x^{3}-{\frac {179437319}{483840}}x^{2}+{\frac {16606729}{11520}}x-{\frac {869722273}{414720}}&{\frac {11}{2}}\leq x<6\\{\frac {2980409}{4354560}}x^{4}-{\frac {12698561}{725760}}x^{3}+{\frac {16211669}{96768}}x^{2}-{\frac {19138891}{26880}}x+{\frac {3289787993}{2903040}}&6\leq x<{\frac {13}{2}}\\-{\frac {759239}{4354560}}x^{4}+{\frac {10519741}{2177280}}x^{3}-{\frac {10403603}{207360}}x^{2}+{\frac {71964499}{311040}}x-{\frac {3481646837}{8709120}}&{\frac {13}{2}}\leq x<7\\{\frac {118931}{4354560}}x^{4}-{\frac {1774639}{2177280}}x^{3}+{\frac {630259}{69120}}x^{2}-{\frac {14096161}{311040}}x+{\frac {245108501}{2903040}}&7\leq x<{\frac {15}{2}}\\-{\frac {9581}{4354560}}x^{4}+{\frac {21863}{311040}}x^{3}-{\frac {407387}{483840}}x^{2}+{\frac {9758873}{2177280}}x-{\frac {25971499}{2903040}}&{\frac {15}{2}}\leq x<8\\{\frac {73}{1244160}}x^{4}-{\frac {4343}{2177280}}x^{3}+{\frac {5273}{207360}}x^{2}-{\frac {313703}{2177280}}x+{\frac {380873}{1244160}}&8\leq x<{\frac {17}{2}}\\-{\frac {1}{8709120}}x^{4}+{\frac {1}{241920}}x^{3}-{\frac {1}{17920}}x^{2}+{\frac {3}{8960}}x-{\frac {27}{35840}}&{\frac {17}{2}}\leq x<9\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Изображения компактно поддерживаемых вейвлетов B-сплайна

B-сплайновый вейвлет порядка 1	B-сплайновый вейвлет порядка 2
B-сплайновый вейвлет порядка 3	B-сплайновый вейвлет порядка 4	B-сплайновый вейвлет порядка 5

Вейвлеты Баттла-Лемари

Вейвлеты Баттла-Лемари образуют класс ортонормированных вейвлетов, построенных с использованием класса кардинальных B-сплайнов. Выражения для этих вейвлетов даны в частотной области; то есть они определяются путем указания их преобразований Фурье. Преобразование Фурье функции t , скажем, $F(t)$, обозначается ${\hat {F}}(\omega )$.

Определение

Пусть m — целое положительное число и пусть $N_{m}(x)$ — кардинальный B-сплайн порядка m . Преобразование Фурье $N_{m}(x)$ является ${\hat {N}}_{m}(\omega )$. Функция масштабирования $\phi _{m}(t)$ для вейвлета Баттла-Лемари m -го порядка - это функция, преобразование Фурье которой равно

${\hat {\phi }}_{m}(\omega )={\frac {{\hat {N}}_{m}(\omega )}{\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }\vert {\hat {N}}_{m}(\omega +2\pi k)\vert ^{2}\right)^{1/2}}}.$

Вейвлет Баттла-Лемари m - го порядка представляет собой функцию $\psi _{BL,m}(t)$ преобразование Фурье которого есть

${\hat {\psi }}_{BL,m}(\omega )=-{\frac {e^{-i\omega /2}\,\,{\overline {{\hat {\phi }}_{m}(\omega +2\pi )}}\,\,{\hat {\phi }}_{m}\left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\overline {{\hat {\phi }}_{m}\left({\frac {\omega }{2}}+\pi \right)}}}$

Дальнейшее чтение

• Амир З. Авербух и Валерий А. Желудев (2007). «Вейвлет-преобразования, генерируемые сплайнами» (PDF) . Международный журнал вейвлетов, мультиразрешения и обработки информации . 257 (5) . Проверено 21 декабря 2014 г.
• Амир З. Авербух, Пекка Нейттаанмаки и Валерий А. Желудев (2014). Сплайновые и сплайн-вейвлет-методы с приложениями к обработке сигналов и изображений . Том I. Спрингер. ISBN  978-94-017-8925-7 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )