Цюань Хайцзин

Мастер-фигура в Морском зеркале измерений круга , которая использует все проблемы. На нем изображен круглый город, вписанный в прямоугольный треугольник и квадрат.

Цейюань хайцзин ( упрощенный китайский : 测圆海镜 ; традиционный китайский : 測圓海鏡 ; пиньинь : cè yuán hǎi jìng ; букв. «морское зеркало измерений круга») - трактат о решении геометрических задач с помощью алгебры Тянь юань шу. написанная математиком Ли Чжи в 1248 году во времена Монгольской империи . Это набор из 692 формул и 170 задач, полученных на основе одной и той же диаграммы круглого города, вписанного в прямоугольный треугольник и квадрат. В них часто участвуют два человека, которые идут по прямым линиям, пока не смогут увидеть друг друга, встретиться или достичь дерева или пагоды в определенном месте. Это книга по алгебраической геометрии, цель которой — изучение сложных геометрических отношений с помощью алгебры.

Большинство задач геометрии решаются с помощью полиномиальных уравнений, которые представлены с использованием метода, называемого Тянь Юань Шу , «метода массива коэффициентов» или буквально «метода небесного неизвестного». Ли Чжи — самый ранний из сохранившихся источников этого метода, хотя в той или иной форме он был известен и до него. Это позиционная система стержневых цифр для обозначения полиномиальных уравнений .

Цеюань хайцзин впервые был представлен на Западе британским протестантским христианским миссионером в Китае Александром Уайли в его книге «Заметки о китайской литературе» , 1902 год. Он писал:

На первой странице представлена ​​схема круга, заключенного в треугольнике, разбитом на 15 фигур; Затем даются определения и соотношения нескольких частей, а затем следуют 170 задач, в которых принципы новой науки имеют преимущество. Повсюду есть изложение и схолии автора.

Этот трактат состоит из 12 томов.

Том 1

Реконструированная схема круглого города в алфавитах

Схема круглого города

Монография начинается с основной диаграммы под названием «Диаграмма Круглого города» (圆城图式). На нем изображен круг, вписанный в прямоугольный треугольник и четыре горизонтальные линии, четыре вертикальные линии.

• TLQ, большой прямоугольный треугольник с горизонтальной линией LQ, вертикальной линией TQ и гипотенузой TL.

C: Центр круга:

• NCS: вертикальная линия, проходящая через C, пересекает круг и линию LQ в точке N (南северная сторона городской стены), пересекает южную сторону круга в точке S (南).
• NCSR, продолжение линии NCS до пересечения гипотенузы TL в точке R(日)
• WCE: горизонтальная линия, проходящая через центр C, пересекает окружность и линию TQ в точке W (西, западная сторона городской стены) и окружность в точке E (东, восточная сторона городской стены).
• WCEB: продолжение линии WCE до пересечения гипотенузы в точке B (川)
• KSYV: горизонтальная касательная в точке S, пересекает линию TQ в точке K(坤), гипотенузу TL в точке Y(月).
• HEMV: вертикальная касательная окружности в точке E, пересекает линию LQ в точке H, гипотенузу в точке M(山, гора)
• HSYY, KSYV, HNQ, QSK образуют квадрат с вписанным кругом C.
• Линия YS, вертикальная линия от Y, пересекает линию LQ в точке S (泉, пружина).
• Линия BJ, вертикальная линия из точки B, пересекает линию LQ в точке J (夕, ночь).
• RD, горизонтальная линия, идущая от R, пересекает линию TQ в точке D(旦, день).

Направления Север, Юг, Восток и Запад на диаграмме Ли Чжи противоположны нашему нынешнему условию.

Треугольники и их стороны

Всего существует пятнадцать прямоугольных треугольников, образованных пересечением треугольника TLQ, четырех горизонтальных линий и четырех вертикальных линий.

Названия этих прямоугольных треугольников и их сторон сведены в следующую таблицу.

Число	Имя	Вершины	Гипотенуза 0 с	Вертикальный 0 б	Горизонтальный 0 а
1	ТОНГ	Небо и земля сухие $\triangle TLQ$	Тунсянь (TL World)	Обыкновенные акции (TQ Tianqian)	Тонг Гоу (LQ Диган)
2	БИАН	Тяньсичуань $\triangle TWB$	Сингэн (ТБ Тенкава)	Бьянгу (TW Тяньси)	Боковой крюк (WB Nishikawa)
3	底 ДИ	Хиджикита $\triangle RDN$	Нижняя строка (RL солнце и земля)	Нижние приклады (RN Nippon)	Нижний крюк (LB, земля на севере)
4	黄广 ХУАНГУАН	Тяньшаньское золото $\triangle TMJ$	Хуан Гуансян (ТМ Тяньшань)	Хуан Гуангу (Ти Джей Тяньцзинь)	Хуан Гуангоу (МЮ Шаньцзинь)
5	ХУАНЧАН	Юэдикюань $\triangle YLS$	Хуан Чансянь (YL Юеди)	Хуан Чангу (YS Yuequan)	Хуан Чан Гоу (LS Diquan)
6	Шангао	каждый день $\triangle TRD$	Шан Гао Сянь (ТР Тяньри)	Акции высоких технологий (TD Tiandan)	Верхний крючок (день РД)
7	Нижняя высота XIAGAO	Ришанжу $\triangle RMZ$	Ся Гаосянь (РМ Ришан)	Более низкие высокие запасы (RZ Ri Zhu)	Нижний высокий крючок (МЗ горная киноварь)
8	上平 ШАНГИНГ	Юэкава Цин $\triangle YSG$	Шанпинсянь (Ю.С. Цукикава)	Шан Пин Сток (YG Yueqing)	Верхний плоский крючок (SG Chuanqing)
9	СЯПИН	Кавачи Ю $\triangle BLJ$	Симохира Ген (БЛ Кавачи)	Симохира Мата (Би Джей Кавайу)	Нижний плоский крючок (LJ Dixi)
10	Большая разница ДАЧА	Тянюэкун $\triangle TYK$	Струны Осаси (TY Amatsuki)	Большая разница (ТК Тенкон)	Крючок большой разницы (YK Yuekun)
11	СяочаСЯОЧА	Гора Диген $\triangle MLH$	Сяочасянь (Гора ML)	Акции с небольшой разницей (MH Shangen)	Крючок с небольшой разницей (LH Digen)
12	皇极 ХУАНЦЗИ	Рикава сердце $\triangle RSC$	Хуанцзисян (РС Рикава)	Шток Хуанцзи (RC Heliocentric)	Хуан Цзи Гоу (СК Сычуань Харт)
13	ТАЙСЮ	Лунная Гора Пан $\triangle YMF$	Тайсюсянь (Ю.М. Юэшань)	Акции Taixu (YF Yuepan)	Тайсюй Гоу (МФ Шаньфан)
14	МИН	солнце луна юг $\triangle RYS$	Мин Сянь (RY Солнце и Луна)	Акимата (РС Ничинан)	Мин Гоу (YS Yuenan)
15	倀ЧЖУАНЬ	Шаньчуаньдун $\triangle MSE$	Вэй Сянь (МС Шаньчуань)	Угу (МЭ Шаньдун)	Гоу (ЮВ-Восток Сычуани)

В задачах с тома 2 по том 12 названия этих треугольников используются очень кратко. Например

«明差», «Разница МИН» относится к «разнице между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника МИН.

«叀差», «Разница ЧЖУАН» относится к «разнице между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника ЧЖУАН».

«明差叀差并» означает «сумма разницы МИН и разницы ЧЖУАНЬ». $(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})$

Длина сегментов линии

В этом разделе (今问正数) указаны длины отрезков прямой, сумма и разность, а также их комбинации на схеме круглого города, учитывая, что радиус r вписанной окружности равен $r=120$ шаги $a_{1}=320$, $b_{1}=640$.

13 сегментов i-го треугольника (i = от 1 до 15):

1. Гипотенеза $c_{i}$
2. Горизонтальный $a_{i}$
3. Вертикальный $b_{i}$
4. :пифагорейский и :сумма горизонтальных и вертикальных $a_{i}+b_{i}$
5. :Школа Коматака: разница вертикали и горизонтали $b_{i}-a_{i}$
6. : сумма горизонтали и гипотенузы $a_{i}+c_{i}$
7. :Школа Какуген: разность гипотенузы и горизонтали $c_{i}-a_{i}$
8. : сумма гипотенузы и вертикали $b_{i}+c_{i}$
9. :股弦校: разность гипотенузы и вертикали. $c_{i}-b_{i}$
10. :弦校和: сумма разности и гипотенузы $c_{i}+(b_{i}-a_{i})$
11. :弦校校: разность гипотенузы и разность $c_{i}-(b_{i}-a_{i})$
12. :弦和和: суммировать гипотенузу и сумму вертикальных и горизонтальных $a_{i}+b_{i}+c_{i}$
13. :弦和校: разность суммы горизонталей и вертикалей с гипотенузой. $a_{i}+b_{i}$

Среди пятнадцати прямоугольных треугольников есть два набора одинаковых треугольников:

$\triangle TRD$= $\triangle RMZ$,

$\triangle YSG$= $\triangle BLJ$

то есть

$a_{6}=a_{7}$;

$b_{6}=b_{7}$;

$c_{6}=c_{7}$;

$a_{8}=a_{9}$;

$b_{8}=b_{9}$;

$c_{8}=c_{9}$;

Номера сегментов

Всего имеется 15 x 13 =195 слагаемых, их значения приведены в таблице 1:

Таблица сегментов 1

Определения и формулы

Разная формула

1. $(c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})$= $1 \over 2$* $(d_{1})^{2}$
2. $a_{10}*b_{11}$= $1 \over 2$$(d_{1})^{2}$
3. $a_{13}*b_{1}$= $1 \over 2$$(d_{1})^{2}$
4. $a_{1}*b_{13}$= $1 \over 2$$(d_{1})^{2}$
5. $b_{2}*b_{15}$= ${\displaystyle }$$(r_{1})^{2}$
6. $a_{14}*a_{3}$= $(r_{1})^{2}$
7. $a_{5}*b_{4}$= $(d_{1})^{2}$
8. $a_{8}*b_{6}$= $a_{9}*b_{7}$$=(r_{1})^{2}$
9. $(b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})$= $(r_{1})^{2}$
10. $c_{6}*c_{8}$= $c_{7}*c_{9})$= $a_{13}*b_{13}$
11. ${\displaystyle }$

Пять сумм

1. $a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}$
2. $a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}$
3. $a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}$
4. $a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}$
5. $a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}$
6. $a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}$
7. $a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}$
8. $a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}$
9. $a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}$
10. $a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}$
11. $a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}$
12. $a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}$
13. $a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}$
14. $a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}$

• $(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=2*(b_{12}-a_{12})$
• $a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=b_{7}$

Ли Чжи вывел в Цэюань Хайцзин в общей сложности 692 формулы. Восемь формул неверны, остальные все верны.

С тома 2 по том 12 имеется 170 задач, каждая из которых использует несколько избранных из этих формул для формирования полиномиальных уравнений от 2-го до 6-го порядка. На самом деле существует 21 задача, дающая полиномиальное уравнение третьего порядка, 13 задач, дающих полиномиальное уравнение 4-го порядка, и одна задача, дающая полиномиальное уравнение 6-го порядка.

Том 2

Этот том начинается с общей гипотезы.

Предположим, имеется круглый город неизвестного диаметра. В этом городе есть четыре ворот, за воротами есть две дороги в западном направлении и две дороги в северном направлении, образующие площадь, окружающую круглый город. Северо-западный угол квадрата — это точка Q, северо-восточный угол — точка H, юго-восточный угол — точка V, юго-западный угол — K. Все различные задачи съемки описаны в этом и последующих томах.

Все последующие 170 задач посвящены определению радиуса или диаметра круглого города с учетом нескольких отрезков или их суммы или разности. Все проблемы имеют более или менее один и тот же формат; он начинается с вопроса, за которым следует описание алгоритма, а иногда и пошаговое описание процедуры.

Девять типов вписанной окружности

Первые десять задач были решены без использования Тянь юань шу. Эти проблемы связаны сразличные виды вписанной окружности.

Вопрос 1

Двое мужчин А и Б начинают игру из угла Q. А проходит на восток 320 шагов и стоит на месте. B проходит 600 шагов на юг и видит B. Каков диаметр круглого города?

Ответ: Диаметр круглого города 240 шагов.

Это проблема вписанного круга, связанная с $\triangle TLQ$

Алгоритм: $d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}$

$={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240$

Вопрос 2

Двое мужчин А и Б стартуют от западных ворот. B проходит на восток 256 шагов, A проходит на юг 480 шагов и видит B. Каков диаметр города?

Ответить 240 шагов

Это проблема вписанного круга, связанная с $\triangle TWB$

Из таблицы 1 256 = $a_{2}$; 480 = $b_{2}$

Алгоритм:

${2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d$

$={2*256*480 \over 256+600+{\sqrt {(}}256^{+}600^{2})}=240$

Вопрос 3

проблема вписанного круга, связанная с $\triangle RDN$

${2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d$

Вопрос 4: проблема с вписанным кругом, связанная с $\triangle RSC$

${2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d$

Вопрос 5: проблема с вписанным кругом, связанная с $\triangle TWB$

${2a\times b \over a+b}=d$

Вопрос 6

${2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d$

Вопрос 7

${2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d$

Вопрос 8

${2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d$

Вопрос 9

${2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d$

Вопрос 10

${2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d$

Тянь Юань Шу

Циюань Хайцзин, том II, подробная процедура задачи 14 (草曰)

Начиная с задачи 14, Ли Чжи ввел «Тянь юань один» как неизвестную переменную и составил два выражения в соответствии с определением раздела и формулой , а затем приравнял эти два выражения тянь юань шу. Затем он решил задачу и получил ответ.

Вопрос 14: «Предположим, человек вышел из западных ворот и направился на юг на 480 шагов и встретил дерево. Затем он вышел из северных ворот, направляясь на восток, на 200 шагов и увидел то же самое дерево. Каков радиус собственного круга? ?"

Алгоритм: установите радиус как единицу Тянь юаня, поместите счетные стержни , обозначающие 480 шагов на юг, на полу, вычтите радиус Тянь юаня, чтобы получить

： $480-x$

Юань

。

Затем вычтите тянь юаней из числа шагов на восток 200, чтобы получить:

$200-x$

Юань

умножьте эти два выражения, чтобы получить: $x^{2}-680x+96000$

Юань

Юань

то есть $x^{2}-680x+96000=2x^{2}$

таким образом: $-x^{2}-680x+96000=0$

Юань

Решите уравнение и получите $r=120$

Том 3

17 проблем, связанных с сегментом $b_{2}$то есть TW в $\triangle TWB$

The $a_{10}$ пары с $b_{11}$, $a_{11}$ пары с $b_{10}$ и $a_{15}$ пары с $b_{14}$ в задачах с тем же номером тома 4. Другими словами, например, изменить $a_{11}$ задачи 2 в томе 3 в $b_{10}$ превращает это в задачу 2 тома 4.

Проблема #	ДАННЫЙ	х	Уравнение
1	$b_{2}$， $c_{4}$		прямой расчет без тянь юаней
2	$b_{2}$， $a_{11}$	д	$x^{2}+a_{11}x-2b_{2}a_{11}=0$
3	$b_{2}$， $b_{11}$	р	$x^{2}+b_{2}x-b_{2}b_{11}=0$
4	$b_{2}$， $a_{15}$	д	$x^{3}+a_{15}x^{2}-4a_{15}b_{2}^{2}=0$
5	$b_{2}$， $a_{14}$	д	$x^{3}-(b_{2}-2a_{14})x^{2}+a_{14}^{2}*x+a_{14}^{2}*b_{2}=0$
6	$b_{2}$， $a_{10}$	р	$x^{2}+(b_{2}-(b_{2}-c_{10}))x+b_{2}(b_{2}-c_{10})=0$
7	$b_{2}$， $c_{2}$	р	$((1/2)*c_{2}-(1/2)*b_{2}+b_{2})*x^{2}-(1/2)*(c_{2}-b_{2})b_{2}^{2}=0$
8	$b_{2}$， $c_{1}$	р	$2x^{2}+((c_{1}+b_{2})+(c_{1}-b_{2}))x-((c_{1}+b_{2})(c_{1}-b_{2})-(c_{1}-b_{2})^{2}))=0$
9	$b_{2}$， $c_{6}$	р	$2x^{2}-2(b_{2}-2(b_{2}-c_{5}))b_{2}=0$
10	$b_{2}$， $b_{14}$	р	$x^{2}-2b_{2}x+((b_{2}-b_{14})^{2}-b_{14}^{2}=0$
11	$b_{2}$， $a_{10}$	р	$(2b_{2}-a_{10})x-b_{2}a_{10}=0$
12	$b_{2}$， $c_{15}$	$b_{15}$	$x^{2}+(b_{2}+c_{15})x-b_{2}c_{15}=0$
13	$b_{2}$， $c_{14}$	$a_{14}$	$x^{4}-2(b_{2}-c_{14})x^{3}+(b_{2}-c_{14})^{2}x^{2}+2b_{2}c_{14}^{2}x-(2(b_{2}-c_{14})-b_{2}))b_{2}c_{14}^{2}=0$
14	$b_{2}$， $c_{6}$		$r={\sqrt {(}}(2c_{6}-b_{2})b_{2})$
15	$b_{2}$， $c_{8}$	р	$-x^{3}-c_{8}x^{2}-b_{2}^{2}x+c_{8}b_{2}^{2}=0$
16	$b_{2}$， $b_{14}+c_{14}$		рассчитать по формуле вписанной окружности
17	$b_{2}$， $a_{15}+c_{15}$		Вычислить по формуле вписанного круга.

Том 4

17 задач дано $a_{3}$и второй сегмент: найдите диаметр круглого города.

。

вопрос	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
второй сегмент линии	$c_{5}$	$b_{10}$	$a_{10}$	$b_{14}$	$b_{15}$	$c_{11}$	$c_{13}$	$c_{1}$	$c_{9}$	$a_{15}$	$b_{11}$	$c_{14}$	$c_{15}$	$c_{9}$	$c_{7}$	$a_{15}+c_{15}$	$b_{14}+c_{14}$

Том 5

18 задач дано $b_{1}$。

вопрос	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
второй сегмент линии	$b_{14}$	$a_{14}$	$a_{15}$	$b_{15}$	$b_{11}$	$a_{11}$	$c_{10}$	$c_{4}$	$c_{2}$	$c_{1}$	$c_{6}$	$c_{9}-a_{11}$	$c_{15}$	$c_{14}$	$c_{9}$	$c_{12}$	$a_{15}+b_{14}$	$c_{13}$

Том 6

18 задач.

Q1-11, 13-19 даны $a_{1}$，и второй отрезок найдите диаметр d.

Q12: дано $a_{1}+c_{3}$и еще один отрезок, найдите диаметр d.

вопрос	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Данный	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}+c_{3}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{1}$
Второй сегмент линии	$a_{15}$	$b_{15}$	$b_{14}$	$a_{14}$	$a_{10}$	$b_{10}$	$c_{11}$	$c_{5}$	$c_{3}$	$c_{1}$	$c_{9}$	$b_{10}-c_{6}$	$c_{14}$	$c_{15}$	$c_{6}$	$c_{12}$	$a_{15}+b_{14}$	$a_{13}$

Том 7

18 задач по двум отрезкам найти диаметр круглого города.

вопрос	Данный
1	$a_{14}$， $b_{15}$
2	$a_{15}$， $b_{14}$
3	$a_{14}$， $a_{15}$
4	$b_{14}$， $b_{15}$
5	$a_{14}$， $c_{8}$
6	$b_{15}$， $c_{7}$
7	$b_{15}$， $c_{13}$
8	$a_{14}$， $c_{13}$
9	$d-a_{14}$， $d-b_{15}$
10	$d-b_{14}$， $d-a_{15}$
11	$c_{12}$， $a_{15}+b_{14}$
12	$a_{15}+b_{14}$， $c_{13}$
13	$b_{15}+c_{13}$， $c_{13}-b_{15}$
14	$a_{14}+b_{15}+c_{13}$， $a_{14}+b_{15}+c_{13}-a_{14}$，
15	$c_{14}$， $d-b_{15}$
16	$c_{5}$， $d-a_{14}$
17	$a_{1}-a_{14}$， $b_{1}-b_{15}$
18	$a_{1}+a_{14}$， $b_{1}-b_{15}$

Том 8

17 задач по нахождению диаметра круглого города с учетом трех-восьми отрезков или их суммы или разности.

вопрос	Данный
1	$a_{14}+b_{14}$， $a_{15}+b_{15}$， $c_{12}$
2	$a_{14}+b_{14}$， $a_{15}+b_{15}$， $c_{13}$
3	$(c_{12}-a_{12})+(c_{12}-b_{12})$， $d_{14}+d_{15}$
4	$c_{15}$， $c_{14}$
5	$b_{14}+c_{14}$， $c_{15}+b_{15}$
6	$a_{15}+c_{15}$， $a_{14}+c_{14}$
7	$a_{1}+c_{1}$， $a_{15}+c_{15}$${\displaystyle }$
8	$a_{1}+c_{1}$， $a_{14}+c_{14}$${\displaystyle }$
9	$b_{1}+c_{1}$， $b_{15}+c_{15}$${\displaystyle }$
10	$b_{1}+c_{1}$， $b_{14}+c_{14}$， ${\displaystyle }$
11	$b_{14}+c_{14}$， $a_{15}+c_{15}$， $b_{14}+a_{15}-c_{13}$
12	$(b_{8}-a_{8})+(b_{2}-a_{2})$， $b_{14}+a_{15}-c_{13}$${\displaystyle }$
13	$b_{7}-a_{8}$， $(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})$， $c_{12}-d$
14	$(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})$， $(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})$${\displaystyle }$
15	$a_{14}+b_{14}$， $a_{15}+b_{15}$${\displaystyle }$
16	$a_{14}+a_{15}$， $b_{14}+b_{15}$${\displaystyle }$

Задача 14

Учитывая, что сумма разницы GAO и разницы MING составляет 161 шаг, а сумма разницы MING и разницы ZHUAN составляет 77 шагов. Каков диаметр круглого города?

Ответ: 120 шагов.

Алгоритм:

Данный

$(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161$

$(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77$

:Сложите эти два элемента и разделите на 2; согласно #Определениям и формуле это равноРазница ХУАНЦЗИ:

$(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2$ $=(b_{12}-a_{12})$

$b_{12}-a_{12}=$$161+77 \over 2$$=119$

Пусть Тянь Юань будет горизонталью ШАНПИН (SG):

$x=a_{8}$

$x+161$ = $x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})$

$=b_{7}$ (#Определение и формула)

С $a_{8}+b_{7}=c_{12}$ (Определение и формула)

$c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161$

$c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921$

$c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}$

$=4*x^{2}+644*x+25921-$$((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4$

$=4*x^{2}+644*x+11760=d$(диаметр круглого города),

$d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600$

Теперь умножьте длину RZ на $4*x$

$4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x$

умножьте его на квадрат RS:

$d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=$$(4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=$$16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124$

приравнять выражения для двух $d^{2}$

таким образом

$16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124=$$16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600$

Мы получаем:

$9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0$

решим ее и получим $x=a_{8}=64$;

Это соответствует горизонтали 8-го треугольника SHANGPING в числах #Segment .

Том 9

Часть I

Проблемы	данный
1	$a_{12}+b_{12}+c_{12}$， $b_{12}-a_{12}$
2	$c_{1}$， $b_{1}-a_{1}$
3	$c_{1}$， $a_{10}+b_{11}$
4	$c_{1}$， $a_{2}+b_{3}$

Часть II

Проблемы	данный
1	$a_{1}+b_{1}$， $a_{2}$， $b_{3}$
2	$a_{1}+b_{1}$， $c_{13}+b_{13}-a_{13}$， $c_{13}-b_{13}+a_{13}$
3	$a_{1}+b_{1}$， $a_{11}+b_{11}$， $a_{10}+b_{10}$
4	$a_{1}+b_{1}$， $c_{10}-a_{10}$， $c_{11}-b_{11}$
5	$a_{1}+b_{1}$， $c_{6}+c_{8}$， $c_{6}-c_{8}$
6	$a_{1}+b_{1}$， $c_{10}$， $c_{11}$
7	$a_{1}+b_{1}$， $c_{4}$， $c_{5}$
8	$a_{1}+b_{1}$， $c_{2}$， $c_{3}$

Том 10

8 проблем

Проблема	Данный
1	$a_{1}+b_{1}+c_{1}$， $c_{1}-b_{1}$
2	$a_{1}+b_{1}+c_{1}$， $c_{1}-a_{1}$
3	$a_{1}+b_{1}+c_{1}$， $b_{1}-a_{1}$
4	$a_{1}+b_{1}+c_{1}$， $(c_{1}-b_{1})+(c_{1}-a_{1})$
5	$a_{1}+b_{1}+c_{1}$， $(c_{1}-b_{1})+(b_{1}-a_{1})+(c_{1}-a_{1})$
6	$a_{1}+b_{1}+c_{1}$， $d_{14}+d_{15}$
7	$a_{1}+b_{1}+c_{1}$， $c_{12}$
8	$a_{1}+b_{1}+c_{1}$， $c_{13}$

Том 11

: Разные 18 задач:

вопрос	ДАННЫЙ
1	$c_{2}$， $c_{3}$${\displaystyle }$
2	$c_{5}$， $c_{4}$${\displaystyle }$
3	$b_{11}$， $c_{4}$${\displaystyle }$
4	$a_{10}$， $c_{3}$${\displaystyle }$
5	$a_{10}$， $b_{11}$${\displaystyle }$
6	$b_{7}$， $a_{8}$${\displaystyle }$
7	$b_{1}-b_{11}$， $a_{1}-a_{10}$
8	$b_{10}-a_{10}$， $b_{11}-a{11}$${\displaystyle }$
9	$c_{13}$， $a_{10}-b_{11}$${\displaystyle }$
10	$a_{12}+b_{12}$， $a_{13}+b_{13}$${\displaystyle }$
11	$c_{1}$， $b_{1} \over a_{1}$${\displaystyle }$
12	$d_{10}-d_{11}$， $d_{12}-d_{13}$${\displaystyle }$
13	$c_{12}-[c_{10}-(b_{10}-a_{10})]$， $c_{11}+(b_{11}-a_{11})-c_{13}$， $b_{12}-a_{12}$
14	$c_{8}-(c_{1}-b_{1})$， $(c_{1}-a_{1})-c_{7}$${\displaystyle }$
15	$a_{1}+c_{1}$， $(c_{1}-a_{1})+(c_{1}-b_{1})$${\displaystyle }$
16	$a_{12}+b_{12}+c_{12}$， $(a_{13}+b_{13})-c_{13}$${\displaystyle }$
17	Из книги Дунъюань Цзюжун
18	Из Дунъюань Цзюжун

Том 12

14 задач на дроби

Проблема	данный
1	$b_{1}+c_{1}$， $a_{1}$= $8 \over 15$$b_{1}$
2	$a_{1}+c_{1}$， $a_{1}$= $8 \over 15$$b_{1}$
3	$a_{1}=(1-5/9)*3d$， $b_{1}-a_{1}$${\displaystyle }$
4	$a_{3}=(5/6)*d$， $b_{2}-a_{3}$
5	$(15/16)b_{1}=d$， $a_{1}+b_{1}$${\displaystyle }$
6	$a_{12}=(8/15)*b_{12}$， $c_{12}-b_{12}$， $c_{12}-a_{12}$
7	$c_{1}$， $d=(1/2)b_{2}$， $a_{3}=(5/6)d$
8	$b_{2}+a_{3}+c_{2}$， $b_{2}=(12/17)c_{1}$， $a_{3}=(5/17)c_{1}$
9	$a_{3}+(5/6)b_{2}$， $b_{2}+(3/5)a_{3}$${\displaystyle }$
10	$a_{11}+(1/3)b_{10}$， $b_{10}-(3/4)a_{11}$${\displaystyle }$
11	$b_{1}-d=(3/5)b_{1}$， $a_{1}-d=(1/4)a_{1}$， $(b_{1}-d)-(a_{1}-d)$
12	$b_{1}-d=(3/5)b_{1}$， $a_{1}-d=(1/4)a_{1}$， $(1/5)b_{1}-(1/4)a_{1}$
13	$b_{14}=(1-(15/24)b_{10})$， $a_{15}=(1-(4/5))a_{11}$， $b_{14}-a_{15}$, $b_{10}-a_{11}$
14	$a_{1}+b_{1}+c_{1}$， $(b_{1}/a_{1})=8(1/3)$， $(a_{1}/b_{15})=10(2/3)$， $a_{14}-a_{13}$， $b_{13}-b_{15}$

Исследования

В 1913 г. французский математик Л. ван Хоэ написал статью о цеюаньском хайцзин. В 1982 году К. Чемла к.т.н. диссертация «Этюд дю Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye». 1983, профессор математики Сингапурского университета Лам Лей Йонг: Китайские полиномиальные уравнения в тринадцатом веке.

Ссылки

• Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики , Springer, 1997 г. ISBN   3-540-33782-2
• Конг Гопин, Путеводитель по Цейюань Хайцзин , Hubei Education Press, 1966 г. Конг Гопин «Сегодняшнее знакомство с морским зеркалом для измерения круга». «Сегодняшние вопросы о положительных числах», Hubei Education Press, 1995 г.
• Бай Шаншу: современный китайский перевод Ли Е Цеюань Хайцзин , Shandong Education Press, 1985.
• У Вэньцзюнь. Большая серия по истории китайской математики, том 6. Под редакцией У Вэньцзюня. Большая серия по истории китайской математики, том 6.
• Ли Янь, Историческое исследование Цэюань Хайцзин, собрание сочинений Ли Яня и Цянь Баоцуна, том 8