Дерево примитивных пифагорейских троек

В математике дерево примитивных троек Пифагора — это дерево данных , в котором каждый узел разветвляется на три последующих узла с бесконечным набором всех узлов, дающих все (и только) примитивные тройки Пифагора без дублирования.

Тройка Пифагора — это набор из трех натуральных чисел a, b и c, обладающих тем свойством, что они могут быть соответственно двумя катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника , удовлетворяя таким образом уравнению $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ; тройка называется примитивной тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель a , b и c равен единице. Примитивная пифагорова тройка a, b и c также попарно взаимно проста . Множество всех примитивных пифагоровых троек имеет структуру корневого дерева , а именно троичного дерева естественным образом . Впервые это было обнаружено Б. Берггреном в 1934 г. ^[1]

FJM Барнинг показал ^[2] что когда любая из трех матриц

{\begin{array}{lcr}A={\begin{bmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{bmatrix}}&B={\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}}&C={\begin{bmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{bmatrix}}\end{array}}

умножается . справа на вектор-столбец , компоненты которого образуют тройку Пифагора, тогда результатом является другой вектор-столбец, компоненты которого представляют собой другую тройку Пифагора Если исходная тройка примитивна, то и полученная в результате примитивна. Таким образом, каждая примитивная пифагорова тройка имеет трёх «детей». Все примитивные пифагоровы тройки происходят таким образом от тройки (3, 4, 5), и ни одна примитивная тройка не появляется более одного раза. Результат может быть графически представлен как бесконечное троичное дерево с (3, 4, 5) в корневом узле (см. классическое дерево справа). Это дерево также появилось в работах А. Холла в 1970 г. ^[3] и А.Р. Канга в 1990 году. ^[4] В 2008 году В. Е. Фирстов вообще показал, что существуют только три таких трихотомических дерева, которые явно дают дерево, подобное дереву Берггрена, но начиная с начального узла (4, 3, 5). ^[5]

Доказательства

Наличие исключительно примитивных пифагорейских троек.

Можно индуктивно показать , что дерево содержит примитивные пифагоровы тройки и ничего больше, показав, что, начиная с примитивной пифагоровой тройки, такой как присутствует в начальном узле с (3, 4, 5), каждая порожденная тройка является одновременно пифагоровой и примитивной. .

Сохранение пифагорейской собственности

Если любая из приведенных выше матриц, скажем A , применяется к тройке ( a , b , c ) ^Т обладающий пифагорейским свойством ² + б ² = с ² чтобы получить новую тройку ( d , e , f ) ^Т знак равно А ( а , б , с ) ^Т, эта новая тройка тоже пифагорейская. В этом можно убедиться, выписав каждый из d , e и f как сумму трех членов a , b и c , возведя каждый из них в квадрат и подставив c ² = а ² + б ² чтобы получить f ² = д ² + и ². Это справедливо для B и C, также для A. а

Сохранение примитивности

матрицы A , B и C Все унимодулярны , то есть имеют только целые элементы и их определители равны ±1. Таким образом, их обратные также унимодулярны и, в частности, имеют только целочисленные элементы. Итак, если какой-либо из них, например A , применить к примитивной пифагоровой тройке ( a , b , c ) ^Т чтобы получить еще одну тройку ( d , e , f ) ^Т, у нас есть ( d , e , f ) ^Т знак равно А ( а , б , с ) ^Т и, следовательно, ( a , b , c ) ^Т = А ⁻¹( д , е , ж ) ^Т. Если бы какой-либо простой делитель был общим для любых двух (и, следовательно, всех трех) d , e и f , то согласно этому последнему уравнению это простое число также делило бы каждый из a , b и c . Таким образом, если a , b и c на самом деле попарно взаимно просты, то d , e и f также должны быть попарно взаимно простыми. Это справедливо для B и C, также для A. а

Наличие каждой примитивной пифагоровой тройки ровно один раз.

Чтобы показать, что дерево содержит все примитивные пифагоровы тройки, но не более одного раза, достаточно показать, что для любой такой тройки существует ровно один путь назад по дереву к начальному узлу (3, 4, 5). В этом можно убедиться, применяя поочередно каждую из унимодулярных обратных матриц A ⁻¹, Б ⁻¹и С ⁻¹ к произвольной примитивной пифагоровой тройке ( d , e , f ), отметив, что в результате приведенных выше рассуждений примитивность и свойство Пифагора сохраняются, и отметив, что для любой тройки, большей, чем (3, 4, 5), ровно одна из обратных матриц перехода дает новую тройку со всеми положительными элементами (и меньшей гипотенузой). По индукции эта новая правильная тройка сама по себе приводит ровно к одной меньшей допустимой тройке и так далее. В силу конечности числа все меньших и меньших потенциальных гипотенуз в конечном итоге достигается (3, 4, 5). Это доказывает, что ( d , e , f ) действительно встречается в дереве, поскольку его можно достичь из (3, 4, 5), изменив шаги; и это происходит однозначно, потому что был только один путь от ( d , e , f ) к (3, 4, 5).

Характеристики

Преобразование с использованием матрицы A , если оно выполняется неоднократно из ( a , b , c ) = (3, 4, 5), сохраняет признак b + 1 = c ; матрица B сохраняет a – b = ±1, начиная с (3, 4, 5); и матрица C сохраняет признак a + 2 = c, начиная с (3, 4, 5).

Геометрическая интерпретация этого дерева включает в себя вписанные окружности , присутствующие в каждом узле. Три дочерних элемента любого родительского треугольника «наследуют» свои внутренние радиусы от родителя: радиусы внешней окружности родительского треугольника становятся внутренними радиусами для следующего поколения. ^[6]^{: стр.7} Например, родительский элемент (3, 4, 5) имеет радиусы внешней окружности, равные 2, 3 и 6. Это в точности внутренние радиусы трех дочерних элементов (5, 12, 13), (15, 8, 17) и (21, 20, 29) соответственно.

Если любой из A или C применяется повторно из любой тройки Пифагора, используемой в качестве начального условия, то динамика любого из a , b и c может быть выражена как динамика x в

x_{n+3}-3x_{n+2}+3x_{n+1}-x_{n}=0\,

матриц которое основано на общем характеристическом уравнении

\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+3\lambda -1=0.\,

Если B применяется неоднократно, то динамика любого из a , b и c может быть выражена как динамика x в

x_{n+3}-5x_{n+2}-5x_{n+1}+x_{n}=0,\,

которое соответствует характеристическому уравнению B . ^[7]

Более того, бесконечное множество других одномерных разностных уравнений третьего порядка можно найти, умножив любую из трех матриц произвольное количество раз в произвольной последовательности. Например, матрица D = CB перемещает одного человека из дерева на два узла (вперёд, затем вниз) за один шаг; характеристическое уравнение D обеспечивает модель динамики третьего порядка любого из a , b или c в неисчерпывающем дереве, образованном D .

Альтернативные методы создания дерева

Использование двух параметров

Другой подход к динамике этого дерева ^[8] опирается на стандартную формулу для создания всех примитивных троек Пифагора:

a=m^{2}-n^{2},\,

b=2mn,\,

c=m^{2}+n^{2},\,

с $m > n > 0$ и $m$ и $n$ взаимно простыми и противоположной четности (т. е. не оба нечетные). Пары $(m, n)$ можно повторять, предварительно умножив их (выраженные как вектор-столбец) на любой из

{\begin{array}{lcr}{\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\end{array}}

каждый из которых сохраняет неравенства, взаимно простую и противоположную четность. Полученное троичное дерево, начиная с $(2, 1)$ , содержит каждую такую $пару (m, n)$ ровно один раз, а при преобразовании в $тройки (a, b, c)$ оно становится идентичным дереву, описанному выше.

Альтернативно, начните с $(m, n) = (3, 1)$ для корневого узла. ^[9] Тогда при умножении матриц сохранятся неравенства и взаимопростота, а $m$ и $n$ останутся нечетными. Соответствующие примитивные тройки Пифагора будут иметь $a = (m 2 - п 2) / 2$ , $b = mn$ и $c = (m 2 + н 2) / 2$ . Это дерево будет порождать те же самые примитивные пифагоровы тройки, но с $перепутанными местами a$ и $b$ .

Использование одного параметра

Этот подход основан на стандартной формуле для создания любой примитивной пифагоровой тройки из тангенса половинного угла. В частности, пишут $t = n / m = b /(a + c)$ , где $t$ — тангенс половины внутреннего угла, противоположного стороне длины $b$ . Корневым узлом дерева является $t = 1/2$ , что соответствует примитивной пифагоровой тройке $(3, 4, 5)$ . Для любого узла со значением $t$ его тремя дочерними элементами являются $1/(2- t)$ , $1/(2+ t)$ и $t /(1+ 2t)$ . Чтобы найти примитивную тройку Пифагора, связанную с любым таким значением $t$ , вычислите $(1 - t 2, 2 т, 1 + т 2)$ и умножьте все три значения на наименьшее общее кратное их знаменателей. (Альтернативно запишите $t = n / m$ как дробь в наименьших терминах и используйте формулы из предыдущего раздела.) Корневой узел, который вместо этого имеет значение $t = 1/3,$ даст то же самое дерево примитивных пифагоровых троек, но с значения $a$ и $b$ поменялись местами.

Другое дерево

В качестве альтернативы можно также использовать три разные матрицы, найденные Прайсом. ^[6] Эти матрицы A', B', C' и соответствующие им линейные преобразования показаны ниже.

{\overset {{A}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\end{matrix}}\right],\quad {\text{     }}{\overset {{B}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{     }}{\overset {{C}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]

Три линейных преобразования Прайса:

{\begin{aligned}&{\begin{matrix}+2a+b-c=a_{1}\quad &-2a+2b+2c=b_{1}\quad &-2a+b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a+b+c=a_{2}\quad &+2a-2b+2c=b_{2}\quad &+2a-b+3c=c_{2}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{2},{\text{ }}b_{2},{\text{ }}c_{2}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a-b+c=a_{3}\quad &+2a+2b+2c=b_{3}\quad &+2a+b+3c=c_{3}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{3},{\text{ }}b_{3},{\text{ }}c_{3}\right]\end{matrix}}\\&\end{aligned}}

Три потомка, созданные каждым из двух наборов матриц, не одинаковы, но каждый набор отдельно производит все примитивные тройки.

Например, используя [5, 12, 13] в качестве родительского элемента, мы получаем два набора по три дочерних элемента:

{\begin{array}{ccc}&\left[5,12,13\right]&\\A&B&C\\\left[45,28,53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{array}{ccc}{}&\left[5,12,13\right]&{}\\A'&B'&C'\\\left[9,40,41\right]&\left[35,12,37\right]&\left[11,60,61\right]\end{array}}

Примечания и ссылки

^ Б. Берггрен, «Треугольники Пифагора» (на шведском языке), Elementa: Журнал элементарной математики, физики и химии 17 (1934), 129–139. См. стр. 6 для дерева с корнями.
^ Барнинг, FJM (1963), «О пифагоровых и околопифагорейских треугольниках и процессе генерации с использованием унимодулярных матриц» (на голландском языке), Math. Центр Амстердама Отдел. Чистая математика. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151
^ А. Холл, «Генеалогия пифагорейских триад», The Mathematical Gazette , том 54, номер 390, декабрь 1970 г., страницы 377–9.
^ Канга, А.Р., «Генеалогическое древо троек Пифагора», Бюллетень Института математики и его приложений , 26, январь / февраль 1990 г., 15–17.
^ Фирстов В.Е. (2008). «Специальная полугруппа матричного преобразования примитивных пар и генеалогия пифагорейских троек» . Мат. Заметки . 84 (2): 281–299. дои : 10.4213/mzm4074 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Прайс, Х. Ли (2008). «Древо Пифагора: новый вид». arXiv : 0809.4324 [ math.HO ].
^ Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь о 92,60», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 358–9.
^ Сондерс, Роберт А.; Рэндалл, Тревор (июль 1994 г.), «Возвращение к генеалогическому древу пифагорейских троек», Mathematical Gazette , 78 : 190–193, doi : 10.2307/3618576 , JSTOR 3618576 , S2CID 125749577 .
^ Митчелл, Дуглас В., «Альтернативная характеристика всех примитивных пифагорейских троек», Mathematical Gazette 85, июль 2001 г., 273–275.

Внешние ссылки

Троичное дерево(а), лежащее в основе примитивных пифагорейских троек, при разрезании узла
Фрэнк Р. Бернхарт и Х. Ли Прайс, «Возвращение к саду Пифагора», Australian Senior Mathematics Journal, 01/2012; 26(1):29-40. [1]
Вайсштейн, Эрик В. «Тройка Пифагора» . Математический мир .

[1] Б. Берггрен, «Треугольники Пифагора» (на шведском языке), Elementa: Журнал элементарной математики, физики и химии 17 (1934), 129–139. См. стр. 6 для дерева с корнями.

[2] Барнинг, FJM (1963), «О пифагоровых и околопифагорейских треугольниках и процессе генерации с использованием унимодулярных матриц» (на голландском языке), Math. Центр Амстердама Отдел. Чистая математика. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151

[3] А. Холл, «Генеалогия пифагорейских триад», The Mathematical Gazette , том 54, номер 390, декабрь 1970 г., страницы 377–9.

[4] Канга, А.Р., «Генеалогическое древо троек Пифагора», Бюллетень Института математики и его приложений , 26, январь / февраль 1990 г., 15–17.

[5] Фирстов В.Е. (2008). «Специальная полугруппа матричного преобразования примитивных пар и генеалогия пифагорейских троек» . Мат. Заметки . 84 (2): 281–299. дои : 10.4213/mzm4074 .

[Price-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Прайс, Х. Ли (2008). «Древо Пифагора: новый вид». arXiv : 0809.4324 [ math.HO ].

[7] Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь о 92,60», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 358–9.

[8] Сондерс, Роберт А.; Рэндалл, Тревор (июль 1994 г.), «Возвращение к генеалогическому древу пифагорейских троек», Mathematical Gazette , 78 : 190–193, doi : 10.2307/3618576 , JSTOR 3618576 , S2CID 125749577 .

[9] Митчелл, Дуглас В., «Альтернативная характеристика всех примитивных пифагорейских троек», Mathematical Gazette 85, июль 2001 г., 273–275.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]