Неравенство Карлемана

Неравенство Карлемана — неравенство в математике , названное в честь Торстена Карлемана , доказавшего его в 1923 году. и использовал ее для доказательства теоремы Данжуа–Карлемана о квазианалитических классах.

Заявление

Позволять $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ — последовательность неотрицательных действительных чисел , тогда

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leq \mathrm {e} \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$

Константа $\mathrm {e}$ (число Эйлера) в неравенстве является оптимальным, т. е. неравенство не всегда выполняется, если $\mathrm {e}$ заменяется меньшим числом. Неравенство является строгим (оно выполняется при «<» вместо «≤»), если какой-либо элемент последовательности не равен нулю.

Интегральная версия

Неравенство Карлемана имеет интегральную версию, которая гласит, что

$\int _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\ln f(t)\,\mathrm {d} t\right\}\,\mathrm {d} x\leq \mathrm {e} \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$

для любого f ≥ 0.

Неравенство Карлесона

Обобщение, сделанное Леннартом Карлесоном , гласит следующее:

для любой выпуклой функции g с g (0) = 0 и для любого -1 < p < ∞

$\int _{0}^{\infty }x^{p}\mathrm {e} ^{-g(x)/x}\,\mathrm {d} x\leq \mathrm {e} ^{p+1}\int _{0}^{\infty }x^{p}\mathrm {e} ^{-g'(x)}\,\mathrm {d} x.$

Неравенство Карлемана следует из случая p = 0.

Доказательство

Ниже приведено элементарное доказательство. Из неравенства средних арифметических и геометрических, примененных к числам $1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},\dots ,n\cdot a_{n}$

$\mathrm {MG} (a_{1},\dots ,a_{n})=\mathrm {MG} (1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}\leq \mathrm {MA} (1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}$

где MG — среднее геометрическое, а MA — среднее арифметическое. Стирлинга типа Неравенство $n!\geq {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}\mathrm {e} ^{-n}$ применяется к $n+1$ подразумевает

$(n!)^{-1/n}\leq {\frac {\mathrm {e} }{n+1}}$ для всех $n\geq 1.$

Поэтому,

$MG(a_{1},\dots ,a_{n})\leq {\frac {\mathrm {e} }{n(n+1)}}\,\sum _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,$

откуда

$\sum _{n\geq 1}MG(a_{1},\dots ,a_{n})\leq \,\mathrm {e} \,\sum _{k\geq 1}{\bigg (}\sum _{n\geq k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,\mathrm {e} \,\sum _{k\geq 1}\,a_{k}\,,$

доказывая неравенство. При этом неравенство средних арифметических и геометрических $n$ неотрицательные числа, как известно, являются равенством тогда и только тогда, когда все числа совпадают, то есть в данном случае тогда и только тогда, когда $a_{k}=C/k$ для $k=1,\dots ,n$. Как следствие, неравенство Карлемана никогда не является равенством для сходящегося ряда, если только все $a_{n}$ исчезают только потому, что гармонический ряд расходится.

Неравенство Карлемана также можно доказать, начав с неравенства Харди.

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}$

для неотрицательных чисел a ₁ , a ₂ ,... и > 1, заменяя каждое n _p на a ^{1/ п}
_n и полагая p → ∞.

Версии для определенных последовательностей

Кристиан Экслер и Мехди Хассани исследовали неравенство Карлемана для конкретных случаев $a_{i}=p_{i}$ где $p_{i}$ это $i$-е простое число. Они также расследовали дело, в котором $a_{i}={\frac {1}{p_{i}}}$. Они обнаружили, что если $a_{i}=p_{i}$ можно заменить $e$ с ${\frac {1}{e}}$ в неравенстве Карлемана, но если $a_{i}={\frac {1}{p_{i}}}$ затем $e$ оставалась наилучшей возможной константой.

Ссылки

• Харди, GH; Литтлвуд Дж. Э.; Полиа, Г. (1952). Неравенства, 2-е изд . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-35880-9 .
• Рассиас, Термистокл М., изд. (2000). Обзор по классическим неравенствам . Клювер Академик. ISBN  0-7923-6483-Х .
• Хёрмандер, Ларс (1990). Анализ линейных операторов в частных производных I: теория распределения и анализ Фурье, 2-е изд . Спрингер. ISBN  3-540-52343-Х .

Внешние ссылки

• «Неравенство Карлемана» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]