Теорема автономной сходимости

В математике автономная теорема сходимости — одна из семейства связанных теорем, определяющих условия, гарантирующие глобальную асимптотическую устойчивость непрерывной автономной динамической системы .

История

Гипотеза Маркуса–Ямабе была сформулирована как попытка дать условия глобальной устойчивости непрерывных динамических систем в двух измерениях . Однако гипотеза Маркуса-Ямабе не справедлива для размерностей больше двух - проблема, которую пытаются решить теоремы автономной сходимости. Первая теорема автономной сходимости была построена Расселом Смитом. Эта теорема позже была уточнена Майклом Ли и Джеймсом Малдауни.

Пример теоремы автономной сходимости

Сравнительно простая теорема автономной сходимости выглядит следующим образом:

Позволять $x$ быть вектором в некотором пространстве $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, развивающееся по автономному дифференциальному уравнению ${\dot {x}}=f(x)$. Предположим, что $X$ является выпуклым и вперед- инвариантным относительно $f$, и что существует неподвижная точка ${\hat {x}}\in X$ такой, что $f({\hat {x}})=0$. Если существует логарифмическая норма $\mu$ такой, что якобиан $J(x)=D_{x}f$ удовлетворяет $\mu (J(x))<0$ для всех значений $x$, затем ${\hat {x}}$ — единственная фиксированная точка, и она глобально асимптотически устойчива.

Эта теорема автономной сходимости очень тесно связана с банаховой теоремой о неподвижной точке .

Как работает автономная конвергенция

Примечание: это интуитивное описание того, как теоремы автономной сходимости гарантируют стабильность, а не строго математическое описание.

Ключевым моментом в приведенном выше примере теоремы является существование отрицательной логарифмической нормы, которая получается из векторной нормы . Векторная норма эффективно измеряет расстояние между точками векторного пространства, в котором определено дифференциальное уравнение, а отрицательная логарифмическая норма означает, что расстояния между точками, измеренные соответствующей векторной нормой, уменьшаются со временем под действием $f$. Поскольку траектории всех точек фазового пространства ограничены , все траектории должны в конечном итоге сходиться к одной и той же точке.

Теоремы автономной сходимости Рассела Смита, Майкла Ли и Джеймса Малдауни работают аналогичным образом, но они основаны на показе того, что площадь двумерных фигур в фазовом пространстве уменьшается со временем. Это означает, что никаких периодических орбит не может существовать, поскольку все замкнутые контуры должны сжиматься в точку. Если система ограничена, то согласно закрывающей лемме Пью быть не может хаотического поведения , поэтому все траектории должны в конечном итоге достичь равновесия.

Майкл Ли также разработал расширенную теорему автономной сходимости, которая применима к динамическим системам, содержащим инвариантное многообразие .