Идеально подобранный слой

Схема FDTD для задачи рассеяния света . Полосатые границы соответствуют идеально согласованным слоям, которые используются для имитации открытых границ путем поглощения исходящих волн.

Идеально согласованный слой ( PML ) — это искусственный поглощающий слой для волновых уравнений , обычно используемый для усечения вычислительных областей в численных методах моделирования задач с открытыми границами, особенно в методах FDTD и FE . Ключевое свойство ПМЛ, отличающее его от обычного поглощающего материала, заключается в том, что он сконструирован таким образом, что волны, падающие на ПМЛ из среды, не являющейся ПМЛ, не отражаются на границе раздела - это свойство позволяет ПМЛ сильно поглощать исходящие волны от внутрь вычислительной области, не отражая их обратно внутрь.

PML был первоначально сформулирован Беренджером в 1994 году. для использования с уравнениями Максвелла , и с тех пор было несколько связанных переформулировок PML как для уравнений Максвелла, так и для других уравнений волнового типа, таких как эластодинамика, линеаризованные уравнения Эйлера, уравнения Гельмгольца и пороупругость. Первоначальная формулировка Беренджера называется PML с расщепленным полем , поскольку она разделяет электромагнитные поля на два нефизических поля в области PML. Более поздняя формулировка, ставшая более популярной из-за своей простоты и эффективности, называется одноосным PML или UPML . в котором ПМЛ описывается как искусственный анизотропный поглощающий материал. Хотя и формулировка Беренджера, и UPML изначально были получены путем ручного построения условий, при которых падающие плоские волны не отражаются от границы раздела PML из однородной среды, позже было показано, что обе формулировки эквивалентны гораздо более элегантному и общему подходу: растянутому координировать ПМЛ . В частности, было показано, что PML соответствуют преобразованию координат , при котором одна (или несколько) координат сопоставляются с комплексными числами ; более технически, это на самом деле аналитическое продолжение волнового уравнения в комплексные координаты, заменяющее распространяющиеся (колеблющиеся) волны экспоненциально затухающими волнами. Эта точка зрения позволяет получать PML для неоднородных сред, таких как волноводы , а также для других систем координат и волновых уравнений.

Техническое описание

Продолжительность: 14 секунд. 0:14

Поглощение импульсной сферической волны через растянутую координату PML в методе 2D FDTD. Белая рамка указывает границу моделирования.

В частности, для PML, предназначенного для поглощения волн, распространяющихся в направлении x , в волновое уравнение включено следующее преобразование. Везде, где x производная $\partial /\partial x$ появляется в волновом уравнении, его заменяют на:

${\frac {\partial }{\partial x}}\to {\frac {1}{1+{\frac {i\sigma (x)}{\omega }}}}{\frac {\partial }{\partial x}}$

где $\omega$ угловая частота и $\sigma$ это некоторая функция от x . где угодно $\sigma$ положительно, распространяющиеся волны затухают, потому что:

$e^{i(kx-\omega t)}\to e^{i(kx-\omega t)-{\frac {k}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'},$

где мы взяли плоскую волну, распространяющуюся в направлении + x (для $k>0$) и применил преобразование (аналитическое продолжение) к комплексным координатам: $x\to x+{\frac {i}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'$или эквивалентно $dx\to dx(1+i\sigma /\omega )$. То же преобразование координат приводит к затуханию волн всякий раз, когда их зависимость от x имеет вид $e^{ikx}$ для некоторой постоянной распространения k : сюда входят плоские волны, распространяющиеся под некоторым углом к ​​оси x , а также поперечные моды волновода.

Вышеупомянутое преобразование координат можно оставить как есть в преобразованных волновых уравнениях или можно объединить с описанием материала (например, диэлектрической проницаемостью и проницаемостью в уравнениях Максвелла) для формирования описания UPML. Коэффициент σ/ω зависит от частоты — таким образом, скорость затухания пропорциональна k /ω, которая не зависит от частоты в однородном материале (не включая дисперсию материала , например, в вакууме ) из-за дисперсионного соотношения между ω и k. . Однако эта частотная зависимость означает, что во временной области реализация PML , например, в методе FDTD , более сложна, чем для частотно-независимого поглотителя, и включает подход вспомогательного дифференциального уравнения (ADE) (эквивалентно, i /ω выглядит как интеграл во временной области ) или свертка .

Идеально подобранные слои в своей первоначальной форме лишь ослабляют распространяющиеся волны; чисто затухающие волны (экспоненциально затухающие поля) колеблются в ПМЛ, но не затухают быстрее. Однако затухание затухающих волн также можно ускорить, включив действительное в PML растяжение координат: это соответствует тому, что σ в приведенном выше выражении становится комплексным числом , где мнимая часть дает реальное растяжение координат, которое приводит к более сильному затуханию затухающих волн. быстро.

Ограничения идеально согласованных слоев

PML широко используется и стал предпочтительным методом поглощающих границ в большей части вычислительного электромагнетизма. Хотя в большинстве случаев он работает хорошо, есть несколько важных случаев, когда он выходит из строя, страдая от неизбежных отражений или даже экспоненциального роста.

Единственное предостережение относительно идеально согласованных слоев заключается в том, что они не отражают только точное уравнение непрерывной волны. Как только волновое уравнение дискретизируется для моделирования на компьютере, появляются небольшие числовые отражения (которые исчезают с увеличением разрешения). По этой причине коэффициент поглощения ПМЛ σ обычно включается постепенно от нуля (например, квадратично ) на небольшом расстоянии в масштабе длины волны. В общем, любой поглотитель, ПМЛ или нет, является безотражательным в том пределе, когда он включается достаточно постепенно (и поглощающий слой становится толще), но в дискретной системе преимущество ПМЛ заключается в уменьшении «перехода» конечной толщины. отражение на много порядков по сравнению с простым коэффициентом изотропного поглощения.

В некоторых материалах существуют решения «обратной волны», в которых групповая и фазовая скорости противоположны друг другу. Это происходит в «левых» метаматериалах с отрицательным показателем преломления для электромагнетизма, а также для акустических волн в некоторых твердых материалах, и в этих случаях стандартная формулировка PML нестабильна: она приводит к экспоненциальному росту, а не к затуханию просто потому, что знак k равен перевернуто в анализе выше. К счастью, есть простое решение в левой среде (в которой все волны обратные): просто поменяйте знак σ. Однако сложность заключается в том, что физические левые материалы являются дисперсионными : они являются левыми только в определенном диапазоне частот, и поэтому коэффициент σ должен быть сделан частотно-зависимым. К сожалению, даже без экзотических материалов можно спроектировать определенные волноводные структуры (например, полую металлическую трубку с цилиндром с высоким преломлением в центре), которые демонстрируют решения как для обратной, так и для прямой волны на одной и той же частоте, так что любой выбор знака для σ приведет к экспоненциальному росту, и в таких случаях ПМЛ оказывается безвозвратно нестабильным.

Еще одним важным ограничением PML является то, что он требует, чтобы среда была инвариантной в направлении, ортогональном границе, чтобы поддерживать аналитическое продолжение решения до комплексных координат (комплексное «растяжение координат»). Как следствие, подход PML больше не действителен (больше не является безотражательным при бесконечном разрешении) в случае периодических сред (например, фотонных кристаллов или фононных кристаллов ). или даже просто волновод, входящий в границу под косым углом.

См. также

• Метод Каньяра-де-Обупа

Внешние ссылки

• Анимация на тему эффектов ПМЛ (YouTube)