Теорема Дубинса – Шварца

В теории мартингалов теорема Дубинса -Шварца (или теорема Дамбиса-Дюбинса-Шварца ) — это теорема, которая утверждает, что все непрерывные локальные мартингалы и мартингалы представляют собой измененные во времени броуновские движения .

Теорема была доказана в 1965 году Лестером Дубинсом и Гидеоном Э. Шварцем. и самостоятельно в том же году К.Э. Дамбис , докторант Евгения Дынкина .

Теорема Дубинса-Шварца

Позволять

• ${\mathcal {M}}_{0,\operatorname {loc} }^{c}$ быть пространством ${\mathcal {F}}_{t}$-адаптированные непрерывные локальные мартингалы $M=(M_{t})_{t\geq 0}$ с $M_{0}=0$.
• $\langle M\rangle$ быть квадратичной вариацией .

Заявление

Позволять $M\in {\mathcal {M}}_{0,\operatorname {loc} }^{c}$ и $\langle M\rangle _{\infty }=\infty$ и определить для всех $t\geq 0$ время меняется (т.е. время остановки )

$T_{t}=\inf\{s:\langle M\rangle _{s}>t\}.$

Затем $B:=(B_{t}):=(M_{T_{t}})$ это ${\mathcal {F}}_{T_{t}}$-броуновское движение и $(M_{t})=(B_{\langle M\rangle _{t}})$.

Примечания

• Состояние $\langle M\rangle _{\infty }=\infty$ гарантирует, что лежащее в основе вероятностное пространство достаточно богато, чтобы существовало броуновское движение. Если убрать эти условия, возможно, придется использовать расширение фильтруемого вероятностного пространства.
• $B$ это не ${\mathcal {F}}_{t}$- Броуновское движение.
• $(T_{t})$ почти наверняка конечны, поскольку $\langle M\rangle _{\infty }=\infty$.