Теорема Хольмгрена о единственности

В теории в частных производных уравнений теорема единственности Холмгрена , или просто теорема Холмгрена , названная в честь шведского математика Эрика Альберта Холмгрена (1873–1943), является результатом единственности для линейных уравнений в частных производных с вещественными аналитическими коэффициентами.

Простая форма теоремы Холмгрена

Мы будем использовать мультииндексную нотацию : Позволять $\alpha =\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}\in \mathbb {N} _{0}^{n},$, с $\mathbb {N} _{0}$ обозначающие неотрицательные целые числа; обозначать $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ и

$\partial _{x}^{\alpha }=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\cdots \left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)^{\alpha _{n}}$.

Теорему Хольмгрена в более простой форме можно сформулировать следующим образом:

Предположим, что P = ∑ _{| α | ≤ m} A _α (x)∂ ^а
_x — эллиптический оператор в частных производных с вещественно-аналитическими коэффициентами. Если Pu вещественно аналитичен в связной открытой окрестности Ω ⊂ R ^н , то u также вещественно-аналитический.

Это утверждение, в котором слово «аналитическое» заменено на «гладкое», представляет собой Германа Вейля классическую лемму об эллиптической регулярности :

Если P — эллиптический дифференциальный оператор и Pu — гладкий в Ω , то u также гладкий в Ω .

Это утверждение можно доказать, используя пространства Соболева .

Классическая форма

Позволять $\Omega$ быть связным открытым районом в $\mathbb {R} ^{n}$, и пусть $\Sigma$ быть аналитической гиперповерхностью в $\Omega$, такой, что существует два открытых подмножества $\Omega _{+}$ и $\Omega _{-}$ в $\Omega$, непустой и связный, не пересекающийся $\Sigma$ ни друг друга, так что $\Omega =\Omega _{-}\cup \Sigma \cup \Omega _{+}$.

Позволять $P=\sum _{|\alpha |\leq m}A_{\alpha }(x)\partial _{x}^{\alpha }$ — дифференциальный оператор с вещественно-аналитическими коэффициентами.

Предположим, что гиперповерхность $\Sigma$ является нехарактерным по отношению к $P$ в каждой его точке:

$\mathop {\rm {Char}} P\cap N^{*}\Sigma =\emptyset$.

Выше,

$\mathop {\rm {Char}} P=\{(x,\xi )\subset T^{*}\mathbb {R} ^{n}\backslash 0:\sigma _{p}(P)(x,\xi )=0\},{\text{ with }}\sigma _{p}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}i^{|\alpha |}A_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$

главный символ ​ $P$. $N^{*}\Sigma$ является конормальным расслоением $\Sigma$, определяемый как $N^{*}\Sigma =\{(x,\xi )\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}:x\in \Sigma ,\,\xi |_{T_{x}\Sigma }=0\}$.

Классическая формулировка теоремы Холмгрена такова:

Теорема Хольмгрена

Позволять $u$ быть распределением в $\Omega$ такой, что $Pu=0$ в $\Omega$. Если $u$ исчезает в $\Omega _{-}$, то он исчезает в открытой окрестности $\Sigma$.

Связь с теоремой Коши – Ковалевского.

Рассмотрите проблему

$\partial _{t}^{m}u=F(t,x,\partial _{x}^{\alpha }\,\partial _{t}^{k}u),\quad \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n},\quad k\in \mathbb {N} _{0},\quad |\alpha |+k\leq m,\quad k\leq m-1,$

с данными Коши

$\partial _{t}^{k}u|_{t=0}=\phi _{k}(x),\qquad 0\leq k\leq m-1,$

Предположим, что $F(t,x,z)$ является вещественно-аналитическим по отношению ко всем своим аргументам в окрестности $t=0,x=0,z=0$ и это $\phi _{k}(x)$ являются вещественно-аналитическими в окрестности $x=0$.

Теорема (Коши – Ковалевского)

Существует уникальное реально-аналитическое решение $u(t,x)$ в окрестностях $(t,x)=(0,0)\in (\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n})$.

Обратите внимание, что теорема Коши–Ковалевского не исключает существования решений, не являющихся вещественно-аналитическими.

С другой стороны, в случае, когда $F(t,x,z)$ является полиномом первого порядка по $z$, так что

$\partial _{t}^{m}u=F(t,x,\partial _{x}^{\alpha }\,\partial _{t}^{k}u)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n},0\leq k\leq m-1,|\alpha |+k\leq m}A_{\alpha ,k}(t,x)\,\partial _{x}^{\alpha }\,\partial _{t}^{k}u,$

Теорема Хольмгрена утверждает, что решение $u$ вещественно-аналитичен и, следовательно, по теореме Коши–Ковалевского единственен.

См. также

• Теорема Коши – Ковалевского.
• Преобразование ФБР