Тест Бреуша – Пэгана

В статистике используется тест Бреуша -Пэгана , разработанный в 1979 году Тревором Бреушем и Адрианом Пэганом . используется для проверки гетероскедастичности в модели линейной регрессии . Он был независимо предложен с некоторыми расширениями Р. Деннисом Куком и Сэнфордом Вейсбергом в 1983 году ( тест Кука-Вейсберга ). Основанный на принципе теста множителя Лагранжа , он проверяет, зависит ли регрессии от дисперсия ошибок значений независимых переменных. В этом случае присутствует гетероскедастичность.

Формулировка

Предположим, что мы оцениваем регрессионную модель

$y=\beta _{0}+\beta _{1}x+u,\,$

и получить из этой подобранной модели набор значений для ${\widehat {u}}$, остатки. Обычный метод наименьших квадратов ограничивает их так, что их среднее значение равно 0, и поэтому, учитывая предположение, что их дисперсия не зависит от независимых переменных , оценку этой дисперсии можно получить из среднего значения квадратов значений остатков. Если предположение неверно, простая модель может заключаться в том, что дисперсия линейно связана с независимыми переменными. Такую модель можно изучить путем регрессии квадратов остатков по независимым переменным, используя вспомогательное уравнение регрессии вида

${\widehat {u}}^{2}=\gamma _{0}+\gamma _{1}x+v.\,$

Это основа теста Бреуша-Пэгана. Это тест хи-квадрат : статистика теста распределяется nχ ² с k степенями свободы. Если тестовая статистика имеет значение p ниже соответствующего порога (например, p <0,05), то нулевая гипотеза гомоскедастичности отклоняется и предполагается гетероскедастичность.

Если тест Бреуша-Пэгана показывает, что существует условная гетероскедастичность, можно либо использовать взвешенные наименьшие квадраты (если известен источник гетероскедастичности), либо использовать стандартные ошибки, согласующиеся с гетероскедастичностью .

Процедура

При классических предположениях обычный метод наименьших квадратов является лучшим линейным несмещенным оценщиком (СИНИЙ), т. е. он несмещен и эффективен. Он остается несмещенным в условиях гетероскедастичности, но эффективность теряется. Прежде чем принять решение о методе оценки, можно провести тест Бреуша – Пэгана, чтобы проверить наличие гетероскедастичности. Тест Бреуша–Пэгана основан на моделях типа $\sigma _{i}^{2}=h(z_{i}'\gamma )$ для дисперсий наблюдений, где $z_{i}=(1,z_{2i},\ldots ,z_{pi})$ объясните разницу в дисперсиях. Нулевая гипотеза эквивалентна $(p-1)\,$ ограничения параметров:

$\gamma _{2}=\cdots =\gamma _{p}=0.$

Следующий множитель Лагранжа (LM) дает статистику теста Бреуша – Пэгана:

${\text{LM}}=\left({\frac {\partial \ell }{\partial \theta }}\right)^{\mathsf {T}}\left(-E\left[{\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \theta \,\partial \theta '}}\right]\right)^{-1}\left({\frac {\partial \ell }{\partial \theta }}\right).$

Этот тест можно реализовать с помощью следующей трехэтапной процедуры:

• Шаг 1. Примените МНК в модели.

$y_{i}=X_{i}\beta +\varepsilon _{i},\quad i=1,\dots {},n$

• Шаг 2 : Вычислите остатки регрессии, ${\hat {\varepsilon }}_{i}$, возведите их в квадрат и разделите на оценку максимального правдоподобия дисперсии ошибки из регрессии шага 1, чтобы получить то, что Бреуш и Пэган называют $g_{i}$:

$g_{i}={\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}/{\hat {\sigma }}^{2},\quad {\hat {\sigma }}^{2}=\sum {{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}}/n$

• Шаг 2. Оцените вспомогательную регрессию.

$g_{i}=\gamma _{1}+\gamma _{2}z_{2i}+\cdots +\gamma _{p}z_{pi}+\eta _{i}.$

где члены z обычно, но не обязательно, будут такими же, как исходные ковариаты x .

• Шаг 3. Тогда статистика теста LM равна половине объясненной суммы квадратов из вспомогательной регрессии на шаге 2:

${\text{LM}}={\frac {1}{2}}\left({\text{TSS}}-{\text{RSS}}\right).$

где TSS — сумма квадратов отклонений $g_{i}$ от их среднего значения, равного 1, а RSS — это сумма квадратов остатков вспомогательной регрессии. Статистика теста асимптотически распределяется как $\chi _{p-1}^{2}$ при нулевой гипотезе гомоскедастичности и нормально распределенных $\varepsilon _{i}$, как доказали Бреуш и Пэган в своей статье 1979 года.

Прочный вариант

Вариант этого теста, устойчивый в случае негауссовой ошибки , был предложен Роджером Кенкером . В этом варианте зависимой переменной во вспомогательной регрессии является просто квадрат остатка от регрессии шага 1: ${\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}$, а тестовая статистика $nR^{2}$ из вспомогательной регрессии. Как отмечает Кенкер (1981, стр. 111), хотя пересмотренная статистика имеет правильный асимптотический размер, ее мощность «может быть весьма низкой, за исключением идеализированных условий Гаусса».

Программное обеспечение

В R этот тест выполняется функцией ncvTest, доступной в car пакете , функция bptest, доступная в пакете lmtest , функция plmtest, доступная в пакете plm , или функция breusch_pagan, доступная в пакете skedastic .

В Stata указывается полная регрессия, а затем вводится команда estat hettest за которыми следуют все независимые переменные.

В SAS Бреуша-Пэгана можно получить, используя опцию Proc Model.

В Python в statsmodels.stats.diagnostic (пакете statsmodels) есть метод het_breuschpagan для теста Бреуша-Пэгана.

В gretl команда modtest --breusch-pagan может применяться после регрессии OLS.

См. также

• Тест глазури
• Тест Гольдфельда – Квандта
• Парковый тест
• Белый тест

Дальнейшее чтение

• Гуджарати, Дамодар Н .; Портер, Дон К. (2009). Основная эконометрика (Пятое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Ирвин. стр. 385–86. ISBN  978-0-07-337577-9 .
• Кмента, Ян (1986). Элементы эконометрики (второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 292–298 . ISBN  0-02-365070-2 .
• Кремер, В.; Зоннбергер, Х. (1986). Тестируемая модель линейной регрессии . Гейдельберг: Физика. стр. 32–39. ISBN  9783642958762 .
• Маддала, GS ; Лахири, Каджал (2009). Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Чичестер: Уайли. стр. 216–218. ISBN  978-0-470-01512-4 .