Флип (математика)

В алгебраической геометрии флипы и флопы представляют операции коразмерности 2, собой хирургические возникающие в минимальной модельной программе , заданной путем раздутия вдоль относительного канонического кольца . В размерности 3 флипы используются для построения минимальных моделей, и любые две бирационально эквивалентные минимальные модели соединяются последовательностью флопов. Предполагается, что то же самое справедливо и в более высоких измерениях.

Минимальная модельная программа

Минимальную модельную программу можно очень кратко резюмировать следующим образом: учитывая разнообразие $X$ , строим последовательность сокращений $X=X_{1}\rightarrow X_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{n}$ , каждая из которых сжимает некоторые кривые, на которых канонический дивизор $K_{X_{i}}$ является отрицательным. В конце концов, $K_{X_{n}}$ должно стать неф (по крайней мере, в случае неотрицательной размерности Кодайры ), что и является желаемым результатом. Основная техническая проблема заключается в том, что на каком-то этапе разнообразие $X_{i}$ может стать «слишком сингулярным» в том смысле, что канонический делитель $K_{X_{i}}$ больше не является делителем Картье , поэтому число пересечений $K_{X_{i}}\cdot C$ с кривой $C$ даже не определено.

(Предполагаемое) решение этой проблемы — флип . Учитывая проблемную $X_{i}$ как указано выше, переворот $X_{i}$ является бирациональным отображением (фактически изоморфизмом в коразмерности 1) $f\colon X_{i}\rightarrow X_{i}^{+}$ к разновидности, особенности которой «лучше», чем у $X_{i}$ . Итак, мы можем положить $X_{i+1}=X_{i}^{+}$ , и продолжаем процесс. ^[1]

Две основные проблемы, связанные с флипами, — показать, что они существуют, и показать, что не может быть бесконечной последовательности флипов. Если обе эти проблемы могут быть решены, то минимальная модельная программа может быть реализована. Существование флипов для трехмерных многообразий было доказано Мори (1988) . Существование лог-флипов, более общего вида флипов, в размерностях три и четыре было доказано Шокуровым ( 1993 , 2003 ).чья работа сыграла фундаментальную роль в решении проблемы существования лог-флипов и других проблем в более высоких измерениях. Существование переворотов журналов в более высоких измерениях было установлено (Кошер Биркар, Паоло Касчини и Кристофер Д. Хакон и др., 2010 ). С другой стороны, проблема завершения, доказывающая, что не может быть бесконечной последовательности флипов, все еще остается открытой в размерностях, превышающих 3.

Определение

Если $f\colon X\to Y$ является морфизмом, а K является каноническим расслоением X , то относительное каноническое кольцо f есть

\bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK))

и является пучком градуированных алгебр над пучком ${\mathcal {O}}_{Y}$ регулярных функций на Y .Взрыв

f^{+}\colon X^{+}=\operatorname {Proj} {\big (}\bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK)){\big )}\to Y

Y Y морфизмом вдоль относительного канонического кольца является . Если относительное каноническое кольцо конечно порождено (как алгебра над ${\mathcal {O}}_{Y}$ ) то морфизм $f^{+}$ называется переворотом $f$ если $-K$ относительно много, флоп и $f$ если K относительно тривиален. (Иногда индуцированный бирациональный морфизм из $X$ к $X^{+}$ называется флипом или флопом.)

В приложениях, $f$ часто представляет собой небольшое сжатие экстремального луча, что подразумевает несколько дополнительных свойств:

Исключительные наборы обеих карт $f$ и $f^{+}$ иметь коразмерность не менее 2,
$X$ и $X^{+}$ имеют только легкие особенности, такие как терминальные особенности .
$f$ и $f^{+}$ являются бирациональными морфизмами на Y , который является нормальным и проективным.
Все кривые в волокнах $f$ и $f^{+}$ численно пропорциональны.

Примеры

Первый пример флопа, известный как флоп Атьи , был найден в ( Atiyah 1958 ).Пусть Y — нули $xy=zw$ в $\mathbb {A} ^{4}$ , и пусть V — раздутие Y в начале координат. Исключительное множество этого раздутия изоморфно $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ , и его можно сдуть до $\mathbb {P} ^{1}$ двумя разными способами, давая разновидности $X_{1}$ и $X_{2}$ . Естественное бирациональное отображение из $X_{1}$ к $X_{2}$ это провал Атьи.

Рид (1983) представил пагоду Рида , обобщение флопа Атьи, заменяющее Y нулями $xy=(z+w^{k})(z-w^{k})$ .

Ссылки

^ Точнее, существует гипотеза, утверждающая, что каждая последовательность $X_{0}$ ⇢ $X_{1}$ ⇢ $\dots$ ⇢ $X_{n}$ ⇢ $\cdots$ флипов многообразий с логтерминальными особенностями Каваматы, проективных над фиксированным нормальным многообразием $Z$ завершается после конечного числа шагов.

Атья, Майкл Фрэнсис (1958), «Об аналитических поверхностях с двойными точками», Труды Лондонского королевского общества. Серия A: Математические, физические и инженерные науки , 247 (1249): 237–244, Bibcode : 1958RSPSA.247..237A , doi : 10.1098/rspa.1958.0181 , MR 0095974
Биркар, Коше ; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер Д .; МакКернан, Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для разновидностей логарифмического общего типа», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS... 23..405Б , номер doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3 , ISSN 0894-0347 , MR 2601039
Корти, Алессио (декабрь 2004 г.), «Что такое... флип?» ( PDF ) , Уведомления Американского математического общества , 51 (11): 1350–1351 , получено 17 января 2008 г.
Коллар, Янош (1991), «Шлепок и флоп», Труды Международного конгресса математиков, Vol. I, II (Киото, 1990) , Токио: Матем. Соц. Япония, стр. 709–714, MR 1159257.
Коллар, Янош (1991), «Флипы, флопы, минимальные модели и т. д.», Обзоры по дифференциальной геометрии (Кембридж, Массачусетс, 1990) , Вифлеем, Пенсильвания: Университет Лихай, стр. 113–199, MR 1144527
Коллар, Янош ; Мори, Сигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-63277-3
Мацуки, Кенджи (2002), Введение в программу Мори , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98465-0 , МР 1875410
Мори, Шигефуми (1988), «Теорема о флипе и существование минимальных моделей для трехмерных многообразий», Журнал Американского математического общества , 1 (1): 117–253, doi : 10.1090/s0894-0347-1988-0924704- х , JSTOR 1990969 , MR 0924704
Моррисон, Дэвид (2005), Флопы, флипы и матричная факторизация (PDF) , Алгебраическая геометрия и не только, RIMS, Киотский университет
Рид, Майлз (1983), «Минимальные модели канонических $3$ -складки», Алгебраические многообразия и аналитические многообразия (Токио, 1981) , Adv. Stud. Pure Math., т. 1, Амстердам: Северная Голландия, стр. 131–180, MR 0715649.
Шокуров, Вячеслав В. (1993), Трехмерные бревна. С приложением на английском языке Юдзиро Каваматы , том. 1, акад. наук. Изв. Математика. 40, стр. 95–202.
Shokurov, Vyacheslav V. (2003), Prelimiting flips , Proc. Steklov Inst. Math. 240, pp. 75–213.

[1] Точнее, существует гипотеза, утверждающая, что каждая последовательность $X_{0}$ ⇢ $X_{1}$ ⇢ $\dots$ ⇢ $X_{n}$ ⇢ $\cdots$ флипов многообразий с логтерминальными особенностями Каваматы, проективных над фиксированным нормальным многообразием $Z$ завершается после конечного числа шагов.

[1]