ПРОПТ

ПРОПТ

Разработчик(и)	Томлаб Оптимизация Инк.
Стабильная версия	7,8 / 16 декабря 2011 г. ( 2011-12-16 )
Операционная система	ТОМЛАБ — Поддержка ОС
Тип	Технические вычисления
Лицензия	Собственный
Веб-сайт	Страница продукта ПРОПТ

ПРОПТ ​ Программное обеспечение MATLAB Optimal Control — это платформа нового поколения для решения задач прикладного оптимального управления (с ОДУ или ДАУ формулировкой ) и оценки параметров .

Платформа была разработана победителем конкурса программирования MATLAB Пером Рутквистом в 2008 году. Самая последняя версия поддерживает двоичные и целочисленные переменные, а также модуль автоматического масштабирования.

Описание

PROPT — это комбинированный механизм моделирования , компиляции и решателя, созданный на основе класса моделирования TomSym и предназначенный для генерации очень сложных задач оптимального управления. PROPT использует псевдоспектральный метод коллокации (с точками Гаусса или Чебышева) для решения задач оптимального управления. Это означает, что решение принимает форму Polynomial , DAE и пути и этот полином удовлетворяет ограничениям в точках коллокации.

В целом PROPT имеет следующие основные функции:

• Вычисление постоянных матриц, используемых для дифференцирования и интегрирования полиномов, используемых для аппроксимации решения задачи оптимизации траектории .
• Преобразование источника для преобразования введенных пользователем выражений в код MATLAB для функции стоимости. $f$ и функция ограничения $c$ которые передаются решателю нелинейного программирования в TOMLAB . Пакет преобразования исходного кода TomSym автоматически генерирует производные первого и второго порядка.
• Функционал для построения и расчета разнообразной информации для решения задачи.
• Автоматическое обнаружение следующего:
  • Линейная и квадратичная цель.
  • Простые границы, линейные и нелинейные ограничения.
  • Неоптимизированные выражения.
• Интегрированная поддержка негладких (гибридные) задачи оптимального управления.
• Модуль для автоматического масштабирования сложных пространственных задач.
• Поддержка двоичных и целочисленных переменных, элементов управления или состояний.

Моделирование

Система PROPT использует механизм преобразования символических источников TomSym для моделирования задач оптимального управления. Можно определить независимые переменные, зависимые функции, скаляры и постоянные параметры:

 toms tf
 toms t
 p = tomPhase('p', t, 0, tf, 30);
 x0 = {tf == 20};
 cbox = {10 <= tf <= 40};

 toms z1
 cbox = {cbox; 0 <= z1 <= 500};
 x0 = {x0; z1 == 0};

 ki0 = [1e3; 1e7; 10; 1e-3];

Состояния и элементы управления

Состояния и средства контроля различаются только в том смысле, что состояния должны быть непрерывными между фазами.

 tomStates x1
 x0 = {icollocate({x1 == 0})};

 tomControls u1
 cbox = {-2 <= collocate(u1) <= 1};
 x0 = {x0; collocate(u1 == -0.01)};

Границы, пути, события и интегральные ограничения

Ниже показаны различные граничные, траекторные, событийные и интегральные ограничения:

 cbnd = initial(x1 == 1);       % Starting point for x1
 cbnd = final(x1 == 1);         % End point for x1
 cbnd = final(x2 == 2);         % End point for x2
 pathc = collocate(x3 >= 0.5);  % Path constraint for x3
 intc  = {integrate(x2) == 1};  % Integral constraint for x2
 cbnd = final(x3 >= 0.5);       % Final event constraint for x3
 cbnd = initial(x1 <= 2.0);     % Initial event constraint x1

Пример однофазного оптимального управления

Van der Pol Oscillator

Свернуть:

${\begin{matrix}J_{x,t}&=&x_{3}(t_{f})\\\end{matrix}}$

С учетом:

${\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=(1-x_{2}^{2})*x_{1}-x_{2}+u\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{1}\\{\frac {dx_{3}}{dt}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+u^{2}\\x(t_{0})=[0\ 1\ 0]\\t_{f}=5\\-0.3\leq u\leq 1.0\\\end{cases}}$

Для решения проблемы с PROPT можно использовать следующий код (с 60 точками коллокации):

toms t
p = tomPhase('p', t, 0, 5, 60);
setPhase(p);

tomStates x1 x2 x3
tomControls u

% Initial guess
x0 = {icollocate({x1 == 0; x2 == 1; x3 == 0})
    collocate(u == -0.01)};

% Box constraints
cbox = {-10  <= icollocate(x1) <= 10
    -10  <= icollocate(x2) <= 10
    -10  <= icollocate(x3) <= 10
    -0.3 <= collocate(u)   <= 1};

% Boundary constraints
cbnd = initial({x1 == 0; x2 == 1; x3 == 0});

% ODEs and path constraints
ceq = collocate({dot(x1) == (1-x2.^2).*x1-x2+u
    dot(x2) == x1; dot(x3) == x1.^2+x2.^2+u.^2});

% Objective
objective = final(x3);

% Solve the problem
options = struct;
options.name = 'Van Der Pol';
solution = ezsolve(objective, {cbox, cbnd, ceq}, x0, options);

Пример многофазного оптимального управления

Одномерная ракета со свободным временем окончания и неопределенным фазовым сдвигом

Свернуть:

${\begin{matrix}J_{x,t}&=&tCut\\\end{matrix}}$

С учетом:

${\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2}\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=a-g\ (0<t<=tCut)\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=-g\ (tCut<t<t_{f})\\x(t_{0})=[0\ 0]\\g=1\\a=2\\x_{1}(t_{f})=100\\\end{cases}}$

Проблема решается с помощью PROPT путем создания двух фаз и их подключения:

toms t
toms tCut tp2
p1 = tomPhase('p1', t, 0, tCut, 20);
p2 = tomPhase('p2', t, tCut, tp2, 20);

tf = tCut+tp2;

x1p1 = tomState(p1,'x1p1');
x2p1 = tomState(p1,'x2p1');
x1p2 = tomState(p2,'x1p2');
x2p2 = tomState(p2,'x2p2');

% Initial guess
x0 = {tCut==10
    tf==15
    icollocate(p1,{x1p1 == 50*tCut/10;x2p1 == 0;})
    icollocate(p2,{x1p2 == 50+50*t/100;x2p2 == 0;})};

% Box constraints
cbox = {
    1  <= tCut <= tf-0.00001
    tf <= 100
    0  <= icollocate(p1,x1p1)
    0  <= icollocate(p1,x2p1)
    0  <= icollocate(p2,x1p2)
    0  <= icollocate(p2,x2p2)};

% Boundary constraints
cbnd = {initial(p1,{x1p1 == 0;x2p1 == 0;})
    final(p2,x1p2 == 100)};

% ODEs and path constraints
a = 2; g = 1;
ceq = {collocate(p1,{
    dot(p1,x1p1) == x2p1
    dot(p1,x2p1) == a-g})
    collocate(p2,{
    dot(p2,x1p2) == x2p2
    dot(p2,x2p2) == -g})};

% Objective
objective = tCut;

% Link phase
link = {final(p1,x1p1) == initial(p2,x1p2)
    final(p1,x2p1) == initial(p2,x2p2)};

%% Solve the problem
options = struct;
options.name = 'One Dim Rocket';
constr = {cbox, cbnd, ceq, link};
solution = ezsolve(objective, constr, x0, options);

Пример оценки параметров

Проблема оценки параметров

Свернуть:

${\begin{matrix}J_{p}&=&\sum _{i=1,2,3,5}{(x_{1}(t_{i})-x_{1}^{m}(t_{i}))^{2}}\\\end{matrix}}$

С учетом:

${\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2}\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=1-2*x_{2}-x_{1}\\x_{0}=[p_{1}\ p_{2}]\\t_{i}=[1\ 2\ 3\ 5]\\x_{1}^{m}(t_{i})=[0.264\ 0.594\ 0.801\ 0.959]\\|p_{1:2}|<=1.5\\\end{cases}}$

В приведенном ниже коде проблема решена с помощью мелкой сетки (10 точек коллокации). Это решение впоследствии дорабатывается с использованием 40 точек коллокации:

toms t p1 p2
x1meas = [0.264;0.594;0.801;0.959];
tmeas  = [1;2;3;5];

% Box constraints
cbox = {-1.5 <= p1 <= 1.5
    -1.5 <= p2 <= 1.5};

%% Solve the problem, using a successively larger number collocation points
for n=[10 40]
    p = tomPhase('p', t, 0, 6, n);
    setPhase(p);
    tomStates x1 x2

    % Initial guess
    if n == 10
        x0 = {p1 == 0; p2 == 0};
    else
        x0 = {p1 == p1opt; p2 == p2opt
            icollocate({x1 == x1opt; x2 == x2opt})};
    end

    % Boundary constraints
    cbnd = initial({x1 == p1; x2 == p2});

    % ODEs and path constraints
    x1err = sum((atPoints(tmeas,x1) - x1meas).^2);
    ceq = collocate({dot(x1) == x2; dot(x2) == 1-2*x2-x1});

    % Objective
    objective = x1err;

    %% Solve the problem
    options = struct;
    options.name   = 'Parameter Estimation';
    options.solver = 'snopt';
    solution = ezsolve(objective, {cbox, cbnd, ceq}, x0, options);

    % Optimal x, p for starting point
    x1opt = subs(x1, solution);
    x2opt = subs(x2, solution);
    p1opt = subs(p1, solution);
    p2opt = subs(p2, solution);
end

Поддерживаются задачи оптимального управления

• Аэродинамическое управление траекторией
• Контроль взрыва
• Химическая инженерия
• Динамические системы
• Общее оптимальное управление
• Масштабное линейное управление
• Управление многофазной системой
• Машиностроительное проектирование
• Недифференцируемое управление
• Оценка параметров динамических систем
• Единый контроль

Внешние ссылки

• ТОМЛАБ - Разработчик и дистрибьютор программного обеспечения.
• TomSym — механизм преобразования исходного кода, используемый в программном обеспечении.
• ПРОПТ - Домашняя страница ПРОПТ.
• SNOPT — решатель по умолчанию, используемый в PROPT.