Логарифмическая норма

В математике логарифмическая норма является вещественным функционалом для операторов и получается либо из скалярного произведения , либо из векторной нормы, либо из его индуцированной операторной нормы . Логарифмическая норма была независимо введена Гермундом Далквистом. и Сергей Лозинский в 1958 году для квадратных матриц . С тех пор он был распространен на нелинейные и неограниченные операторы . Логарифмическая норма имеет широкий спектр приложений, в частности, в теории матриц, дифференциальных уравнениях и численном анализе . В конечномерном случае ее также называют матричной мерой или мерой Лозинского.

Исходное определение

Позволять $A$ быть квадратной матрицей и $\|\cdot \|$ — индуцированная матричная норма. Соответствующая логарифмическая норма $\mu$ из $A$ определяется

$\mu (A)=\lim \limits _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {\|I+hA\|-1}{h}}$

Здесь $I$ - единичная матрица той же размерности, что и $A$, и $h$ действительное положительное число. Предел как $h\rightarrow 0^{-}$ равно $-\mu (-A)$, и в целом отличается от логарифмической нормы $\mu (A)$, как $-\mu (-A)\leq \mu (A)$ для всех матриц.

Матричная норма $\|A\|$ всегда положительно, если $A\neq 0$, но логарифмическая норма $\mu (A)$ может также принимать отрицательные значения, например, когда $A$ является отрицательно определенным . Следовательно, логарифмическая норма не удовлетворяет аксиомам нормы. Название «логарифмическая норма», которого нет в исходной ссылке, по-видимому, происходит от оценки логарифма нормы решений дифференциального уравнения.

${\dot {x}}=Ax.$

Максимальная скорость роста $\log \|x\|$ является $\mu (A)$. Это выражается дифференциальным неравенством

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t^{+}}}\log \|x\|\leq \mu (A),$

где $\mathrm {d} /\mathrm {d} t^{+}$ является верхней правой производной Дини . Используя логарифмическое дифференцирование, можно также записать дифференциальное неравенство

${\frac {\mathrm {d} \|x\|}{\mathrm {d} t^{+}}}\leq \mu (A)\cdot \|x\|,$

показывая его прямую связь с леммой Грёнвалля . Фактически можно показать, что норма матрицы перехода состояний $\Phi (t,t_{0})$ связанное с дифференциальным уравнением ${\dot {x}}=A(t)x$ ограничен

$\exp \left(-\int _{t_{0}}^{t}\mu (-A(s))ds\right)\leq \|\Phi (t,t_{0})\|\leq \exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\mu (A(s))ds\right)$

для всех $t\geq t_{0}$.

Альтернативные определения

Если векторная норма является нормой скалярного произведения, как в гильбертовом пространстве , то логарифмическая норма — это наименьшее число. $\mu (A)$ такой, что для всех $x$

$\Re \langle x,Ax\rangle \leq \mu (A)\cdot \|x\|^{2}$

В отличие от исходного определения, последнее выражение также позволяет $A$ быть неограниченным. Таким образом, дифференциальные операторы тоже могут иметь логарифмические нормы, что позволяет использовать логарифмическую норму как в алгебре, так и в анализе. Поэтому современная расширенная теория предпочитает определение, основанное на внутренних продуктах или двойственности . И операторная норма, и логарифмическая норма тогда связываются с экстремальными значениями квадратичных форм следующим образом:

$\|A\|^{2}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\langle Ax,Ax\rangle }{\langle x,x\rangle }}\,;\qquad \mu (A)=\sup _{x\neq 0}{\frac {\Re \langle x,Ax\rangle }{\langle x,x\rangle }}$

Характеристики

К основным свойствам логарифмической нормы матрицы относятся:

1. $\mu (zI)=\Re \,(z)$
2. $\mu (A)\leq \|A\|$
3. $\mu (\gamma A)=\gamma \mu (A)\,$ для скаляра $\gamma >0$
4. $\mu (A+zI)=\mu (A)+\Re \,(z)$
5. $\mu (A+B)\leq \mu (A)+\mu (B)$
6. $\alpha (A)\leq \mu (A)\,$ где $\alpha (A)$ — максимальная действительная часть значений собственных $A$
7. $\|\mathrm {e} ^{tA}\|\leq \mathrm {e} ^{t\mu (A)}\,$ для $t\geq 0$
8. $\mu (A)<0\,\Rightarrow \,\|A^{-1}\|\leq -1/\mu (A)$

Пример логарифмических норм

Логарифмическую норму матрицы можно рассчитать следующим образом для трех наиболее распространенных норм. В этих формулах $a_{ij}$ представляет элемент на $i$й ряд и $j$й столбец матрицы $A$.

• $\mu _{1}(A)=\sup \limits _{j}\left(\Re (a_{jj})+\sum \limits _{i\neq j}|a_{ij}|\right)$
• $\displaystyle \mu _{2}(A)=\lambda _{max}\left({\frac {A+A^{\mathrm {T} }}{2}}\right)$
• $\mu _{\infty }(A)=\sup \limits _{i}\left(\Re (a_{ii})+\sum \limits _{j\neq i}|a_{ij}|\right)$

Приложения в теории матриц и спектральной теории

Логарифмическая норма связана с крайними значениями коэффициента Рэлея. Он утверждает, что

$-\mu (-A)\leq {\frac {x^{\mathrm {T} }Ax}{x^{\mathrm {T} }x}}\leq \mu (A),$

и оба крайних значения взяты для некоторых векторов $x\neq 0$. Это также означает, что каждое собственное значение $\lambda _{k}$ из $A$ удовлетворяет

$-\mu (-A)\leq \Re \,\lambda _{k}\leq \mu (A)$.

В более общем смысле, логарифмическая норма связана с числовым диапазоном матрицы.

Матрица с $-\mu (-A)>0$ положительно определен и один с $\mu (A)<0$ является отрицательно определенным. Такие матрицы имеют обратные . Обратная отрицательно определенная матрица ограничена

$\|A^{-1}\|\leq -{\frac {1}{\mu (A)}}.$

Независимо от выбора нормы вектора (матрицы) выполняются как оценки обратного, так и собственных значений. Однако некоторые результаты справедливы только для норм внутреннего продукта. Например, если $R$ — рациональная функция, обладающая свойством

$\Re \,(z)\leq 0\,\Rightarrow \,|R(z)|\leq 1$

тогда для норм внутренней продукции

$\mu (A)\leq 0\,\Rightarrow \,\|R(A)\|\leq 1.$

Таким образом, матричную норму и логарифмическую норму можно рассматривать как обобщающую модуль и действительную часть соответственно от комплексных чисел к матрицам.

Приложения в теории устойчивости и численном анализе

Логарифмическая норма играет важную роль при анализе устойчивости непрерывной динамической системы. ${\dot {x}}=Ax$. Его роль аналогична роли матричной нормы дискретной динамической системы. $x_{n+1}=Ax_{n}$.

В простейшем случае, когда $A$ скалярная комплексная константа $\lambda$, дискретная динамическая система имеет устойчивые решения, когда $|\lambda |\leq 1$, а дифференциальное уравнение имеет устойчивые решения, когда $\Re \,\lambda \leq 0$. Когда $A$ является матрицей, дискретная система имеет устойчивые решения, если $\|A\|\leq 1$. В непрерывной системе решения имеют вид $\mathrm {e} ^{tA}x(0)$. Они стабильны, если $\|\mathrm {e} ^{tA}\|\leq 1$ для всех $t\geq 0$, что следует из свойства 7 выше, если $\mu (A)\leq 0$. В последнем случае $\|x\|$ является функцией Ляпунова системы.

Методы Рунге–Кутты для численного решения задачи ${\dot {x}}=Ax$ заменить дифференциальное уравнение дискретным уравнением $x_{n+1}=R(hA)\cdot x_{n}$, где рациональная функция $R$ характерно для метода, и $h$ размер шага по времени. Если $|R(z)|\leq 1$ в любое время $\Re \,(z)\leq 0$, то устойчивое дифференциальное уравнение, имеющее $\mu (A)\leq 0$, всегда будет приводить к устойчивому (сжимающему) численному методу, так как $\|R(hA)\|\leq 1$. Методы Рунге-Кутты, обладающие этим свойством, называются А-стабильными.

Сохраняя ту же форму, результаты могут, при дополнительных предположениях, быть распространены на нелинейные системы, а также на теорию полугрупп , где решающее преимущество логарифмической нормы состоит в том, что она различает прямую и обратную эволюцию во времени и может установить, является ли проблема хорошо поставлен . Аналогичные результаты также применимы при анализе устойчивости в теории управления , где необходимо различать положительную и отрицательную обратную связь.

Приложения к эллиптическим дифференциальным операторам

В связи с дифференциальными операторами обычно используются внутренние произведения и интегрирование по частям . В простейшем случае мы рассматриваем функции, удовлетворяющие $u(0)=u(1)=0$ с внутренним продуктом

$\langle u,v\rangle =\int _{0}^{1}uv\,\mathrm {d} x.$

Тогда считается, что

$\langle u,u''\rangle =-\langle u',u'\rangle \leq -\pi ^{2}\|u\|^{2},$

где равенство слева представляет собой интегрирование по частям, а неравенство справа — неравенство Соболева . В последнем равенство достигается для функции $\sin \,\pi x$, подразумевая, что константа $-\pi ^{2}$ это лучшее из возможного. Таким образом

$\langle u,Au\rangle \leq -\pi ^{2}\|u\|^{2}$

для дифференциального оператора $A=\mathrm {d} ^{2}/\mathrm {d} x^{2}$, что означает, что

$\mu ({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}})=-\pi ^{2}.$

Как оператор, удовлетворяющий $\langle u,Au\rangle >0$ называется эллиптическим , логарифмическая норма количественно определяет (сильную) эллиптичность $-\mathrm {d} ^{2}/\mathrm {d} x^{2}$. Таким образом, если $A$ сильно эллиптическая, то $\mu (-A)<0$, и является обратимым при наличии правильных данных.

Если для решения используется метод конечных разностей $-u''=f$, задача заменяется алгебраическим уравнением $Tu=f$. Матрица $T$ обычно наследует эллиптичность, т. е. $-\mu (-T)>0$, показывая это $T$ положительно определена и, следовательно, обратима.

Эти результаты переносятся на уравнение Пуассона, а также на другие численные методы, такие как метод конечных элементов .

Расширения нелинейных карт

Для нелинейных операторов операторная норма и логарифмическая норма определяются неравенствами

$l(f)\cdot \|u-v\|\leq \|f(u)-f(v)\|\leq L(f)\cdot \|u-v\|,$

где $L(f)$ — наименьшая верхняя граница Липшица константы $f$, и $l(f)$ – максимальная нижняя граница константы Липшица; и

$m(f)\cdot \|u-v\|^{2}\leq \langle u-v,f(u)-f(v)\rangle \leq M(f)\cdot \|u-v\|^{2},$

где $u$ и $v$ находятся в домене $D$ из $f$. Здесь $M(f)$ — наименьшая верхняя граница логарифмической константы Липшица $f$, и $l(f)$ — максимальная нижняя граница логарифмической константы Липшица. Он утверждает, что $m(f)=-M(-f)$ (ср. выше) и, аналогично, $l(f)=L(f^{-1})^{-1}$, где $L(f^{-1})$ определяется на изображении $f$.

Для нелинейных операторов, непрерывных по Липшицу, также верно, что

$M(f)=\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {L(I+hf)-1}{h}}.$

Если $f$ дифференцируемо и его область определения $D$ выпукло, то

$L(f)=\sup _{x\in D}\|f'(x)\|$ и $\displaystyle M(f)=\sup _{x\in D}\mu (f'(x)).$

Здесь $f'(x)$ - Якобиана матрица $f$, связывая нелинейное расширение с матричной нормой и логарифмической нормой.

Оператор, имеющий либо $m(f)>0$ или $M(f)<0$ называется равномерно монотонным. Оператор, удовлетворяющий $L(f)<1$ называется сжимающим . Это расширение предлагает множество связей с теорией неподвижной точки и теорией критической точки.

Теория становится аналогичной теории логарифмической нормы для матриц, но становится более сложной, поскольку области определения операторов необходимо уделять пристальное внимание, как в случае с неограниченными операторами. Свойство 8 логарифмической нормы, приведенное выше, сохраняется независимо от выбора векторной нормы и справедливо, что

$M(f)<0\,\Rightarrow \,L(f^{-1})\leq -{\frac {1}{M(f)}},$

которая количественно определяет теорему о равномерной монотонности Браудера и Минти (1963).