эксперимент ГХЗ

Эксперимент Гринбергера -Хорна-Цайлингера или эксперименты GHZ представляют собой класс физических экспериментов, которые можно использовать для создания резко контрастирующих предсказаний локальной теории скрытых переменных и квантово-механической теории и позволяют немедленно сравнивать их с фактическими экспериментальными результатами. Эксперимент GHZ аналогичен проверке неравенства Белла , за исключением того, что используются три или более запутанных частиц , а не две. При определенных условиях экспериментов ГХЦ можно продемонстрировать абсолютные противоречия между предсказаниями локальной теории скрытых переменных и предсказаниями квантовой механики, тогда как проверка неравенства Белла демонстрирует только противоречия статистического характера. Результаты реальных экспериментов GHZ согласуются с предсказаниями квантовой механики.

Эксперименты GHZ названы в честь Дэниела М. Гринбергера , Майкла А. Хорна и Антона Цайлингера (GHZ), которые впервые проанализировали некоторые измерения с участием четырех наблюдателей. ^[1] и которые впоследствии (вместе с Абнером Шимони (GHSZ), по предложению Дэвида Мермина ) применили свои аргументы к некоторым измерениям с участием трех наблюдателей. ^[2]

Краткое описание и пример

Эксперимент GHZ проводится с использованием квантовой системы в состоянии Гринбергера-Хорна-Цайлингера . Пример ^[3] Состояние GHZ — это три фотона в запутанном состоянии, при этом фотоны находятся в суперпозиции : все они горизонтально поляризованы (HHH) или все вертикально поляризованы (VVV) относительно некоторой системы координат . Состояние GHZ можно записать в нотации Бракета как

|\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {HHH} \rangle +|\mathrm {VVV} \rangle ).

До проведения каких-либо измерений поляризация фотонов неопределенна; Если измерение одного из фотонов производится с помощью двухканального поляризатора, совмещенного с осями системы координат, то фотон принимает либо горизонтальную, либо вертикальную поляризацию с вероятностью 50% для каждой ориентации, а два других фотона сразу принимают одинаковая поляризация.

Однако в эксперименте GHZ, посвященном поляризации фотонов, для измерения фотонов используются две другие ориентации двухканальных поляризаторов:

Линейный поляризатор, повернутый на 45° от осей системы координат, различает поляризацию, повёрнутую на 45° по часовой стрелке от горизонтальной (+), и поляризацию, повёрнутую на 45° против часовой стрелки от горизонтальной (-).
Круговой поляризатор , который различает правую поляризацию (R) и левую поляризацию (L).

Когда конкретные комбинации этих двух типов измерений выполняются на каждом из трех запутанных фотонов, квантовая механика предсказывает идеальные (а не статистические) корреляции между тремя поляризациями. Например, когда круговой поляризатор используется для фотонов 1 и 2, а линейный поляризатор 45° используется для фотона 3, только четыре возможные комбинации результатов (из $2^{3}=8$ итого) следующие:

RL+, LR+, RR−, LL−.

Такая корреляция идеальна в том смысле, что знание двух результатов измерений позволяет с уверенностью предсказать третий. (Конечно, реальные эксперименты будут иметь небольшую погрешность.)

Теория локальных скрытых переменных (также известная как « локальный реализм ») также может объяснить любую из этих корреляций в отдельности , постулируя, что у каждого фотона есть локальные переменные, которые идеально определяют, каким должен быть результат для каждого типа измерения. Однако, когда одновременно рассматриваются различные комбинации измерений, предсказания локальной теории скрытых переменных обязательно будут противоречить предсказаниям квантовой механики. В частности, учитывая, что при использовании кругового поляризатора для любых двух фотонов и линейного поляризатора 45° для третьего фотона возможными результирующими комбинациями являются четыре упомянутые выше, теория локальных скрытых переменных должна предсказывать, что при использовании линейного поляризатора 45° для всех трех фотонов возможные результирующие комбинации должны быть следующими:

−−−, ++−, +−+, −++.

Однако квантовая механика предсказывает, что именно остальные четыре комбинации результатов должны быть возможны. Результаты реальных экспериментов согласуются с предсказаниями квантовой механики, а не с предсказаниями локального реализма. ^[4]^[5]

За свой вклад Цайлингер был удостоен (разделенной) Нобелевской премии по физике 2022 года. ^[6]

Объяснение квантовых вычислений

На языке квантовых вычислений состояние поляризации каждого фотона представляет собой кубит , основу которого можно выбрать

|0\rangle \equiv |\mathrm {H} \rangle ,\qquad |1\rangle \equiv |\mathrm {V} \rangle .

При правильно выбранных фазовых коэффициентах для $|\mathrm {H} \rangle$ и $|\mathrm {V} \rangle$ , оба типа измерений, использованных в эксперименте, становятся измерениями Паули , причем два возможных результата представлены как +1 и -1 соответственно:

Линейный поляризатор 45° реализует метод Паули. $X$ измерение, различение собственных состояний

|{+X}\rangle \equiv |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle +|\mathrm {V} \rangle ),\qquad |{-X}\rangle \equiv |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle -|\mathrm {V} \rangle ).

Круговой поляризатор реализует принцип Паули. $Y$ измерение, различение собственных состояний

|{+Y}\rangle \equiv |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle +i|\mathrm {V} \rangle ),\qquad |{-Y}\rangle \equiv |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle -i|\mathrm {V} \rangle ).

Комбинацию этих измерений на каждом из трех кубитов можно рассматривать как деструктивное многокубитное измерение Паули, результатом которого является произведение каждого однокубитного измерения Паули. Например, комбинация «круговой поляризатор на фотонах 1 и 2, линейный поляризатор 45° на фотоне 3» соответствует $Y_{1}Y_{2}X_{3}$ измерения, и четыре возможных комбинации результатов (RL+, LR+, RR-, LL-) в точности соответствуют общему результату -1.

Квантовомеханические предсказания эксперимента GHZ можно резюмировать следующим образом:

\langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}Y_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}X_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |X_{1}Y_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =-1,

\langle \mathrm {GHZ} |X_{1}X_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =+1,

что соответствует квантовой механике, поскольку все эти многокубитные Паули коммутируют друг с другом, и

Y_{1}Y_{2}X_{3}\cdot Y_{1}X_{2}Y_{3}\cdot X_{1}Y_{2}Y_{3}\cdot X_{1}X_{2}X_{3}=-1

из-за антикоммутативности между $X$ и $Y$ .

Между тем, эти результаты приводят к противоречию в любой теории локальных скрытых переменных, где каждое измерение должно иметь определенные (классические) значения. $x_{i},y_{i}=\pm 1$ определяется скрытыми переменными, поскольку

y_{1}y_{2}x_{3}\cdot y_{1}x_{2}y_{3}\cdot x_{1}y_{2}y_{3}\cdot x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}

должно быть равно +1, а не −1. ^[5]

Подробный технический пример

Предварительные соображения

Часто рассматриваемые случаи экспериментов GHZ связаны с наблюдениями, полученными с помощью трех измерений: A, B и C, каждое из которых обнаруживает один сигнал за раз в одном из двух различных взаимоисключающих результатов (называемых каналами): например, обнаружение и подсчет A сигнал либо как $(A↑),$ либо как $(A↓)$ , B обнаруживает и подсчитывает сигнал либо как $(B ≪)$ , либо как $(B ≫)$ , а C обнаруживает и подсчитывает сигнал либо как $(C ◊),$ либо как $( С ♦)$ .

Сигналы следует учитывать и учитывать только в том случае, если A, B и C обнаруживают их последовательно друг за другом; т.е. для любого сигнала, который был обнаружен A в одном конкретном испытании, B должен был обнаружить ровно один сигнал в том же испытании, а C должен обнаружить ровно один сигнал в том же испытании; и наоборот.

Следовательно, для любого конкретного испытания можно выделить и подсчитать,

A обнаружил сигнал как $(A↑)$ , а не как $(A↓)$ с соответствующими отсчетами $n t (A↑) = 1$ и $n t (A↓) = 0$ в этом конкретном испытании t , или
A обнаружил сигнал как $(A↓)$ , а не как $(A↑)$ с соответствующими счетчиками $n f (A↑) = 0$ и $n f (A↓) = 1$ в этом конкретном испытании f испытания f и t , где очевидно отчетливый;

аналогичным образом можно различить и посчитать, есть ли

B обнаружил сигнал как $(B ≪)$ , а не как $(B ≫)$ с соответствующими счетчиками $n g (B ≪) = 1$ и $n g (B ≫) = 0$ в этом конкретном испытании g , или
B обнаружил сигнал как $(B ≫)$ , а не как $(B ≪)$ с соответствующими счетчиками $n h (B «) = 0$ и $n h (B ≫) = 1$ в этом конкретном испытании h , где g и h испытания очевидно отчетливый;

и соответственно можно выделить и посчитать, есть ли

C обнаружил сигнал как $(C ◊)$ , а не как $(C ♦)$ с соответствующими счетчиками $n l (C ◊) = 1$ и $n l (C ♦) = 0$ в этом конкретном испытании l , или
C обнаружил сигнал как $(C ♦)$ , а не как $(C ◊)$ с соответствующими счетчиками $n m (C ◊) = 0$ и $n m (C ♦) = 1$ в этом конкретном испытании m , где l и m испытания очевидно, различимы.

Следовательно , для любого испытания j можно различить, в каких конкретных каналах сигналы были обнаружены и подсчитаны A, B и C вместе в этом конкретном испытании j ; и корреляционные числа, такие как

p_{(\mathrm {A} \uparrow )(B\ll )(C\lozenge )}(j)=[n_{j}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{j}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{j}(\mathrm {B} \ll )-n_{j}(\mathrm {B} \gg )][n_{j}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{j}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]

можно оценить в каждом испытании.

Согласно аргументам Джона Стюарта Белла , каждое испытание теперь характеризуется конкретными индивидуальными регулируемыми параметрами аппарата или настройками участвующих наблюдателей. (по крайней мере) две различимые настройки Для каждой из них рассматриваются , а именно настройки a ₁ и a ₂ для A, настройки b ₁ и b ₂ для B и настройки 1 _и c 2 _для c C.

Например, испытание s будет характеризоваться установкой A 2 _, установкой B b ₂ и установкой C c ₂ ; другое испытание r будет характеризоваться установкой A ₂ , установкой B b ₂ и установкой C 1 _и так далее. C (Поскольку настройки различны в испытаниях r и s , следовательно, эти два испытания различны.)

Соответственно, корреляционное число $p (A↑)(B≪)(C◊) (s)$ записывается как $p (A↑)(B≪)(C◊) (a 2, b 2, c 2)$ , корреляция число $p (A↑)(B≪)(C◊) (r)$ записывается как $p (A↑)(B≪)(C◊) (a 2, b 2, c 1)$ и так далее.

Кроме того, как подробно продемонстрировали Гринбергер, Хорн, Цайлингер и их коллеги, следующие четыре отдельных испытания с различным количеством отдельных детекторов и с соответствующим образом установленными настройками можно рассмотреть и найти экспериментально :

испытание s, как показано выше, характеризующееся настройками a 2 _, b 2 _и c 2 _, и с таким количеством детекторов, что
$p_{(\mathrm {A} \uparrow )(\mathrm {B} \ll )(\mathrm {C} \lozenge )}(s)=[n_{s}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{s}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{s}(\mathrm {B} \ll )-n_{s}(\mathrm {B} \gg )][n_{s}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{s}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]=-1,$
попробуйте u с настройками a ₂ , b ₁ и c ₁ и таким количеством детекторов, что
$p_{(\mathrm {A} \uparrow )(\mathrm {B} \ll )(\mathrm {C} \lozenge )}(u)=[n_{u}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{u}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{u}(\mathrm {B} \ll )-n_{u}(\mathrm {B} \gg )][n_{u}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{u}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]=1,$
испытание v с настройками a ₁ , b ₂ и c ₁ и таким количеством детекторов, что
$p_{(\mathrm {A} \uparrow )(\mathrm {B} \ll )(\mathrm {C} \lozenge )}(v)=[n_{v}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{v}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{v}(\mathrm {B} \ll )-n_{v}(\mathrm {B} \gg )][n_{v}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{v}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]=1,$ и
испытание w с настройками a ₁ , b ₁ и c ₂ и таким количеством детекторов, что
$p_{(\mathrm {A} \uparrow )(\mathrm {B} \ll )(\mathrm {C} \lozenge )}(w)=[n_{w}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{w}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{w}(\mathrm {B} \ll )-n_{w}(\mathrm {B} \gg )][n_{w}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{w}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]=1.$

Понятие локальных скрытых переменных теперь вводится при рассмотрении следующего вопроса:

Могут ли отдельные результаты обнаружения и соответствующие подсчеты, полученные любым наблюдателем, например, числа $(n j (A↑) - n j (A↓))$ , быть выражены как функция $A (a x, λ)$ (которая обязательно предполагает значения +1 или -1), т.е. как функция только от настроек этого наблюдателя в этом испытании и еще одного скрытого параметра $λ$ , но без явной зависимости от настроек или результатов, касающихся других наблюдателей (которые считаются далеко прочь )?

Следовательно: могут ли корреляционные числа, такие как $p (A↑)(B≪)(C◊) (a x, b x, c x)$ , быть выражены как произведение таких независимых функций, $A (a x, λ)$ , $B (b x, λ)$ и $C (c x, λ)$ для всех испытаний и всех настроек с подходящим значением переменной скрытой $λ$ ?

Сравнение с произведением, которое явно определяло $p (A↑)(B≪)(C◊) (j)$ выше, легко позволяет идентифицировать

$\lambda \to j$ ,
$A(a_{x},j)\to n_{j}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{j}(\mathrm {A} \downarrow ),$
$B(b_{x},j)\to n_{j}(\mathrm {B} \ll )-n_{j}(\mathrm {B} \gg ),$ и
$C(c_{x},j)\to n_{j}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{j}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )$ ,

где j испытание, которое характеризуется конкретными настройками ax _{обозначает любое} , bx _{A, B и C} и cx _для соответственно.

Однако GHZ и его коллеги также требуют, чтобы скрытой переменной для функций A() , B() и C() мог принимать одно и то же значение λ $аргумент$ даже в разных испытаниях, характеризующихся разными экспериментальными контекстами . Это предположение статистической независимости (также предполагаемое в теореме Белла и широко известное как предположение «свободной воли»).

Следовательно, подставив эти функции в согласованные условия четырех различных испытаний u , v , w и s, показанные выше, они могут получить следующие четыре уравнения, относящиеся к одному и тому же значению $λ$ :

$A(a_{2},\lambda )B(b_{2},\lambda )C(c_{2},\lambda )=-1,$
$A(a_{2},\lambda )B(b_{1},\lambda )C(c_{1},\lambda )=1,$
$A(a_{1},\lambda )B(b_{2},\lambda )C(c_{1},\lambda )=1,$ и
$A(a_{1},\lambda )B(b_{1},\lambda )C(c_{2},\lambda )=1.$

Взяв произведение последних трех уравнений и отметив, что $А (а 1, λ) А (а 1, λ) знак равно 1$ , $B (б 1, λ) B (б 1, λ) знак равно 1$ , и $C (c 1, λ) C (c 1, λ) знак равно 1$ , дает

A(a_{2},\lambda )B(b_{2},\lambda )C(c_{2},\lambda )=1

в противоречие с первым уравнением; $1 \neq -1$ .

Учитывая, что четыре рассматриваемых испытания действительно могут быть последовательно рассмотрены и экспериментально реализованы, предположения относительно скрытых переменных , которые приводят к указанному математическому противоречию, поэтому в совокупности непригодны для отражения всех экспериментальных результатов; а именно предположение о локальных скрытых переменных , которые одинаково встречаются в различных испытаниях .

Вывод неравенства

Поскольку приведенные выше уравнения (1)–(4) не могут выполняться одновременно, когда скрытая переменная $λ$ принимает одно и то же значение в каждом уравнении, GHSZ позволяет $λ$ принимать разные значения в каждом уравнении. Они определяют

$Λ 1$ : множество всех $λ$ s таких, что выполняется уравнение (1),
$Λ 2$ : множество всех $λ$ s таких, что выполняется уравнение (2),
$Λ 3$ : множество всех $λ$ s таких, что выполняется уравнение (3),
$Λ 4$ : множество всех $λ$ s таких, что выполняется уравнение (4).

Кроме того, $Λ i с$ является дополнением к $Λ i$ .

Теперь уравнение (1) может быть истинным только в том случае, если хотя бы одно из трех остальных неверно. Поэтому,

\Lambda _{1}\subseteq \Lambda _{2}^{\rm {c}}\cup \Lambda _{3}^{\rm {c}}\cup \Lambda _{4}^{\rm {c}}

С точки зрения вероятности,

p(\Lambda _{1})\leq p(\Lambda _{2}^{\rm {c}}\cup \Lambda _{3}^{\rm {c}}\cup \Lambda _{4}^{\rm {c}})

По правилам теории вероятностей отсюда следует, что

p(\Lambda _{1})\leq p(\Lambda _{2}^{\rm {c}})+p(\Lambda _{3}^{\rm {c}})+p(\Lambda _{4}^{\rm {c}})

Это неравенство позволяет провести экспериментальную проверку.

Проверка неравенства

Чтобы проверить только что полученное неравенство, GHSZ необходимо сделать еще одно предположение — предположение о «справедливой выборке». Из-за неэффективности реальных детекторов в некоторых попытках эксперимента будут обнаружены только одна или две частицы тройки. Справедливая выборка предполагает, что эта неэффективность не связана со скрытыми переменными; другими словами, количество троек, фактически обнаруженных в любом ходе эксперимента, пропорционально числу, которое было бы обнаружено, если бы аппарат не имел неэффективности – с той же константой пропорциональности для всех возможных настроек аппарата. При этом предположении $p (Λ 1)$ можно определить, выбрав настройки аппарата a ₂ , b ₂ и c ₂ , подсчитав количество троек, для которых результат равен -1, и разделив их на общее количество троек, наблюдаемых при эта настройка. Остальные вероятности можно определить аналогичным образом, используя $p(\Lambda ^{\rm {c}})=1-p(\Lambda )$ , что позволяет провести прямую экспериментальную проверку неравенства.

GHSZ также показывает, что можно отказаться от предположения о справедливой выборке, если эффективность детектора составляет не менее 90,8%.

Ссылки

^ Д. Гринбергер; М. Хорн; А. Шимони; А. Цайлингер (1990). «Теорема Белла без неравенств» . Являюсь. Дж. Физ . 58 (12): 1131. Бибкод : 1990AmJPh..58.1131G . дои : 10.1119/1.16243 .
^ Д. Мермин (1990). «Возвращение к квантовым тайнам». Являюсь. Дж. Физ . 58 (8): 731–734. Бибкод : 1990AmJPh..58..731M . дои : 10.1119/1.16503 . и ссылки там
^ А. Цайлингер, Танец фотонов , Фаррар, Штраус и Жиру, Нью-Йорк, 2010, стр. 218–223.
^ Цзянь-Вэй Пан; Д. Баумистер; М. Дэниел; Х. Вайнфуртер; А. Цайлингер (2000). «Экспериментальная проверка квантовой нелокальности в трехфотонной ГГЦ-запутанности». Природа . 403 (6769): 515–519. Бибкод : 2000Natur.403..515P . дои : 10.1038/35000514 . ПМИД 10676953 . S2CID 4309261 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайдман, Лев (12 января 2015 г.). «Неравенство Белла и многомировая интерпретация». arXiv : 1501.02691 [ квант-ph ].
^ Нобелевский комитет по физике (2022 г.), ЗА ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ЗАПУТАННЫМИ ФОТОНАМИ, УСТАНОВЛЕНИЕ НАРУШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ БЕЛЛА И ПИОНЕРСКУЮ КВАНТОВУЮ ИНФОРМАЦИОННУЮ НАУКУ (PDF) , Стокгольм, Швеция: Шведская королевская академия наук , получено 3 июля 2022 г.

[GHZ1990-1] Д. Гринбергер; М. Хорн; А. Шимони; А. Цайлингер (1990). «Теорема Белла без неравенств» . Являюсь. Дж. Физ . 58 (12): 1131. Бибкод : 1990AmJPh..58.1131G . дои : 10.1119/1.16243 .

[mermin1990-2] Д. Мермин (1990). «Возвращение к квантовым тайнам». Являюсь. Дж. Физ . 58 (8): 731–734. Бибкод : 1990AmJPh..58..731M . дои : 10.1119/1.16503 . и ссылки там

[3] А. Цайлингер, Танец фотонов , Фаррар, Штраус и Жиру, Нью-Йорк, 2010, стр. 218–223.

[GHZ2000-4] Цзянь-Вэй Пан; Д. Баумистер; М. Дэниел; Х. Вайнфуртер; А. Цайлингер (2000). «Экспериментальная проверка квантовой нелокальности в трехфотонной ГГЦ-запутанности». Природа . 403 (6769): 515–519. Бибкод : 2000Natur.403..515P . дои : 10.1038/35000514 . ПМИД 10676953 . S2CID 4309261 .

[Vaidman2015-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайдман, Лев (12 января 2015 г.). «Неравенство Белла и многомировая интерпретация». arXiv : 1501.02691 [ квант-ph ].

[6] Нобелевский комитет по физике (2022 г.), ЗА ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ЗАПУТАННЫМИ ФОТОНАМИ, УСТАНОВЛЕНИЕ НАРУШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ БЕЛЛА И ПИОНЕРСКУЮ КВАНТОВУЮ ИНФОРМАЦИОННУЮ НАУКУ (PDF) , Стокгольм, Швеция: Шведская королевская академия наук , получено 3 июля 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]