Энтропийно-вихревая волна

Волны энтропии-вихря (или иногда энтропийно-вихревые волны ) относятся к волнам малой амплитуды, переносимым газом, внутри которых энтропии , завихренности , плотности , но не давления . распространяются возмущения Волны энтропии-вихревости по существу представляют собой изобарические , несжимаемые , вращательные возмущения наряду с возмущениями энтропии. Эта волна отличается от другой известной волны малой амплитуды — звуковой волны , которая распространяется относительно газа, внутри которого распространяются возмущения плотности, давления, а не энтропии. Классификацию малых возмущений на акустические, энтропийные и вихревые моды ввел Лесли С.Г. Ковазнай .

Волны энтропийно-завихренности повсеместно встречаются в сверхзвуковых задачах, особенно в тех, которые связаны с ударными волнами . Поскольку эти возмущения переносятся газом, они конвектируются потоком за ударной волной, но не могут распространяться вверх по потоку (за ударной волной) в отличие от акустической волны , которая может распространяться вверх по потоку и догонять ударная волна. Как таковые, они полезны для понимания многих высокоскоростных потоков и важны во многих приложениях, таких как твердотопливные ракеты и взрывы .

Математическое описание

Рассмотрим поток газа с однородным полем скоростей $\mathbf {v}$ и иметь давление $p$, плотность $\rho$, энтропия $s$ и скорость звука $c$. Теперь добавим к этим переменным небольшие возмущения, которые обозначаются символом $\delta$. Возмущенные переменные, являющиеся малыми величинами, удовлетворяют линеаризованной форме уравнений Эйлера , которая задается формулой

${\begin{aligned}{\frac {\partial \delta p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \delta p+\rho c^{2}\nabla \cdot \delta \mathbf {v} &=0,\\{\frac {\partial \delta \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\delta \mathbf {v} +{\frac {1}{\rho }}\nabla \delta p&=0,\\{\frac {\partial \delta s}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \delta s&=0,\end{aligned}}$

где в уравнении неразрывности мы использовали соотношение $\delta \rho =\delta p/c^{2}+(\partial \rho /\partial s)_{p}\delta s$ (с $\rho =\rho (p,s)$ и $c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}$) и использовали уравнение энтропии для его упрощения. Принимая возмущения в форме плоской волны $e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}$, линеаризованные уравнения можно свести к алгебраическим уравнениям

${\begin{aligned}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} -\omega )\delta p+\rho c^{2}\mathbf {k} \cdot \delta \mathbf {v} &=0,\\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} -\omega )\delta \mathbf {v} +\mathbf {k} \delta p/\rho &=0,\\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} -\omega )\delta s&=0.\end{aligned}}$

Последнее уравнение показывает, что либо $\delta s=0$, что соответствует звуковым волнам, в которых энтропия не меняется или $\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} -\omega =0$. Последнее условие, указывающее на перенос возмущений газом, соответствует энтропийно-вихревой волне. В этом случае мы имеем

$\omega =\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} ,\quad \delta s\neq 0,\quad \delta p=0,\quad \delta \rho =\left({\frac {\partial \rho }{\partial s}}\right)_{p}\delta s,\quad \mathbf {k} \cdot \delta \mathbf {v} =0,\quad \delta {\boldsymbol {\omega }}=i\mathbf {k} \times \delta \mathbf {v} \neq 0,$

где $\delta {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \delta \mathbf {v}$ – возмущение завихренности. Как видим, возмущение энтропии $\delta s$ и возмущение завихренности $\delta {\boldsymbol {\omega }}$ являются независимыми, что означает, что можно иметь энтропийные волны без волн завихренности или волны завихренности с волнами энтропии или как волны энтропии, так и завихренности.

В нереагирующем многокомпонентном газе также возможны возмущения состава, поскольку в этом случае $\rho =\rho (p,s,Y_{i})$, где $Y_{i}$ - массовая доля i-го компонента от общего количества $N$ химические виды. Тогда в волне энтропийно-завихренности мы имеем

$\delta \rho =\left({\frac {\partial \rho }{\partial s}}\right)_{p,Y_{i}}\delta s+\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \rho }{\partial Y_{i}}}\right)_{s,p,Y_{j}(j\neq i)}\delta Y_{i}.$