Параметры Денавита–Хартенберга

В машиностроении параметры Денавита -Хартенберга (также называемые параметрами DH ) — это четыре параметра, связанные с определенным соглашением о прикреплении систем отсчета к звеньям пространственной кинематической цепи или манипулятора робота .

Жак Денавит и Ричард Хартенберг представили это соглашение в 1955 году, чтобы стандартизировать системы координат для пространственных связей . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Ричард Пол продемонстрировал свою ценность для кинематического анализа робототехнических систем в 1981 году. ^{[ 3 ]} Хотя было разработано множество соглашений о прикреплении систем отсчета, соглашение Денавита – Хартенберга остается популярным подходом.

Конвенция Денавита – Хартенберга

Обычно используемым соглашением для выбора системы отсчета в приложениях робототехники является соглашение Денавита и Хартенберга (D–H), которое было введено Жаком Денавитом и Ричардом С. Хартенбергом . В этом соглашении системы координат прикрепляются к соединениям между двумя ссылками так, что одно преобразование связано с соединением $[Z]$ , а второе связано со ссылкой $[X]$ . Преобразования координат вдоль последовательного робота, состоящего из $n$ звеньев, образуют уравнения кинематики робота:

[T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}][X_{n}]\!

где $[T]$ — преобразование, характеризующее расположение и ориентацию конечного звена.

Чтобы определить преобразования координат $[Z]$ и $[X]$ , соединения, соединяющие звенья, моделируются как шарнирные или скользящие соединения, каждое из которых имеет уникальную линию $S$ в пространстве, которая образует ось соединения и определяет относительное движение двух ссылки. характеризуется последовательностью из шести строк $Si Типичный серийный робот (i = 1, 2, ..., 6)$ , по одной для каждого сустава робота. каждой последовательности линий $и Для$ Si $+ 1 существует$ общая нормальная линия $Ai, i Si +1$ . Система шести шарнирных осей $S i$ и пяти общих нормалей $A i, i +1$ образует кинематический скелет типового шестистепенного серийного робота. Денавит и Хартенберг ввели соглашение, согласно которому оси координат z назначаются суставным осям $Si,$ а оси координат x назначаются общим нормалям $A i, i +1$ .

Это соглашение позволяет определить движение звеньев вокруг общей шарнирной оси $S i$ посредством перемещения винта :

[Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

где $θi —$ вращение вокруг, а $di —$ скользящее движение вдоль $оси z$ . Каждый из этих параметров может быть константой в зависимости от конструкции робота. Согласно этому соглашению размеры каждого звена последовательной цепи определяются смещением винта вокруг общей нормали $i, i +1 от$ соединения $S i$ до $Si +1 A$ , которое определяется выражением

[X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},

где $α i, i +1$ и $r i, i +1$ определяют физические размеры линии связи с точки зрения угла, измеренного вокруг, и расстояния, измеренного вдоль оси X.

Вкратце, эталонные кадры расположены следующим образом:

Ось $z$ направлена в направлении оси сустава.
Ось $X$ параллельна общей нормали : $x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}$ (или вдали от $z n -1$ )
Если нет уникальной общей нормали (параллельных $z$ осей $), то d$ (ниже) является свободным параметром. Направление $x n$ — от $z n -1$ до $z n$ , как показано на видео ниже.
ось $y$ следует из $осей x$ и $z$ , если выбрать для нее правую систему координат .

Четыре параметра

Следующие четыре параметра преобразования известны как параметры D – H: ^{[ 4 ]}

$d$ : смещение по предыдущему $z$ до общей нормали
$θ$ : угол относительно предыдущего $z$ от старого $x$ к новому $x$
$r$ : длина общей нормали (также известная как $a$ , но если вы используете это обозначение, не путайте с $α$ ). Предполагая вращательное соединение, это радиус относительно предыдущего $z$ .
$α$ : угол относительно общей нормали, от старой $Z$ оси $Z.$ до новой оси

В компоновке кадра есть некоторый выбор относительно того, указывает ли предыдущая $ось x$ или следующая $ось x$ вдоль общей нормали. Последняя система позволяет более эффективно разветвлять цепочки, поскольку все несколько фреймов могут указывать в сторону от своего общего предка, но в альтернативной схеме предок может указывать только на одного преемника. нижней цепи $Таким образом, обычно используемые обозначения помещают каждую ось X$ коллинеарно с общей нормалью, что дает расчеты преобразования, показанные ниже.

Можно отметить ограничения на связи между осями:

ось $x n$ перпендикулярна $z n -1$ и $z n$ осям
ось $x n$ пересекает $z n -1$ и $z n$ оси
начало соединения $n$ находится на пересечении $x n$ и $z n$
$y n$ завершает правую систему отсчета на основе $x n$ и $z n$

Матрица Денавита – Хартенберга

Обычно винтовое смещение разделяют на произведение чистого перемещения вдоль линии и чистого вращения вокруг линии. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} так что

[Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),

и

[X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(r_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).

Используя это обозначение, каждое звено можно описать преобразованием координат из параллельной системы координат в предыдущую систему координат.

{}^{n-1}T_{n}=[Z_{n-1}]\cdot [X_{n}]

Обратите внимание, что это произведение двух перемещений винтов . Матрицы, связанные с этими операциями:

\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&0\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

\operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&r_{n}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

\operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{n}&-\sin \alpha _{n}&0\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

Это дает:

\operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\cos \theta _{n}\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\sin \theta _{n}\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R&&T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

где R — подматрица 3×3, описывающая вращение, а T — подматрица 3×1, описывающая перемещение.

В некоторых книгах порядок преобразования для пары последовательного вращения и перемещения (например, $d_{n}$ и $\theta _{n}$ ) перевернут. Это возможно (несмотря на то, что, вообще говоря, умножение матриц не является коммутативным), поскольку перемещения и вращения связаны с одними и теми же осями. $z_{n-1}$ и $x_{n}$ , соответственно. Поскольку порядок умножения матриц для этих пар не имеет значения, результат тот же. Например: $\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})$ .

Поэтому мы можем написать преобразование $\operatorname {} ^{n-1}T_{n}$ следующее:
${}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})$
${}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})$

Использование матриц Денавита и Хартенберга.

Обозначения Денавита и Хартенберга дают стандартную (дистальную) методологию записи кинематических уравнений манипулятора. Это особенно полезно для серийных манипуляторов, где матрица используется для представления позы (положения и ориентации) одного тела относительно другого.

Положение тела $n$ относительно $n-1$ может быть представлена матрицей позиций, обозначенной символом $T$ или $M$

\operatorname {} ^{n-1}T_{n}=M_{n-1,n}

Эта матрица также используется для преобразования точки из кадра. $n$ к $n-1$

M_{n-1,n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}&T_{x}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}&T_{y}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}&T_{z}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

Где верхний левый $3\times 3$ подматрица $M$ представляет собой относительное ориентация двух тел и верхний правый $3\times 1$ представляет их относительное положение или, более конкретно, положение тела в кадре n - 1, представленное элементом кадра n .

Положение тела $k$ по отношению к телу $i$ может быть получена как произведение матриц, представляющих позу $j$ в отношении $i$ и что из $k$ в отношении $j$

M_{i,k}=M_{i,j}M_{j,k}

Важным свойством матриц Денавита и Хартенберга является то, что обратная есть

M^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R^{T}&&-R^{T}T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

где $R^{T}$ является одновременно транспонированием и обратной ортогональной матрицей $R$ , то есть $R_{ij}^{-1}=R_{ij}^{T}=R_{ji}$ .

Кинематика

Могут быть определены дополнительные матрицы для представления скорости и ускорения тел. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Скорость тела $i$ по отношению к телу $j$ можно представить в рамке $k$ по матрице

W_{i,j(k)}=\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\omega _{z}&\omega _{y}&v_{x}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}&v_{y}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0&v_{z}\\\hline 0&0&0&0\end{array}}\right]

где $\omega$ угловая скорость тела $j$ по отношению к телу $i$ и все компоненты выражаются в фрейме $k$ ; $v$ это скорость одной точки тела $j$ по отношению к телу $i$ (полюс). Полюс – это точка $j$ проходящий через начало координат $i$ .

Матрицу ускорения можно определить как сумму производной скорости по времени плюс квадрат скорости.

H_{i,j(k)}={\dot {W}}_{i,j(k)}+W_{i,j(k)}^{2}

Скорость и ускорение в кадре $i$ точки тела $j$ можно оценить как

{\dot {P}}=W_{i,j}P

{\ddot {P}}=H_{i,j}P

Также можно доказать, что

{\dot {M}}_{i,j}=W_{i,j(i)}M_{i,j}

{\ddot {M}}_{i,j}=H_{i,j(i)}M_{i,j}

Матрицы скорости и ускорения складываются по следующим правилам:

W_{i,k}=W_{i,j}+W_{j,k}

H_{i,k}=H_{i,j}+H_{j,k}+2W_{i,j}W_{j,k}

другими словами, абсолютная скорость представляет собой сумму родительской скорости плюс относительную скорость; для ускорения также присутствует член Кориолиса.

Компоненты матриц скорости и ускорения выражаются в произвольной системе координат. $k$ и преобразуем из одного кадра в другой по следующему правилу

W_{(h)}=M_{h,k}W_{(k)}M_{k,h}

H_{(h)}=M_{h,k}H_{(k)}M_{k,h}

Динамика

Для динамики необходимы еще три матрицы для описания инерции $J$ , линейный и угловой моменты $\Gamma$ , а силы и моменты $\Phi$ наносится на тело.

Инерция $J$ :

J=\left[{\begin{array}{ccc|c}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}&x_{g}m\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}&y_{g}m\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}&z_{g}m\\\hline x_{g}m&y_{g}m&z_{g}m&m\end{array}}\right]

где $m$ это масса, $x_{g},\,y_{g},\,z_{g}$ представляют положение центра масс, а члены $I_{xx},\,I_{xy},\ldots$ представляют инерцию и определяются как

I_{xx}=\iint x^{2}\,dm

{\begin{aligned}I_{xy}&=\iint xy\,dm\\I_{xz}&=\cdots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}

Матрица действий $\Phi$ , содержащий силу $f$ и крутящий момент $t$ :

\Phi =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-t_{z}&t_{y}&f_{x}\\t_{z}&0&-t_{x}&f_{y}\\-t_{y}&t_{x}&0&f_{z}\\\hline -f_{x}&-f_{y}&-f_{z}&0\end{array}}\right]

Матрица импульса $\Gamma$ , содержащий линейные $\rho$ и угловатый $\gamma$ импульс

\Gamma =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\gamma _{z}&\gamma _{y}&\rho _{x}\\\gamma _{z}&0&-\gamma _{x}&\rho _{y}\\-\gamma _{y}&\gamma _{x}&0&\rho _{z}\\\hline -\rho _{x}&-\rho _{y}&-\rho _{z}&0\end{array}}\right]

Все матрицы представлены компонентами вектора в определенном кадре. $k$ . Трансформация компонентов из рамы $k$ обрамлять $h$ следует правилу

{\begin{aligned}J_{(h)}&=M_{h,k}J_{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Gamma _{(h)}&=M_{h,k}\Gamma _{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Phi _{(h)}&=M_{h,k}\Phi _{(k)}M_{h,k}^{T}\end{aligned}}

Описанные матрицы позволяют кратко записывать динамические уравнения.

Закон Ньютона:

\Phi =HJ-JH^{t}\,

Импульс:

\Gamma =WJ-JW^{t}\,

Первое из этих уравнений выражает закон Ньютона и является эквивалентом векторного уравнения $f=ma$ (сила равна массе, умноженной на ускорение) плюс $t=J{\dot {\omega }}+\omega \times J\omega$ (угловое ускорение в зависимости от инерции и угловой скорости); второе уравнение позволяет оценить линейный и угловой момент, когда известны скорость и инерция.

Измененные параметры DH

Некоторые книги, такие как «Введение в робототехнику: механика и управление» (3-е издание). ^{[ 7 ]} используйте модифицированные (проксимальные) параметры DH. Отличием классических (дистальных) параметров ЦТ от модифицированных параметров ЦЗ являются места привязки системы координат к звеньям и порядок выполняемых преобразований.

По сравнению с классическими параметрами DH, координаты кадра $O_{i-1}$ помещается на ось i - 1, а не на ось i в классическом соглашении DH. Координаты $O_{i}$ помещается на ось i , а не на ось i + 1 в классическом соглашении DH.

Другое отличие состоит в том, что согласно измененному соглашению матрица преобразования задается следующим порядком операций:

{}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{x_{n-1}}(\alpha _{n-1})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n-1}}(a_{n-1})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})

Таким образом, матрица модифицированных параметров DH принимает вид

\operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&a_{n-1}\\\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&-\sin \alpha _{n-1}&-d_{n}\sin \alpha _{n-1}\\\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \alpha _{n-1}&d_{n}\cos \alpha _{n-1}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

Обратите внимание, что некоторые книги (например: ^{[ 8 ]}) использовать $a_{n}$ и $\alpha _{n}$ чтобы указать длину и крутку звена n - 1, а не звена n . Как следствие, ${}^{n-1}T_{n}$ формируется только с параметрами, использующими один и тот же индекс.

Опубликованы обзоры конвенций ЦТ и их различий. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

См. также

Ссылки

^ Денавит, Жак; Хартенберг, Рихард Шойнеманн (1955). «Кинематическая запись механизмов младшей пары на основе матриц». Журнал прикладной механики . 22 (2): 215–221. дои : 10.1115/1.4011045 .
^ Хартенберг, Рихард Шойнеманн; Денавит, Жак (1965). Кинематический синтез связей . Серия McGraw-Hill по машиностроению. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 435. Архивировано из оригинала 28 сентября 2013 г. Проверено 13 января 2012 г.
^ Пол, Ричард (1981). Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-16082-7 . Архивировано из оригинала 15 февраля 2017 г. Проверено 22 сентября 2016 г.
^ Спонг, Марк В.; Видьясагар, М. (1989). Динамика и управление роботом . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780471503521 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Леньяни, Джованни; Казоло, Федерико; Ригеттини, Паоло; Заппа, Бруно (1996). «Гомогенный матричный подход к 3D-кинематике и динамике — I. Теория». Теория механизма и машин . 31 (5): 573–587. дои : 10.1016/0094-114X(95)00100-D .
^ Перейти обратно: ^а ^б Леньяни, Джованни; Казоло, Федерико; Ригеттини, Паоло; Заппа, Бруно (1996). «Гомогенный матричный подход к трехмерной кинематике и динамике — II. Приложения к цепям твердых тел и серийным манипуляторам». Теория механизма и машин . 31 (5): 589–605. дои : 10.1016/0094-114X(95)00101-4 .
^ Джон Дж. Крейг, Введение в робототехнику: механика и управление (3-е издание) ISBN 978-0201543612
^ Халил, Висама; Домбре, Этьен (2002). Моделирование, идентификация и управление роботами . Нью-Йорк: Тейлор Фрэнсис. ISBN 1-56032-983-1 . Архивировано из оригинала 12 марта 2017 г. Проверено 22 сентября 2016 г.
^ Липкин, Харви (2005). «Заметка об обозначениях Денавита – Хартенберга в робототехнике». Том 7: 29-я конференция по механизмам и робототехнике, части a и B. Том. 2005. стр. 921–926. дои : 10.1115/DETC2005-85460 . ISBN 0-7918-4744-6 .
^ Уолдрон, Кеннет; Шмиделер, Джеймс (2008). «Кинематика». Справочник Спрингера по робототехнике . стр. 9–33. дои : 10.1007/978-3-540-30301-5_2 . ISBN 978-3-540-23957-4 .

[1] Денавит, Жак; Хартенберг, Рихард Шойнеманн (1955). «Кинематическая запись механизмов младшей пары на основе матриц». Журнал прикладной механики . 22 (2): 215–221. дои : 10.1115/1.4011045 .

[2] Хартенберг, Рихард Шойнеманн; Денавит, Жак (1965). Кинематический синтез связей . Серия McGraw-Hill по машиностроению. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 435. Архивировано из оригинала 28 сентября 2013 г. Проверено 13 января 2012 г.

[3] Пол, Ричард (1981). Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-16082-7 . Архивировано из оригинала 15 февраля 2017 г. Проверено 22 сентября 2016 г.

[4] Спонг, Марк В.; Видьясагар, М. (1989). Динамика и управление роботом . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780471503521 .

[legnani1-5] Перейти обратно: ^а ^б Леньяни, Джованни; Казоло, Федерико; Ригеттини, Паоло; Заппа, Бруно (1996). «Гомогенный матричный подход к 3D-кинематике и динамике — I. Теория». Теория механизма и машин . 31 (5): 573–587. дои : 10.1016/0094-114X(95)00100-D .

[legnani2-6] Перейти обратно: ^а ^б Леньяни, Джованни; Казоло, Федерико; Ригеттини, Паоло; Заппа, Бруно (1996). «Гомогенный матричный подход к трехмерной кинематике и динамике — II. Приложения к цепям твердых тел и серийным манипуляторам». Теория механизма и машин . 31 (5): 589–605. дои : 10.1016/0094-114X(95)00101-4 .

[7] Джон Дж. Крейг, Введение в робототехнику: механика и управление (3-е издание) ISBN 978-0201543612

[8] Халил, Висама; Домбре, Этьен (2002). Моделирование, идентификация и управление роботами . Нью-Йорк: Тейлор Фрэнсис. ISBN 1-56032-983-1 . Архивировано из оригинала 12 марта 2017 г. Проверено 22 сентября 2016 г.

[9] Липкин, Харви (2005). «Заметка об обозначениях Денавита – Хартенберга в робототехнике». Том 7: 29-я конференция по механизмам и робототехнике, части a и B. Том. 2005. стр. 921–926. дои : 10.1115/DETC2005-85460 . ISBN 0-7918-4744-6 .

[10] Уолдрон, Кеннет; Шмиделер, Джеймс (2008). «Кинематика». Справочник Спрингера по робототехнике . стр. 9–33. дои : 10.1007/978-3-540-30301-5_2 . ISBN 978-3-540-23957-4 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]