Конвенции по робототехнике

используется множество соглашений В области исследований робототехники . В этой статье обобщаются эти соглашения.

Линейные представления

Основная статья: Координаты линии

Направления в робототехнике следующие:

• Они моделируют оси суставов: вращательное соединение заставляет любое соединенное твердое тело вращаться вокруг линии своей оси; призматическое соединение заставляет соединенное твердое тело перемещаться вдоль линии своей оси.
• Они моделируют края многогранных объектов, используемых во многих планировщиках задач или модулях обработки датчиков.
• Они нужны для расчета кратчайшего расстояния между роботами и препятствиями.

Неминимальные векторные координаты

линия $L(p,d)$ полностью определяется упорядоченным набором двух векторов:

• точечный вектор $p$, указывающий положение произвольной точки на $L$
• один свободный вектор направления $d$, придавая линии не только смысл, но и направление.

Каждая точка $x$ в строке задано значение параметра $t$ что удовлетворяет: $x=p+td$. Параметр t уникален один раз $p$ и $d$ выбраны.
Представительство $L(p,d)$ не является минимальным, поскольку использует шесть параметров только для четырех степеней свободы.
Применяются следующие два ограничения:

• Вектор направления $d$ может быть выбран в качестве единичного вектора
• вектор точки $p$ может быть выбрана точка на линии, ближайшая к началу координат. Так $p$ ортогонален $d$

Координаты Плюкера

Артур Кэли и Юлиус Плюкер представили альтернативное представление с использованием двух свободных векторов. Это представление было наконец названо в честь Плюкера.
Представление Плюккера обозначается $L_{pl}(d,m)$. Оба $d$ и $m$ свободные векторы: $d$ представляет направление линии и $m$ это момент $d$ о выбранном эталонном источнике. $m=p\times d$ ( $m$ не зависит от того, в какой точке $p$ на кону выбран!)
Преимущество координат Плюкера в том, что они однородны.
Линия в координатах Плюкера по-прежнему имеет четыре из шести независимых параметров, поэтому она не является минимальным представлением. Два ограничения на шесть координат Плюкера:

• ограничение однородности
• ограничение ортогональности

Минимальное линейное представление

Линейное представление является минимальным, если оно использует четыре параметра, что является минимумом, необходимым для представления всех возможных линий в евклидовом пространстве (E³).

Координаты линии Денавит – Хартенберг

Основная статья: Параметры Денавита – Хартенберга

Жак Денавит и Ричард С. Хартенберг представили первое минимальное представление линии, которое сейчас широко используется. Общая нормаль между двумя линиями была основной геометрической концепцией, которая позволила Денавиту и Хартенбергу найти минимальное представление. Инженеры используют соглашение Денавита-Хартенберга (D-H), чтобы помочь им однозначно описать положения звеньев и соединений. Каждое звено имеет свою собственную систему координат . При выборе системы координат следует учитывать несколько правил:

1. тот $z$-ось направлена ​​в сторону оси сустава
2. тот $x$-ось параллельна общей нормали : $x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}$
   Если не существует уникального общего нормального (параллельного $z$ оси), тогда $d$ (ниже) — свободный параметр.
3. тот $y$-ось следует из $x$- и $z$-ось, выбрав для нее правую систему координат .

После определения систем координат межзвенные преобразования однозначно описываются следующими четырьмя параметрами:

• $\theta \,$: ракурс относительно предыдущего $z$, из старого $x$ к новому $x$
• $d\,$: смещение вдоль предыдущего $z$ к общей норме
• $r\,$: длина общей нормали (также известной как $a$, но, используя это обозначение, не путайте с $\alpha$). Предполагая вращательное соединение, это радиус относительно предыдущего $z$.
• $\alpha \,$: угол относительно общей нормы, из старых $z$ ось к новому $z$ ось

Координаты линии Хаяти – Робертса

Линейное представление Хаяти – Робертса, обозначаемое $L_{hr}(e_{x},e_{y},l_{x},l_{y})$, — еще одно минимальное линейное представление с параметрами:

• $e_{x}$ и $e_{y}$ являются $X$ и $Y$ компоненты единичного вектора направления $e$ на линии. Это требование исключает необходимость $Z$ компонент, поскольку $e_{z}=(1-e_{x}^{2}-e_{y}^{2})^{\frac {1}{2}}$
• $l_{x}$ и $l_{y}$ — это координаты точки пересечения линии с плоскостью, проходящей через начало мировой системы отсчета и нормали к линии. Система отсчета на этой нормальной плоскости имеет то же начало, что и мировая система отсчета, и ее $X$ и $Y$ оси кадра — это изображения кадра мира $X$ и $Y$ оси через параллельную проекцию вдоль прямой.

Это представление уникально для направленной линии. Координатные особенности отличаются от особенностей ДХ: они имеют особенности, если линия становится параллельной либо $X$ или $Y$ ось мировой рамки.

Формула произведения экспоненты

Формула произведения экспонент представляет кинематику механизма с открытой цепью как произведение экспонент скручиваний и может использоваться для описания ряда вращательных, призматических и винтовых соединений.

См. также

• Список основных тем робототехники
• Параметры Денавита–Хартенберга

Ссылки

• Джованни Леньяни, Федерико Казоло, Паоло Ригеттини и Бруно Заппа Однородный матричный подход к трехмерной кинематике и динамике - I. Теория механизма и теория машин, том 31, выпуск 5, июль 1996 г., страницы 573–587
• Джованни Леньяни, Федерико Казало, Паоло Ригеттини и Бруно Заппа Однородный матричный подход к трехмерной кинематике и динамике — II. Приложения к цепям твердых тел и серийным манипуляторам. Теория механизмов и машин, том 31, выпуск 5, июль 1996 г., страницы 589–605.
• А. Боттема и Б. Рот. Теоретическая кинематика. Дуврские книги по инженерному делу. Dover Publications, Inc. Минеола, Нью-Йорк, 1990 г.
• А. Кэли . О новом аналитическом представлении кривых в пространстве. Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 3: 225–236, 1860.
• К. Х. Хант . Кинематическая геометрия механизмов . Oxford Science Publications, Оксфорд, Англия, 2-е издание, 1990 г.
• Й. Плюкер . О новой геометрии пространства. Философские труды Лондонского королевского общества , 155:725–791, 1865 г.
• Й. Плюкер . Основные взгляды на механику. Философские труды Лондонского королевского общества , 156: 361–380, 1866 г.
• Дж. Денавит и Р. С. Хартенберг. Кинематическая запись для механизмов младшей пары, основанных на матрицах. Транс ASME J. Appl. Мех, 23: 215–221, 1955 г.
• Р. С. ХартенБерг и Дж. Денавит Кинематический синтез связей МакГроу – Хилл, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1964 г.
• Р. Бернхардт и С.Л. Олбрайт. Калибровка робота , Чепмен и Холл, 1993 г.
• С.А. Хаяти и М. Мирмирани. Повышение абсолютной точности позиционирования роботов-манипуляторов. J. Robotic Systems , 2(4):397–441, 1985 г.
• КС Робертс. Новое представление линии. В материалах конференции по компьютерному зрению и распознаванию образов , страницы 635–640, Анн-Арбор, Мичиган, 1988 г.

Внешние ссылки

• Вычислительное программное обеспечение Denavit Hartenburg Convention, Wolfram.com, «Математический источник», автор: Джейсон Дежарден, 2002 г.