Псевдоспектральный метод Гаусса
Псевдоспектральный метод Гаусса (GPM) , одна из многих тем, названных в честь Карла Фридриха Гаусса , представляет собой метод прямой транскрипции для дискретизации непрерывной задачи оптимального управления в нелинейную программу (НЛП). Псевдоспектральный метод Гаусса отличается от некоторых других псевдоспектральных методов тем, что динамика не совмещается ни в одной из конечных точек временного интервала. Это сочетание в сочетании с правильной аппроксимацией стоимости приводит к набору условий ККТ , которые идентичны дискретизированной форме условий оптимальности первого порядка. Эта эквивалентность между условиями KKT и дискретизированными условиями оптимальности первого порядка приводит к точной оценке стоимости с использованием множителей KKT NLP.
Описание
[ редактировать ]Метод основан на теории ортогональной коллокации , где точками коллокации (т.е. точками, в которых дискретизируется задача оптимального управления) являются точки Лежандра – Гаусса (ЛГ). Подход, используемый в GPM, заключается в использовании полиномиальной аппроксимации Лагранжа для состояния, которая включает в себя коэффициенты для начального состояния плюс значения состояния в N точках LG. Несколько противоположным образом аппроксимация стоимости ( сопряженной) выполняется с использованием основы полиномов Лагранжа, которая включает в себя конечное значение стоимости плюс стоимость в точках N LG. Эти два приближения вместе приводят к возможности сопоставить множители KKT нелинейной программы (NLP) со стоимостью задачи оптимального управления в N LG точках ПЛЮС граничных точках. Теорема об отображении затрат, вытекающая из GPM, была описана в нескольких источниках, включая две кандидатские диссертации. [1] [2] и журнальные статьи, которые включают теорию вместе с приложениями. [3] [4] [5]
Фон
[ редактировать ]Псевдоспектральные методы, также известные как методы ортогональной коллокации , в оптимальном управлении возникли из спектральных методов, которые традиционно использовались для решения задач гидродинамики. [6] [7] Основополагающая работа по методам ортогональных коллокаций для задач оптимального управления началась в 1979 году с работой Реддиена. [8] а некоторые из первых работ по использованию методов ортогональной коллокации в технике можно найти в литературе по химической технологии. [9] В более поздних работах в области химической и аэрокосмической техники использовалось сочетание точек Лежандра – Гаусса – Радау (LGR). [10] [11] [12] [13] В сообществе аэрокосмических инженеров было разработано несколько хорошо известных псевдоспектральных методов для решения задач оптимального управления, таких как псевдоспектральный метод Чебышева (ПМК). [14] [15] ( псевдоспектральный метод Лежандра ЛПМ) [16] и псевдоспектральный метод Гаусса (GPM). [17] CPM использует полиномы Чебышева для аппроксимации состояния и управления и выполняет ортогональную коллокацию в точках Чебышева – Гаусса – Лобатто (CGL). Было разработано усовершенствование псевдоспектрального метода Чебышева , использующее квадратуру Кленшоу – Кертиса. [18] LPM использует полиномы Лагранжа для аппроксимации и точки Лежандра-Гаусса-Лобатто (LGL) для ортогональной коллокации. Также была разработана процедура оценки стоимости псевдоспектрального метода Лежандра . [19] Недавняя работа показывает несколько вариантов стандартного LPM, псевдоспектрального метода Якоби. [20] - это более общий псевдоспектральный подход, который использует полиномы Якоби для поиска точек коллокации, подмножеством которых являются полиномы Лежандра. Другой вариант, называемый методом Эрмита-LGL. [21] использует кусочные кубические полиномы, а не полиномы Лагранжа, и размещает их в подмножестве точек LGL.
См. также
[ редактировать ]- Программное обеспечение APMonitor для динамической оптимизации
- PROPT - MATLAB (Гаусс и Чебышев) Программное обеспечение оптимального управления с более чем 110 примерами.
- GPOPS-II : Общее программное обеспечение для псевдоспектрального оптимального управления (рецензируемая журнальная статья, в которой реализованы методы гауссовской квадратурной коллокации переменного порядка).
- JModelica.org (платформа с открытым исходным кодом на базе Modelica для динамической оптимизации)
Ссылки и примечания
[ редактировать ]- ^ Бенсон, Д.А., Псевдоспектральная транскрипция Гаусса для оптимального управления , доктор философии. Диссертация, кафедра аэронавтики и астронавтики, Массачусетский технологический институт, ноябрь 2004 г.
- ^ Хантингтон, GT, Развитие и анализ псевдоспектральной транскрипции Гаусса для оптимального управления , доктор философии. Диссертация, кафедра аэронавтики и астронавтики, Массачусетский технологический институт, май 2007 г.
- ^ Бенсон Д.А., Хантингтон Г.Т., Торвальдсен Т.П. и Рао А.В., «Прямая оптимизация траектории и оценка стоимости с помощью метода ортогональной коллокации», Журнал руководства, контроля и динамики . Том. 29, № 6, ноябрь – декабрь 2006 г., стр. 1435–1440.,
- ^ Хантингтон, Г.Т., Бенсон, Д.А., и Рао, А.В., «Оптимальная конфигурация тетраэдрических образований космического корабля», Журнал астронавтических наук . Том. 55, № 2, март – апрель 2007 г., стр. 141–169.
- ^ Хантингтон, Г.Т. и Рао, А.В., «Оптимальная реконфигурация группировок космических аппаратов с использованием псевдоспектрального метода Гаусса», Журнал наведения, управления и динамики . Том. 31, № 3, март – апрель 2008 г., стр. 689–698.
- ^ Кануто, К., Хуссаини, М.Ю. , Квартерони, А., Занг, Т.А., Спектральные методы в гидродинамике , Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1988.
- ^ Форнберг, Б., Практическое руководство по псевдоспектральным методам , Издательство Кембриджского университета,1998.
- ^ Реддиен, Г.В., «Коллокация в точках Гаусса как дискретизация в оптимальном управлении», SIAM Journal on Control and Optimization , Vol. 17, № 2, март 1979 г.
- ^ Катрелл, Дж. Э. и Биглер, Л. Т., «Методы одновременной оптимизации и решения для профилей управления реактором периодического действия», Computers and Chemical Engineering , Vol. 13, № 1/2, 1989, стр. 49–62.
- ^ Хеденгрен, доктор медицинских наук; Асгарзаде Шишаван, Р.; Пауэлл, К.М.; Эдгар, ТФ (2014). «Нелинейное моделирование, оценка и прогнозное управление в APMonitor» . Компьютеры и химическая инженерия . 70 (5): 133–148. doi : 10.1016/j.compchemeng.2014.04.013 . S2CID 5793446 .
- ^ Фахру, Ф. и Росс, И., «Псевдоспектральные методы для решения нелинейных задач оптимального управления с бесконечным горизонтом», Конференция AIAA по руководству, навигации и управлению, 2005 г., документ AIAA 2005–6076, Сан-Франциско, Калифорния, 15–18 августа 2005 г. .
- ^ Камесваран, С. и Биглер, Л.Т., «Степень сходимости для динамической оптимизации с использованием коллокации Радау», Конференция SIAM по оптимизации , Стокгольм, Швеция, 2005 г.
- ^ Камесваран, С. и Биглер, Л.Т., «Степень сходимости для прямой транскрипции задач оптимального управления в точках Радау», Материалы Американской конференции по управлению 2006 г. , Миннеаполис, Миннесота, июнь 2006 г.
- ^ Влассенбрук Дж. и Ван Дорин Р., «Техника Чебышева для решения нелинейных задач оптимального управления», Транзакции IEEE по автоматическому управлению , Vol. 33, № 4, 1988, стр. 333–340.
- ^ Влассенбрук, Дж., «Метод полиномов Чебышева для оптимального управления с ограничениями состояния», Automatica , Vol. 24, 1988, стр. 499–506.
- ^ Эльнагар Дж., Каземи М.А. и Раззаги М., Псевдоспектральный метод Лежандра для дискретизации задач оптимального управления, Транзакции IEEE по автоматическому управлению , Vol. 40, № 10, 1995, стр. 1793–1796.
- ^ Бенсон Д.А., Хантингтон Г.Т., Торвальдсен Т.П. и Рао А.В., «Прямая оптимизация траектории и оценка стоимости с помощью метода ортогональной коллокации», Журнал руководства, управления и динамики , Vol. 29, № 6, ноябрь – декабрь 2006 г., стр. 1435–1440.
- ^ Фару, Ф. и Росс, И.М., «Прямая оптимизация траектории с помощью псевдоспектрального метода Чебышева», Журнал «Наведение, управление и динамика» , Vol. 25, № 1, январь – февраль 2002 г., стр. 160–166.
- ^ Росс, И.М., и Фару, Ф., Псевдоспектральные аппроксимации Лежандра задач оптимального управления, Конспекты лекций по управлению и информатике , Том 295, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2003 г.
- ^ Уильямс, П., «Псевдоспектральный метод Якоби для решения задач оптимального управления», Journal of Guidance , Vol. 27, № 2, 2003 г.
- ^ Уильямс, П., «Методы прямой транскрипции Эрмита-Лежандра-Гаусса-Лобатто в оптимизации траектории», « Достижения в области астронавтики » . Том. 120, Часть I, стр. 465–484. 2005 г.