Ипотека с постоянным погашением

Эффект получения 20% годовых процентов на первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов США при различной частоте начисления сложных процентов

Аналогично непрерывному начислению процентов , непрерывный аннуитет. представляет собой обычный аннуитет , в котором интервал платежей сужен на неопределенный срок. (Теоретическая) ипотека с непрерывным погашением — это ипотечный кредит, выплачиваемый посредством непрерывной ренты.

Ипотечные кредиты (т.е. ипотечные кредиты) обычно погашаются в течение нескольких лет серией фиксированных регулярных платежей, обычно называемых аннуитетом . Каждый платеж накапливает сложные проценты с момента внесения депозита до конца срока ипотеки, после чего сумма платежей с накопленными процентами равна стоимости кредита с процентами, начисленными за весь период времени. Учитывая кредит P ₀ , процентную ставку за период i, количество периодов n и фиксированный платеж за период x , уравнение балансировки на конец срока будет следующим:

$P_{0}(1+i)^{n}=\sum _{k=1}^{n}x(1+i)^{n-k}={\frac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}$

Суммирование можно вычислить, используя стандартную формулу суммирования геометрической прогрессии .

В (теоретической) ипотеке с непрерывным погашением интервал платежей сужается на неопределенный срок до тех пор, пока процесс дискретных интервалов не станет непрерывным, а платежи с фиксированными интервалами не станут, по сути, буквальным денежным «потоком» с фиксированной годовой ставкой. В этом случае при заданном кредите P ₀ , годовой процентной ставке r , сроке кредита T (лет) и годовой ставке M _a элементы бесконечно малые денежного потока M _a δt накапливают непрерывно начисляемые проценты от момента времени t до конца периода кредита, при котором точка, уравнение балансировки:

$P_{0}e^{rT}=\int \limits _{0}^{T}M_{a}e^{r(T-t)}\,dt={\frac {M_{a}(e^{rT}-1)}{r}}.$

Суммирование элементов денежного потока и накопленных процентов осуществляется путем интеграции, как показано. Предполагается, что интервал начисления процентов и интервал платежей равны, т. е. начисление процентов всегда происходит одновременно с вычетом платежа.

В течение срока действия кредита непрерывная во времени функция баланса ипотечного кредита подчиняется линейному дифференциальному уравнению первого порядка (LDE). и его альтернативный вывод может быть получен путем решения LDE с использованием метода преобразований Лапласа .

Применение уравнения дает ряд результатов, имеющих отношение к описываемому им финансовому процессу. Хотя эта статья посвящена в первую очередь ипотечным кредитам, используемые методы применимы к любой ситуации, в которой платеж или сбережения осуществляются посредством регулярного потока платежей с фиксированными интервалами (аннуитета).

Вывод непрерывного во времени уравнения

Классическая формула для определения текущей стоимости серии из n фиксированных ежемесячных платежей x, инвестированных под ежемесячную процентную ставку i %:

$P_{v}(n)={\frac {x(1-(1+i)^{-n})}{i}}$

Формулу можно переработать для определения ежемесячного платежа x по кредиту в сумме P _0, взятому на срок n месяцев с ежемесячной процентной ставкой i %:

$x={\frac {P_{0}\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}}$

Начнем с небольшой корректировки формулы: замените i на r / N , где r — годовая процентная ставка, а N — годовая частота периодов начисления сложных процентов ( N = 12 для ежемесячных платежей). Также замените n на NT , где T — общий срок кредита в годах. В этой более общей форме уравнения мы вычисляем x ( N соответствующий частоте N. ) как фиксированный платеж , Например, если N = 365, x соответствует ежедневному фиксированному платежу. По мере N увеличения x ( N ) уменьшается, но произведение N · x ( N ) приближается к предельному значению, как будет показано:

$x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{N(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT})}}$

$N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}$

Обратите внимание, что N · x ( N ) – это просто сумма, выплачиваемая за год – по сути, годовая ставка погашения M _a .

Хорошо известно, что:

$\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {r}{N}}\right)^{Nt}=e^{rt}$

Применяя тот же принцип к формуле годового погашения, мы можем определить предельное значение:

$M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}.$

На этом этапе в ортодоксальной формуле приведенной стоимости последняя более правильно представляется как функция ежегодной частоты начисления сложных процентов N и времени t :

$P_{v}(N,t)={\frac {N\cdot x(N)(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-Nt})}{r}}$

Применяя полученное выше ограничивающее выражение, мы можем записать текущую стоимость как функцию, зависящую исключительно от времени:

$P_{v}(t)=\lim _{N\to \infty }P_{v}(N,t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})$

Рисунок 1

Отмечая, что остаток P ( t ) по кредиту t лет после его выдачи представляет собой просто приведенную стоимость взносов за оставшийся период (т. е. T − t ), мы определяем:

$P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(T-t)})={\frac {P_{0}(1-e^{-r(T-t)})}{1-e^{-rT}}}$

Графики на диаграмме представляют собой сравнение остатка к выплате по ипотеке (1 миллион на 20 лет при r = 10%), рассчитанной, во-первых, в соответствии с вышеуказанной непрерывной моделью, а во-вторых, с использованием функции Excel PV. Как видно, кривые практически неотличимы – расчеты, выполненные с использованием модели, отличаются от расчетов, выполненных с использованием функции Excel PV, всего на 0,3% (максимум). Данные, на основе которых были получены графики, можно просмотреть здесь.

Сравнение с аналогичными физическими системами

Определите переменную «обратного времени» z = T − t . ( т = 0, z = Т и т = Т , z = 0). Затем:

Нанесенная на ось времени, нормированная на постоянную времени системы ( τ = 1/ r лет и τ = RC секунд соответственно), функция баланса ипотечного кредита в CRM (зеленый) представляет собой зеркальное отражение кривой переходного процесса для RC-цепи (синий). .Вертикальная ось нормирована на асимптоту системы, т.е. значение долговечности M _a /r для CRM и приложенное напряжение V ₀ для RC-цепи.

$P(z)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rz}).$

Это можно рассматривать как решение дифференциального уравнения «обратного времени»:

${\frac {M_{a}}{r}}={\frac {1}{r}}{\frac {dP(z)}{dz}}+P(z).$

Инженеры-электрики/электронщики и физики знакомы с уравнением такого рода: это точный аналог того типа дифференциального уравнения, которое управляет (например) зарядкой конденсатора в RC-цепи.

$V_{0}=RC{\frac {dV(t)}{dt}}+V(t).$

Ключевые характеристики таких уравнений подробно объясняются в RC-цепях . Для домовладельцев с ипотечными кредитами важным параметром, который следует учитывать, является постоянная времени уравнения, которая является просто обратной величиной годовой процентной ставки r . Так (например) постоянная времени, когда процентная ставка составляет 10%, равна 10 годам, а срок ипотечного кредита должен быть определен – в пределах финансовой доступности – как минимум, кратный этому, если цель состоит в том, чтобы минимизировать проценты, выплачиваемые по кредиту. кредит.

Ипотечная разница и дифференциальное уравнение

Традиционное уравнение разности для ипотечного кредита вывести относительно просто: остаток, подлежащий выплате в каждом последующем периоде, равен предыдущему балансу плюс проценты за период за вычетом фиксированного платежа за период.

Учитывая годовую процентную ставку r и заемщика с годовой платежеспособностью M _N (разделенной на N равных платежей, осуществляемых через промежутки времени Δ t , где Δ t = 1/ N лет), мы можем написать:

${\begin{aligned}P_{t+\Delta t}&=P_{t}+(rP_{t}-M_{N})\Delta t\\[12pt]{\dfrac {P_{t+\Delta t}-P_{t}}{\Delta t}}&=rP_{t}-M_{N}\end{aligned}}$

Если N неограниченно увеличивать так, что Δ t → 0, мы получаем непрерывное дифференциальное уравнение во времени:

${\operatorname {d} P(t) \over \operatorname {d} t}=rP(t)-M_{a}$

Обратите внимание, что для того, чтобы баланс ипотечного кредита постоянно уменьшался, должно выполняться следующее неравенство:

$P_{0}\leqslant {\frac {M_{a}}{r}}$

P ₀ — то же самое, что P (0) — первоначальная сумма кредита или остаток кредита на момент времени t = 0.

Решение разностного уравнения

Начнем с переписывания разностного уравнения в рекурсивной форме:

$P_{t+\Delta t}=P_{t}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\;$

Используя обозначение P _n для обозначения ипотечного баланса после n периодов, мы можем итеративно применить рекурсивное соотношение для определения P ₁ и P ₂ :

$P_{1}=P_{0}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\;$

${\begin{aligned}P_{2}&=[P_{0}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t](1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{2}-M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\end{aligned}}$

Уже видно, что члены, содержащие M _N, образуют геометрическую прогрессию с общим соотношением 1 + r Δ t . Это позволяет нам написать общее выражение для P _n :

${\begin{aligned}P_{n}&=P_{0}(1+r\Delta t)^{n}-\sum _{k=1}^{n}M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)^{n-k}\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{n}-{\dfrac {M_{N}\Delta t[(1+r\Delta t)^{n}-1]}{r\Delta t}}\end{aligned}}$

Наконец, отметив, что r Δ t = i процентная ставка за период и $M_{N}\Delta t=x$ при выплате за период, выражение можно записать в условной форме:

$P_{n}=P_{0}(1+i)^{n}-{\dfrac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}$

Если срок кредита составляет m периодов, то P _m = 0, и мы получаем стандартную формулу приведенной стоимости:

$P_{0}={\dfrac {x[1-(1+i)^{-m}]}{i}}$

Решение дифференциального уравнения

${\operatorname {d} P(t) \over \operatorname {d} t}=rP(t)-M_{a}$

Одним из методов решения уравнения является получение преобразования Лапласа P ( s ):

$P(s)={\frac {M_{a}}{s(r-s)}}={\frac {M_{a}}{r}}\times {\frac {(-r)}{s(s-r)}}.$

Используя таблицу преобразований Лапласа и их эквивалентов во временной области, P ( t можно определить ):

$P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{rt}).$

Чтобы подогнать это решение к конкретным начальным и конечным точкам функции ипотеки, нам необходимо ввести временной сдвиг на T лет ( T = период кредита), чтобы гарантировать, что функция достигнет нуля в конце периода кредита:

${\begin{aligned}&P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{r(t-T)})\\[8pt]&P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})\Rightarrow {\frac {M_{a}}{r}}={\frac {P_{0}}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\Rightarrow &P(t)={\frac {P_{0}(1-e^{-r(T-t)})}{1-e^{-rT}}}\end{aligned}}$

Обратите внимание, что как исходное решение, так и «сдвинутая по времени» версия удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению, из которого оба получены.

Подобно выражению, полученному выше для P _n в разностном уравнении, выражение для P ( t ) можно записать в следующей алгебраически эквивалентной форме:

$P(t)=P_{0}e^{rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)$

Расчет накопленных процентов и выплат основного долга

Переставляя исходное дифференциальное уравнение, получаем:

$M_{a}=rP(t)-{\frac {dP(t)}{dt}}$

Интегрирование обеих частей уравнения дает:

$M_{a}.t=\int _{0}^{t}rP(t)\,dt\,-\int _{0}^{t}{\frac {dP(t)}{dt}}\,dt\,$

Первый интеграл в правой части определяет накопленные процентные выплаты с момента возникновения до момента t, тогда как второй определяет накопленные выплаты основной суммы долга за тот же период. Сумма этих процентов и выплат основной суммы долга должна равняться совокупным фиксированным платежам в момент t ie Ma _t . времени Оценивая первый интеграл справа, мы получаем выражение для I ( t ), выплачиваемых процентов:

$I(t)=M_{a}t-{\frac {M_{a}(e^{rt}-1)}{re^{rT}}}$

Неудивительно, что второй интеграл равен P ₀ − P ( t ) и, следовательно:

$I(t)=M_{a}t-P_{0}+P(t)\,$

Читатель может легко убедиться, что это выражение алгебраически идентично приведенному выше.

Коэффициент стоимости кредита

Стоимость кредита — это просто годовая ставка, умноженная на срок кредита:

$C=M_{a}T={\frac {P_{0}rT}{1-e^{-rT}}}$

Пусть s = rT . Затем мы можем определить коэффициент стоимости кредита C ( s ) так, что C = P ₀ C (s), т.е.: C ( s ) — это стоимость единицы предоставленной в кредит валюты.

$C(s)={\frac {rT}{1-e^{-rT}}}={\frac {s}{1-e^{-s}}}$

Функция C ( s ) характеризуется наличием предельного значения 1, когда s близко к нулю, поскольку для малых значений s exp(− s ) ≈ 1 − s и знаменатель упрощается до s . Кроме того, когда s очень велико, exp(− s ) мало, поэтому C ( s ) ≈ s и, следовательно, стоимость кредита C ≈ P ₀ rT ( rT >> 0).

В качестве примера рассмотрим кредит в размере 1 000 000 под 10%, погашаемый в течение 20 лет. Тогда s = 0,1 × 20 = 2.

$C=1000000\times {\frac {2}{1-e^{-2}}}\approx 2.313\times 10^{6}$

Произведение rT является легко получаемым, но важным параметром при определении стоимости кредита согласно уравнению C=P ₀ xC(s). Лучше всего это иллюстрируется путем построения графика функции фактора стоимости для значений s в области [0;5]. Линейное поведение функции при больших значениях s очевидно.

Эквивалентный коэффициент затрат по простым процентам

Для кредита с фиксированным сроком на t лет мы можем сравнить вышеуказанный коэффициент стоимости кредита с эквивалентным коэффициентом затрат по простым процентам 1+s _e , где s _e =r _e t и r _e — эквивалентная простая процентная ставка:

${\frac {s}{1-e^{-s}}}=1+s_{e}$

Легко определить s _e через s. Деление на период кредита t даст эквивалентную простую процентную ставку. Более сложным является обратное определение s по заданному s _e .

В своей книге «Решение проблем с помощью True Basic » У доктора Б.Д. Хана есть небольшой раздел, посвященный некоторым схемам «покупки в рассрочку», в которых проценты рассчитываются заранее в виде одной единовременной суммы, которая добавляется к сумме капитала, причем сумма делится поровну на период погашения. Однако у покупателя часто создается впечатление, что проценты начисляются по уменьшающемуся остатку.

Приведенный выше пример адаптирован из примера, приведенного в книге доктора Хана, в которой он использует алгоритм Ньютона-Рафсона для решения той же проблемы, хотя и для дискретного интервала (т.е. ежемесячного) погашения кредита в течение того же периода времени (3 года). Как и во многих подобных примерах, проблема дискретных интервалов и ее решение близко аппроксимируются расчетами, основанными на модели непрерывного погашения: решение доктора Хана для процентной ставки составляет 40,8% по сравнению с 41,6%, рассчитанными выше.

Срок кредита

Если заемщик может позволить себе годовую ставку погашения M _a , то мы можем перестроить формулу расчета M _a так, чтобы получить выражение для периода времени T данного кредита P ₀ :

${\begin{aligned}&M_{a}={\frac {P_{0}r}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\Rightarrow &T={\frac {1}{r}}\ln {\frac {M_{a}}{M_{a}-P_{0}r}}=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)\end{aligned}}$

Минимальный коэффициент оплаты

Коэффициент минимального платежа по кредиту представляет собой отношение минимально возможной ставки платежа к фактической ставке платежа. Минимально возможная ставка платежа - это та, которая покрывает только проценты по кредиту - теоретически заемщик будет платить эту сумму навсегда, потому что ссудный капитал никогда не уменьшается. Мы будем использовать букву k для обозначения минимального коэффициента оплаты:

$k={\frac {M_{\min }}{M_{a}}}={\frac {P_{0}r}{M_{a}}}$

Теперь мы можем рассмотреть небольшую перестановку уравнения для периода кредита T :

$T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)$

$rT=s(k)=-\ln(1-k)\;$

Построение графика зависимости s ( k ) от k дает очень наглядную демонстрацию того, почему рекомендуется поддерживать значение k значительно ниже асимптоты при k = 1, поскольку вблизи него s ( k ) резко увеличивается и, следовательно, увеличивается стоимость кредита. которая, в свою очередь, является возрастающей функцией параметра s ( произведение rT ).

«Период полураспада» кредита

Полезным параметром ипотечной модели является «период полураспада» кредита, то есть время, необходимое для того, чтобы остаток по кредиту достиг половины своей первоначальной стоимости. Чтобы определить «период полураспада», мы можем написать:

${\frac {P(t)}{P_{0}}}={\frac {1}{2}}={\frac {1-e^{-r(T-t)}}{1-e^{-rT}}}$

Решая для t, получаем:

$t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)$

Например, применив формулу к некоторым тестовым данным (кредит в 1 миллион под 10% на 20 лет), мы получим период полураспада 14,34 года. Если на практике кредит погашается ежемесячными платежами, десятичную часть можно преобразовать в месяцы и округлить, чтобы этот ответ был равен 172 месяцам.

Расчет процентной ставки

В модели с дискретным интервалом времени расчет процентной ставки по ипотеке с учетом остальных параметров невозможен с использованием аналитических методов. Такие реализации, как функция «ставка» Excel, используют численный метод «проб и улучшений» для определения процентной ставки. На первый взгляд, то же самое можно сказать и о модели непрерывного погашения. Данный:

$P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})$

мы можем написать:

$rP_{0}=M_{a}(1-e^{-rT})\,$

$\Rightarrow rP_{0}-M_{a}+M_{a}e^{-rT}=0$

Рисунок 1

Чтобы визуализировать вышеизложенное как функцию r хотим определить нули), будет полезно выбрать числовые значения P ₀ , Ma _{(для которого мы} и T как 10000, 6000 и 3 соответственно и построить график, как показано справа. . Функция имеет минимальное значение, которое можно определить путем дифференцирования:

$f'(r)=0\,$

$\Rightarrow P_{0}-M_{a}Te^{-rT}=0$

$\Rightarrow r={\frac {1}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}$

Поскольку функция приблизительно параболична между корнями при r = 0 и искомым значением, мы можем оценить искомый корень как:

$r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}$

Используя это в качестве отправной точки, можно определить более точные значения корня путем повторных итераций алгоритма Ньютона-Рафсона :

$r_{1}=r_{0}-{\frac {f(r_{0})}{f'(r_{0})}}.\,\!$

Некоторые эксперименты с Wolfram Alpha показывают, что точное аналитическое решение, используя функцию Ламберта-W можно получить или «логарифм продукта». Полагая s = M _a T / P _0, получаем:

$r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right)$

В области интереса W (− se ^{− с} ) — двузначная функция. Первое значение равно – s , что дает тривиальное решение r = 0. Второе значение, рассчитанное в контексте приведенной выше формулы, обеспечит требуемую процентную ставку.

В следующей таблице показан расчет первоначальной оценки процентной ставки с последующими несколькими итерациями алгоритма Ньютона-Рафсона. Существует быстрая сходимость к решению с точностью до нескольких десятичных знаков, что можно подтвердить аналитическим решением с использованием функции Ламберта W или функции «productlog» в Wolfram Alpha.

Кредит ( П )	Период ( Т )	Годовая ставка платежа ( Ма )	Первоначальная оценка: 2 ln( MaT / P )/ T
10000	3	6000	39.185778%

Итерации Ньютона – Рафсона

н	р ( п )	ж [ р ( п )]	ж '[ р ( п )]
0	39.185778%	−229.57	4444.44
1	44.351111%	21.13	5241.95
2	43.948044%	0.12	5184.06
3	43.945798%	0	5183.74

Формулы текущей и будущей стоимости

В соответствии со стандартной формулой приведенной стоимости ряда фиксированных ежемесячных платежей мы уже установили ее непрерывный во времени аналог:

$P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt}).$

Аналогичным образом можно определить формулу будущей стоимости:

$F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).$

В этом случае годовая ставка определяется _Ma на основе заданного (будущего) целевого показателя сбережений или фонда погашения P _T следующим образом.

$M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{T}\cdot r}{(1+{\frac {r}{N}})^{NT}-1}}={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}.$

Следует отметить, что, как и следовало ожидать:

$F_{v}(t)=P_{v}(t)\times e^{rt}.\,$

Другой способ рассчитать причитающийся остаток P ( t ) по кредиту с непрерывным погашением — это вычесть будущую стоимость (в момент времени t ) потока платежей из будущей стоимости кредита (также в момент t ):

$P(t)=P_{0}e^{rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).$

Пример

Следующий пример из школьного учебника проиллюстрирует концептуальную разницу между сберегательным аннуитетом, основанным на дискретных временных интервалах (в данном случае в месяц), и аннуитетом, основанным на непрерывных платежах, с использованием приведенной выше формулы будущей стоимости:

В свой 30-й день рождения инвестор решает, что хочет накопить 500 000 рандов к своему 40-летию. Начиная с месяца, он решает производить равные ежемесячные платежи на счет, по которому выплачиваются проценты по ставке 12% годовых, начисляемые ежемесячно. Какие ежемесячные платежи ему придется платить?

Для краткости будем решать задачу «дискретного интервала» с помощью функции Excel PMT:

$x(12)=PMT(1\%,120,500000)=2173.55$

Таким образом, сумма, выплачиваемая ежегодно, составит 26082,57.

Для теоретического сберегательного аннуитета с непрерывными платежами мы можем рассчитать только годовую ставку платежей:

$M_{a}={\frac {500000\times 12\%}{e^{0.12\cdot 10}-1}}=25860.77$

В этот момент возникает соблазн просто разделить на 12, чтобы получить ежемесячный платеж. Однако это противоречило бы основному предположению, на котором основана модель «непрерывных платежей», а именно, что годовая ставка платежей определяется как:

$M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)\,$

Поскольку инвестор, конечно, не может совершать бесконечно малые платежи бесконечное количество раз в год, банку или другому кредитному учреждению, желающему предложить аннуитеты или ипотечные кредиты с «непрерывными выплатами», на практике придется выбрать большое, но конечное значение N ( годовая частота платежей), так что формула непрерывного времени всегда будет правильной с точностью до некоторой минимальной заранее установленной погрешности. Например, в этом примере почасовые фиксированные платежи (рассчитанные по традиционной формуле) составят годовой платеж в размере 25861,07, а ошибка составит <0,02%. Если допустимая погрешность приемлема, почасовую ставку оплаты можно определить проще, разделив M _a на 365×24. Тогда (гипотетическому) кредитному учреждению необходимо будет убедиться, что его вычислительные ресурсы достаточны для осуществления (при необходимости) почасовых списаний со счетов клиентов. Короче говоря, «денежный поток» для непрерывных выплат аннуитетов следует понимать в самом буквальном смысле этого слова.

«Деньги, вносимые в фонд в финансовом мире, выплачиваются в дискретные – обычно через равные промежутки – моменты календарного времени. есть фундаментальная величина».

В следующей таблице показано, как по мере увеличения N (ежегодной частоты начисления процентов) годовой платеж приближается к предельному значению M _a , годовой ставки платежа . Разница (погрешность) между годовым платежом и предельной величиной рассчитывается и выражается в процентах от предельной величины.

Период начисления сложных процентов	Частота (Н)	Процентная ставка за период	Оплата за период x(N)	Ежегодный платеж	% Ошибка
Раз в два года	2	6.000000%	13,592.28	27,184.56	5.118918%
Ежеквартальный	4	3.000000%	6,631.19	26,524.76	2.567558%
Ежемесячно	12	1.000000%	2,173.55	26,082.57	0.857683%
Ежедневно	365	0.032877%	70.87	25,868.07	0.028227%
Ежечасно	8760	0.001370%	2.95	25,861.07	0.001176%

Из вышесказанного становится очевидным, что концепция ипотеки с «непрерывным погашением» является в некоторой степени теоретической конструкцией. Имеет ли это практическую ценность или нет — это вопрос, который необходимо тщательно рассмотреть экономистам и актуариям. значение годовой ставки В частности , необходимо четко понимать погашения, как показано в приведенном выше примере.

Однако модель «непрерывных платежей» действительно дает некоторое значимое представление о поведении функции дискретного баланса ипотечного кредита – в частности, о том, что она в значительной степени определяется постоянной времени, равной обратной величине r номинальной годовой процентной ставки. А если бы ипотека выплачивалась фиксированными ежедневными суммами, то расчеты задолженности, выполненные с использованием этой модели, в целом были бы точными с точностью до небольшой доли процента. Наконец, модель демонстрирует, что увеличение частоты платежей там, где это практически возможно, дает держателю ипотеки скромную выгоду.

Сводка формул и онлайн-калькуляторы

Годовая ставка платежа (ипотечный кредит): $M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}$

Годовая ставка платежа (амортизационный фонд): $M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}$

Будущая стоимость:        $F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)$

Текущая стоимость:        $P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})$

Остаток кредита:        $P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(T-t)})$

Срок кредита:               $T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)$

Период полураспада кредита:        $t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)$

Процентная ставка:            $r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}$              $r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right){\text{ with }}s={\frac {M_{a}t}{P_{0}}}$

Универсальный ипотечный калькулятор . Учитывая любые три из четырех переменных, вычисляется четвертое (неизвестное) значение.

График ипотеки . Это иллюстрирует характерную кривую зависимости баланса ипотечного кредита от времени в течение определенного периода времени. сумма кредита и процентная ставка по кредиту ( p / a Также могут быть указаны ). Дискретный интервальный кредит будет иметь очень схожие характеристики.

Ссылки

• Беквит, Р.Э. (июнь 1968 г.). «Непрерывные финансовые процессы». Журнал финансового и количественного анализа . 3 (2): 113–133. дои : 10.2307/2329786 . JSTOR   2329786 . S2CID   154899442 .
• Технологический институт Джорджии; Хэкман, Стив. «Финансовая инженерия: конспекты курса ISyE 4803A» (PDF) . Технологический институт Джорджии . Проверено 27 апреля 2009 г.
• Гленкросс, MJ (2007). Математика: 12 класс ОБЕ . Издательство «Эффективное обучение», Кейптаун, ЮАР. ISBN  978-1-920116-36-1 .
• Мунем, Массачусетс; Фулис DJ (1986). Алгебра и тригонометрия с приложениями . Издательство Worth, США. ISBN  0-87901-281-1 .
• Хан, Брайан Д. (1989). Решение проблем с помощью True Basic . Juta & Company Limited, Кейптаун, Южная Африка. ISBN  0-7021-2282-3 .

Библиография

• Крейциг, Эрвин, Высшая инженерная математика (1998, Wiley Publishers, США), ISBN   0-471-15496-2 .