Расширение Крамерса – Мойала

В случайных процессах расширение Крамерса-Мойала относится к ряд Тейлора в разложению основного уравнения , названному в честь Ганса Крамерса и Хосе Энрике Мойала . Во многих учебниках разложение используется только для вывода уравнения Фоккера-Планка и больше никогда не используется. В общем, все непрерывные случайные процессы по существу являются марковскими, поэтому для их изучения достаточно уравнений Фоккера – Планка. Расширение Крамерса-Мойала высшего порядка вступает в игру только тогда, когда процесс носит скачкообразный характер . Обычно это означает, что это пуассоновский процесс .

Для реального случайного процесса можно вычислить его центральные моментные функции на основе экспериментальных данных о процессе, на основе которых затем можно вычислить его коэффициенты Крамерса – Мойала и, таким образом, эмпирически измерить его прямые и обратные уравнения Колмогорова. Это реализовано как пакет Python.

Заявление

Начните с интегро-дифференциального главного уравнения

${\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=\int p(x,t|x_{0},t_{0})p(x_{0},t_{0})dx_{0}$

где $p(x,t|x_{0},t_{0})$ — функция вероятности перехода , а $p(x,t)$ плотность вероятности в момент времени $t$. Расширение Крамерса – Мойала преобразует приведенное выше уравнение в частные дифференциальные уравнения бесконечного порядка.

$\partial _{t}p(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-\partial _{x})^{n}[D_{n}(x,t)p(x,t)]$

а также $$\partial _{t}p(x,t|x_{0},t_{0})=\sum _{n=1}^{\infty }(-\partial _{x})^{n}[D_{n}(x,t)p(x,t|x_{0},t_{0})]$$

где $D_{n}(x,t)$ – коэффициенты Крамерса–Мойала, определяемые формулой $$D_{n}(x,t)={\frac {1}{n!}}\lim _{\tau \to 0}{\frac {1}{\tau }}\mu _{n}(t|x,t-\tau )$$и $\mu _{n}$ являются функциями центрального момента , определяемыми формулой

$\mu _{n}(t'|x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }(x'-x)^{n}p(x',t'\mid x,t)\ dx'.$

Уравнение Фоккера –Планка получается, если сохранить только первые два члена ряда, в котором $D_{1}$ это дрейф и $D_{2}$ – коэффициент диффузии.

Кроме того, моменты, если они существуют, развиваются как

$${\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle x^{n}\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{(n-k)!}}\left\langle x^{n-k}D^{(k)}(x,t)\right\rangle$$где угловые скобки означают ожидание: $\left\langle f\right\rangle =\int f(x)p(x,t)dx$.

n-мерная версия

Вышеуказанная версия является одномерной версией. Он обобщается на n-мерности. (раздел 4.7 )

Доказательство

В обычной вероятности, когда плотность вероятности не меняется, моменты функции плотности вероятности определяют саму плотность вероятности с помощью преобразования Фурье (подробности можно найти на странице характеристической функции ): $$p(x)={\frac {1}{2\pi }}\int e^{-ikx}{\tilde {p}}(k)dk=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)\mu _{n}$$$${\tilde {p}}(k)=\int e^{ikx}p(x)dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(ik)^{n}}{n!}}\mu _{n}$$Сходным образом, $$p(x,t|x_{0},t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x-x_{0})\mu _{n}(t|x_{0},t_{0})$$Теперь нам нужно интегрировать дельта-функцию Дирака. Исправление небольшого $\tau >0$, имеем по уравнению Чепмена-Колмогорова , $${\begin{aligned}p(x,t)&=\int p(x,t|x',t-\tau )p(x',t-\tau )dx'\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int p(x',t-\tau )\delta ^{(n)}(x-x')\mu _{n}(t|x',t-\tau )dx'\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\partial _{x}^{n}(p(x,t-\tau )\mu _{n}(t|x,t-\tau ))\end{aligned}}$$The $n=0$ срок просто $p(x,t-\tau )$, поэтому взяв производную по времени, $$\partial _{t}p(x,t)=\lim _{\tau \to 0^{+}}{\frac {1}{\tau }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\partial _{x}^{n}(p(x,t-\tau )\mu _{n}(t|x,t-\tau ))=\sum _{n=1}^{\infty }(-\partial _{x})^{n}(p(x,t)D_{n}(x,t))$$

Тот же расчет с $p(x,t|x_{0},t_{0})$ дает другое уравнение.

Прямые и обратные уравнения

Уравнение можно преобразовать в форму линейного оператора, используя идею бесконечно малого генератора . Определите линейный оператор $${\mathcal {A}}f:=\sum _{n=1}^{\infty }(-\partial _{x})^{n}[D_{n}(x,t)f(x,t)]$$тогда уравнение выше гласит $${\begin{aligned}\partial _{t}p(x,t)&={\mathcal {A}}p(x,t)\\\partial _{t}p(x,t|x_{0},t_{0})&={\mathcal {A}}p(x,t|x_{0},t_{0})\end{aligned}}$$В таком виде уравнения имеют именно форму общего прямого уравнения Колмогорова . Тогда обратное уравнение утверждает, что $$\partial _{t}p(x_{1},t_{1}|x,t)=-{\mathcal {A}}^{\dagger }p(x_{1},t_{1}|x,t)$$где $${\mathcal {A}}^{\dagger }f:=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}(x,t)\partial _{x}^{n}[f(x,t)]$$является эрмитовым сопряжением ${\mathcal {A}}$.

Вычисление коэффициентов Крамерса – Мойала

По определению, $$D_{n}(x,t)={\frac {1}{n!}}\lim _{\tau \to 0}{\frac {1}{\tau }}\mu _{n}(t|x,t-\tau )$$Это определение работает, потому что $\mu _{n}(t|x,t)=0$, поскольку это центральные моменты дельта-функции Дирака. Поскольку четные центральные моменты неотрицательны, имеем $D_{2n}\geq 0$ для всех $n\geq 1$. Когда случайный процесс является марковским процессом $dX=bdt+\sigma dW_{t}$, мы можем напрямую решить $p(x,t|x,t-\tau )$ аппроксимировано нормальным распределением со средним значением $x+b(x)\tau$ и дисперсия $\sigma ^{2}\tau$. Это позволяет нам вычислить центральные моменты, и так $$D_{1}=b,\quad D_{2}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2},\quad D_{3}=D_{4}=\cdots =0$$Это дает нам одномерное уравнение Фоккера – Планка: $$\partial _{t}p=-\partial _{x}(bp)+{\frac {1}{2}}\partial _{x}^{2}(\sigma ^{2}p)$$

Я преподаю теорему

Теорема Павулы утверждает, что либо последовательность $D_{1},D_{2},D_{3},...$ становится нулевым на третьем члене, или все его четные члены положительны.

Доказательство

По неравенству Коши–Шварца функции центрального момента удовлетворяют $\mu _{n+m}^{2}\leq \mu _{2n}\mu _{2m}$. Итак, переходя к пределу, мы имеем $D_{n+m}^{2}\leq {\frac {(2n)!(2m)!}{(n+m)!^{2}}}D_{2n}D_{2m}$. Если некоторые $D_{2+n}\neq 0$ для некоторых $n\geq 1$, затем $D_{2}D_{2+2n}>0$. В частности, $D_{2+n},D_{2+2n},D_{2+4n},...>0$. Таким образом, существование любого ненулевого коэффициента порядка $\geq 3$ подразумевает существование ненулевых коэффициентов сколь угодно большого порядка. Кроме того, если $D_{n}\neq 0$, затем $D_{2}D_{2n-2}>0,D_{4}D_{2n-4}>0,...$. Таким образом, существование любого ненулевого коэффициента порядка $n$ подразумевает все коэффициенты порядка $2,4,...,2n-2$ являются положительными.

Интерпретация

Пусть оператор ${\mathcal {A}}_{m}$ быть определены такие ${\mathcal {A}}_{m}f:=\sum _{n=1}^{m}(-\partial _{x})^{n}[D_{n}(x,t)f(x,t)]$. Плотность вероятности изменяется по $\partial _{t}\rho \approx {\mathcal {A}}_{m}\rho$. Разный порядок $m$ дает разный уровень приближения.

• $m=0$: плотность вероятности не меняется
• $m=1$: он развивается только за счет детерминистского дрейфа.
• $m=2$: он развивается за счет дрейфа и броуновского движения (уравнение Фоккера-Планка)
• $m=\infty$: полностью точное уравнение.

Теорема Павулы означает, что если усечение до второго члена неточно, то есть ${\mathcal {A}}_{2}\neq {\mathcal {A}}$, то усечение до любого термина все еще не является точным. Обычно это означает, что при любом усечении ${\mathcal {A}}_{m}$, существует функция плотности вероятности $\rho$ который может стать отрицательным в ходе своей эволюции $\partial _{t}\rho \approx {\mathcal {A}}_{m}\rho$ (и, следовательно, не является функцией плотности вероятности). Однако это не означает, что разложения Крамерса-Мойала усекаются при других вариантах выбора. $m$ бесполезно. Хотя решение должно иметь отрицательные значения, по крайней мере, на достаточно малых временах, результирующая плотность вероятности аппроксимации все же может быть лучше, чем $m=2$ приближение.