Дзета-функция Эйри

В математике дзета -функция Эйри , изученная Крэндаллом (1996) , представляет собой функцию, аналогичную дзета-функции Римана и связанную с нулями функции Эйри .

Определение

Функции Эйри Ai и Bi

Функция Эйри

$\mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)\,dt,$

является положительным при положительных значениях x , но колеблется при отрицательных значениях x . Нули Эйри — это значения $\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ на котором ${\text{Ai}}(a_{i})=0$, упорядоченный по возрастанию величины: $|a_{1}|<|a_{2}|<\cdots$ .

Дзета-функция Эйри — это функция, определенная из этой последовательности нулей рядом

$\zeta _{\mathrm {Ai} }(s)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{i}|^{s}}}.$

Этот ряд сходится, когда часть s действительная больше 3/2, и может быть расширен путем аналитического продолжения до других значений s .

Оценка в целых числах

Подобно дзета-функции Римана, значение которой $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ это решение Базельской проблемы ,дзета-функция Эйри может быть точно оценена при s = 2:

$\zeta _{\mathrm {Ai} }(2)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}^{2}}}={\frac {3^{5/3}\Gamma ^{4}({\frac {2}{3}})}{4\pi ^{2}}},$

где $\Gamma$ — гамма-функция , непрерывный вариант факториала .Подобные оценки возможны и для больших целочисленных значений s .

Предполагается, что аналитическое продолжение дзета-функции Эйри оценивается от 1 до

$\zeta _{\mathrm {Ai} }(1)=-{\frac {\Gamma ({\frac {2}{3}})}{\Gamma ({\frac {4}{3}}){\sqrt[{3}]{9}}}}.$

Ссылки

• Крэндалл, Ричард Э. (1996), «О квантовой дзета-функции», Journal of Physics A: Mathematical and General , 29 (21): 6795–6816, Бибкод : 1996JPhA...29.6795C , doi : 10.1088/0305- 4470/29/21/014 , ISSN   0305-4470 , МР   1421901

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дзета-функция Эйри» . Математический мир .