Комплексная геодезия

В математике комплексная геодезическая — это обобщение понятия геодезической на комплексные пространства.

Определение

( X , || ||) — комплексное банахово пространство и пусть B — открытый единичный шар в X. Пусть Пусть Δ обозначает открытый единичный диск в комплексной плоскости C , рассматриваемый как модель диска Пуанкаре для 2-мерной вещественной/1-мерной комплексной гиперболической геометрии . Пусть метрика Пуанкаре ρ на ∆ задается формулой

$\rho (a,b)=\tanh ^{-1}{\frac {|a-b|}{|1-{\bar {a}}b|}}$

и обозначим соответствующую метрику Каратеодори на B через d . Тогда голоморфная функция f : ∆ → B называется комплексной геодезической , если

$d(f(w),f(z))=\rho (w,z)\,$

для всех точек w и z в ∆.

Свойства и примеры сложных геодезических

• Учитывая u ∈ X с || ты || = 1, отображение f : Δ → B , заданное формулой f ( z ) = zu, является комплексной геодезической.
• Геодезические можно перепараметризовать: если f — комплексная геодезическая и g ∈ Aut(∆) — биголоморфный автоморфизм круга ∆, то f   o   g также является комплексной геодезической. Фактически, любая комплексная геодезическая f ₁ с тем же образом, что и f (т. е. f ₁ (∆) = f (∆)) возникает как такая репараметризация f .
• Если

$d(f(0),f(z))=\rho (0,z)$

для некоторого z ≠ 0 тогда f — комплексная геодезическая.

• Если

$\alpha (f(0),f'(0))=1,$

где α обозначает длину Каратеодори касательного вектора, то f — комплексная геодезическая.

Ссылки

• Эрл, Клиффорд Дж. и Харрис, Лоуренс А. и Хаббард, Джон Х. и Митра, Судеб (2003). «Лемма Шварца и псевдометрики Кобаяши и Каратеодори на комплексных банаховых многообразиях». В Комори, Ю.; Маркович, В.; Серия, С. (ред.). Клейновы группы и гиперболические 3-многообразия (Warwick, 2001) . Лондонская математика. Соц. Конспект лекций Сер. 299. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. стр. 363–384. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )