Общий пространственный рисунок

Два набора перекрывающихся данных используются для иллюстрации того, как CSP может разделять данные.

Два набора данных после вращения с помощью CSP, чтобы максимизировать соотношение дисперсий по двум осям.

Общий пространственный шаблон ( CSP ) — это математическая процедура, используемая при обработке сигналов для разделения многомерного сигнала на аддитивные подкомпоненты, которые имеют максимальные различия в дисперсии между двумя окнами .

Подробности

Позволять $\mathbf {X} _{1}$ размера $(n,t_{1})$ и $\mathbf {X} _{2}$ размера $(n,t_{2})$ — два окна многомерного сигнала , где $n$ количество сигналов и $t_{1}$ и $t_{2}$ соответствующее количество выборок.

Алгоритм CSP определяет компонент $\mathbf {w} ^{\text{T}}$ так, чтобы соотношение дисперсии второго порядка (или момента ) было максимальным между двумя окнами:

$\mathbf {w} ={\arg \max }_{\mathbf {w} }{\frac {\left\|\mathbf {wX} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {wX} _{2}\right\|^{2}}}$

Решение дается путем вычисления двух ковариационных матриц :

$\mathbf {R} _{1}={\frac {\mathbf {X} _{1}\mathbf {X} _{1}^{\text{T}}}{t_{1}}}$

$\mathbf {R} _{2}={\frac {\mathbf {X} _{2}\mathbf {X} _{2}^{\text{T}}}{t_{2}}}$

Затем одновременная диагонализация этих двух матриц (также называемая обобщенным разложением по собственным значениям реализуется ). Находим матрицу собственных векторов $\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n}\end{bmatrix}}$ и диагональная матрица $\mathbf {D}$ собственных значений $\{\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\}$ отсортированы по убыванию так, что:

$\mathbf {P} ^{\mathrm {T} }\mathbf {R} _{1}\mathbf {P} =\mathbf {D}$

и

$\mathbf {P} ^{\mathrm {T} }\mathbf {R} _{2}\mathbf {P} =\mathbf {I} _{n}$

с $\mathbf {I} _{n}$ единичная матрица .

Это эквивалентно собственному разложению $\mathbf {R} _{2}^{-1}\mathbf {R} _{1}$:

$\mathbf {R} _{2}^{-1}\mathbf {R} _{1}=\mathbf {PDP} ^{-1}$

$\mathbf {w} ^{\text{T}}$ будет соответствовать первому столбцу $\mathbf {P}$:

$\mathbf {w} =\mathbf {p} _{1}^{\text{T}}$

Обсуждение

Связь между коэффициентом дисперсии и собственным значением

Собственные векторы, составляющие $\mathbf {P}$ являются компонентами с коэффициентом дисперсии между двумя окнами, равным их соответствующему собственному значению:

$\mathbf {\lambda } _{i}={\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}^{\text{T}}\mathbf {X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p} _{i}^{\text{T}}\mathbf {X} _{2}\right\|^{2}}}$

Другие компоненты

Векторное подпространство $E_{i}$ созданный $i$ первые собственные векторы ${\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{i}\end{bmatrix}}$ будет подпространством, максимизирующим коэффициент дисперсии всех входящих в него компонентов:

$E_{i}={\arg \max }_{E}{\begin{pmatrix}\min _{p\in E}{\frac {\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{2}\right\|^{2}}}\end{pmatrix}}$

Точно так же векторное подпространство $F_{j}$ созданный $j$ последние собственные векторы ${\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{n-j+1}&\cdots &\mathbf {p} _{n}\end{bmatrix}}$ будет подпространством, минимизирующим коэффициент дисперсии всех входящих в него компонент:

$F_{j}={\arg \min }_{F}{\begin{pmatrix}\max _{p\in F}{\frac {\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{2}\right\|^{2}}}\end{pmatrix}}$

Дисперсия или момент второго порядка

CSP можно применять после вычитания среднего значения (так называемого «центрирования среднего») сигналов, чтобы реализовать оптимизацию коэффициента дисперсии. В противном случае CSP оптимизирует соотношение моментов второго порядка.

Выбор окон X ₁ и X ₂

• Стандартное использование заключается в выборе окон, соответствующих двум периодам времени с разной активацией источников (например, во время отдыха и во время выполнения конкретной задачи).
• Также можно выбрать два окна, соответствующие двум различным диапазонам частот, чтобы найти компоненты с определенной частотной характеристикой. Эти полосы частот могут быть временными или частыми. Поскольку матрица $\mathbf {P}$ зависит только от ковариационных матриц, те же результаты можно получить, если применить обработку к преобразованию Фурье сигналов.
• Ю. Ван предложил конкретный вариант для первого окна $\mathbf {X} _{1}$ для извлечения компонентов, имеющих определенный период. $\mathbf {X} _{1}$ было средним значением различных периодов для исследуемых сигналов.
• Если окно только одно, $\mathbf {R} _{2}$ можно рассматривать как единичную матрицу, и тогда CSP соответствует анализу главных компонентов .

Связь между LDA и CSP

Линейный дискриминантный анализ (LDA) и CSP применяются в разных обстоятельствах. LDA разделяет данные, имеющие разные средства, находя поворот, который максимизирует (нормализованное) расстояние между центрами двух наборов данных. С другой стороны, CSP игнорирует средства. Таким образом, CSP хорош, например, для отделения сигнала от шума в эксперименте с потенциалом, связанным с событиями (ERP), поскольку оба распределения имеют нулевое среднее значение, и для LDA нет различий в разделении. Таким образом, CSP находит проекцию, которая делает дисперсию компонентов среднего ERP максимально большой, чтобы сигнал выделялся над шумом.

Приложения

В целом метод CSP можно применять к многомерным сигналам, он обычно применяется к электроэнцефалографическим (ЭЭГ) сигналам. В частности, этот метод часто используется в интерфейсах мозг-компьютер для извлечения компонентов сигналов, которые лучше всего преобразуют мозговую активность для конкретной задачи (например, движения рук). Его также можно использовать для отделения артефактов от сигналов ЭЭГ.

CSP можно адаптировать для анализа событийных потенциалов .

См. также

• Слепое разделение сигналов