Псевдоспектральное оптимальное управление

Псевдоспектральное оптимальное управление представляет собой совместный теоретико-расчетный метод решения задач оптимального управления . ^[1]^[2]^[3]^[4] Он сочетает в себе псевдоспектральную (PS) теорию с теорией оптимального управления для создания теории оптимального управления PS. Теория оптимального управления PS использована в наземных и летных системах. ^[1] в военном и промышленном применении. ^[5] Эти методы широко используются для решения широкого круга задач, таких как проблемы, возникающие при формировании траектории БПЛА, наведении ракет, управлении роботизированными манипуляторами, гашении вибраций, наведении на Луну, магнитном управлении, подъеме и стабилизации перевернутого маятника, орбите. передачи, контроль либрации троса, руководство всплытием и квантовый контроль. ^[5]^[6]

Обзор

Существует очень большое количество идей, подпадающих под общее знамя псевдоспектрального оптимального управления. ^[7] Примерами таковых являются псевдоспектральный метод Лежандра , псевдоспектральный метод Чебышева , псевдоспектральный метод Гаусса , псевдоспектральный метод Росса-Фару , псевдоспектральный метод Беллмана , плоский псевдоспектральный метод и многие другие. ^[1]^[3] Решение задачи оптимального управления требует аппроксимации трех типов математических объектов: интегрирования в функции стоимости, дифференциального уравнения системы управления и ограничений управления состоянием. ^[3] Идеальный метод аппроксимации должен быть эффективен для всех трех задач аппроксимации. Метод, который эффективен для одного из них, например, эффективный решатель ОДУ, может быть неэффективным методом для двух других объектов. Эти требования делают методы PS идеальными, поскольку они эффективны для аппроксимации всех трех математических объектов. ^[8]^[9]^[10] В псевдоспектральном методе непрерывные функции аппроксимируются в наборе тщательно выбранных квадратурных узлов . Квадратурные узлы определяются соответствующим ортогональным полиномиальным базисом, используемым для аппроксимации. В оптимальном управлении PS Лежандра и полиномы обычно используются Чебышева. Математически квадратурные узлы позволяют достичь высокой точности при небольшом количестве точек. Например, интерполяционный полином любой гладкой функции (C ^$\infty$) в узлах Лежандра–Гаусса–Лобатто сходится в L ² смысл на так называемой спектральной скорости, быстрее, чем любая полиномиальная скорость. ^[9]

Подробности

Основной псевдоспектральный метод оптимального управления основан на принципе ковекторного отображения . ^[2] Другие методы псевдоспектрального оптимального управления, такие как псевдоспектральный метод Беллмана , основаны на кластеризации узлов в начальный момент времени для получения оптимального управления. Кластеризация узлов происходит во всех гауссовских точках. ^[8]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]

Более того, их структуру можно широко использовать, чтобы сделать их более эффективными в вычислительном отношении, поскольку специальное масштабирование ^[21] и методы вычислений Якобиана, включающие двойственных чисел. теорию ^[22] были разработаны. ^[19]

В псевдоспектральных методах интегрирование аппроксимируется квадратурными правилами, которые обеспечивают наилучший результат численного интегрирования . Например, имея всего N узлов, квадратурное интегрирование Лежандра-Гаусса обеспечивает нулевую ошибку для любого полиномиального подынтегрального выражения степени, меньшей или равной $2N-1$ . При PS-дискретизации ОДУ, используемой в задачах оптимального управления, для производных используется простая, но очень точная матрица дифференцирования. Поскольку метод PS усиливает работу системы в выбранных узлах, ограничения управления состоянием можно напрямую дискретизировать. Все эти математические преимущества делают псевдоспектральные методы простым инструментом дискретизации для непрерывных задач оптимального управления. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Росс, И. Майкл; Карпенко, Марк (2012). «Обзор псевдоспектрального оптимального управления: от теории к полету». Ежегодные обзоры под контролем . 36 (2): 182–97. doi : 10.1016/j.arcontrol.2012.09.002 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Росс, И. М. (2005). «Дорожная карта оптимального управления: правильный способ передвижения». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 1065 : 210–31. Бибкод : 2005NYASA1065..210R . дои : 10.1196/анналы.1370.015 . ПМИД 16510411 . S2CID 7625851 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Фару, Фариба; Росс, И. Майкл (2008). «Достижения в области псевдоспектральных методов оптимального управления». Конференция и выставка AIAA по наведению, навигации и управлению . стр. 18–21. дои : 10.2514/6.2008-7309 . ISBN 978-1-60086-999-0 . S2CID 17819443 .
^ Росс, IM; Фару, Ф. (2003). «Единая вычислительная система для оптимального управления в реальном времени». 42-я Международная конференция IEEE по принятию решений и управлению (IEEE Cat. No.03CH37475) . Том. 3. С. 2210–5. дои : 10.1109/CDC.2003.1272946 . ISBN 0-7803-7924-1 . S2CID 122755607 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Цигун; Вэй Кан; Бедроссян, Назарет С.; Фару, Фариба; Пуя Сехават; Боллино, Кевин (2007). «Псевдоспектральное оптимальное управление для военных и промышленных приложений». 2007 46-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . стр. 4128–42. дои : 10.1109/CDC.2007.4435052 . hdl : 10945/29677 . ISBN 978-1-4244-1497-0 . S2CID 2935682 .
^ Ли-младший-Шин; Рутс, Джастин; Ю, Цыр-Ян; Артханари, Харибабу; Вагнер, Герхард (2011). «Оптимальный дизайн импульса в квантовом управлении: единый вычислительный метод» . Труды Национальной академии наук . 108 (5): 1879–84. Бибкод : 2011PNAS..108.1879L . дои : 10.1073/pnas.1009797108 . JSTOR 41001785 . ПМЦ 3033291 . ПМИД 21245345 .
^ Росс, IM; Пру, Р.Ж. (сентябрь 2019 г.). «Дальнейшие результаты по быстрому программированию псевдоспектрального оптимального управления по Биркгофу» (PDF) . Журнал управления, контроля и динамики . 42 (9): 2086–2092. Бибкод : 2019JGCD...42.2086R . дои : 10.2514/1.g004297 . ISSN 1533-3884 . S2CID 191166808 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гонг, К.; Канг, В.; Росс, IM (2006). «Псевдоспектральный метод оптимального управления линеаризуемыми системами с ограниченной обратной связью» . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 51 (7): 1115–29. дои : 10.1109/TAC.2006.878570 . hdl : 10945/29674 . S2CID 16048034 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Хестхейвен, Дж. С.; Готлиб, С.; Готлиб, Д. (2007). Спектральные методы для решения нестационарных задач . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-79211-0 . ^{[ нужна страница ]}
^ Гун, Ци; Росс, И. Майкл; Канг, Вэй; Фахру, Фариба (2007). «Связь между теоремой о ковекторном отображении и сходимостью псевдоспектральных методов оптимального управления» . Вычислительная оптимизация и приложения . 41 (3): 307–35. дои : 10.1007/s10589-007-9102-4 . hdl : 10945/48182 . S2CID 38196250 .
^ Элнагар, Г.; Каземи, Массачусетс; Раззаги, М. (1995). «Псевдоспектральный метод Лежандра для дискретизации задач оптимального управления». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 40 (10): 1793–6. дои : 10.1109/9.467672 .
^ Фару, Фариба; Росс, И. Майкл (2001). «Оценка стоимости псевдоспектральным методом Лежандра». Журнал управления, контроля и динамики . 24 (2): 270–7. Бибкод : 2001JGCD...24..270F . дои : 10.2514/2.4709 . hdl : 10945/29649 . S2CID 122759455 .
^ Гун, Ци; Фару, Фариба; Росс, И. Майкл (2008). «Спектральный алгоритм для псевдоспектральных методов оптимального управления». Журнал управления, контроля и динамики . 31 (3): 460–71. Бибкод : 2008JGCD...31..460G . CiteSeerX 10.1.1.301.3354 . дои : 10.2514/1.32908 . hdl : 10945/56995 . S2CID 18145691 .
^ Эльнагар, Гамаль Н.; Каземи, Мохаммад А. (1998). «Псевдоспектральное чебышевское оптимальное управление нелинейными динамическими системами со связями». Вычислительная оптимизация и приложения . 11 (2): 195–217. дои : 10.1023/А:1018694111831 . S2CID 30241469 .
^ Фару, Фариба; Росс, И. Майкл (2002). «Прямая оптимизация траектории псевдоспектральным методом Чебышева» . Журнал управления, контроля и динамики . 25 (1): 160–6. Бибкод : 2002JGCD...25..160F . дои : 10.2514/2.4862 .
^ Бенсон, Дэвид А.; Хантингтон, Джеффри Т.; Торвальдсен, Том П.; Рао, Анил В. (2006). «Прямая оптимизация траектории и оценка стоимости с помощью метода ортогональной коллокации». Журнал управления, контроля и динамики . 29 (6): 1435–40. Бибкод : 2006JGCD...29.1435B . CiteSeerX 10.1.1.658.9510 . дои : 10.2514/1.20478 .
^ Рао, Анил В.; Бенсон, Дэвид А.; Дарби, Кристофер; Паттерсон, Майкл А.; Франколин, Камила; Сандерс, Илисса; Хантингтон, Джеффри Т. (2010). «Алгоритм 902: GPOPS, программное обеспечение MATLAB для решения многофазных задач оптимального управления с использованием псевдоспектрального метода Гаусса» . Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 37 (2). дои : 10.1145/1731022.1731032 . S2CID 15375549 .
^ Гарг, Дивья; Паттерсон, Майкл А.; Франколин, Камила; Дарби, Кристофер Л.; Хантингтон, Джеффри Т.; Хагер, Уильям В.; Рао, Анил В. (2009). «Прямая оптимизация траектории и оценка стоимости задач оптимального управления с конечным и бесконечным горизонтом с использованием псевдоспектрального метода Радау». Вычислительная оптимизация и приложения . 49 (2): 335–58. CiteSeerX 10.1.1.663.4215 . дои : 10.1007/s10589-009-9291-0 . S2CID 8817072 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Сальяно, Марко; Тейл, Стефан (2013). «Гибридное якобианское вычисление для генерации быстрых оптимальных траекторий». Конференция AIAA по наведению, навигации и контролю (GNC) . дои : 10.2514/6.2013-4554 . ISBN 978-1-62410-224-0 .
^ Хунекер, Лоуренс; Сальяно, Марко; Арслантас, Юнус (2015). Спартанец: Улучшенный глобальный псевдоспектральный алгоритм для высокоточного анализа наведения при входе, снижении и посадке (PDF) . 30-й Международный симпозиум по космической науке и технологиям. Кобе, Япония.
^ Сальяно, Марко (2014). «Анализ производительности линейных и нелинейных методов автоматического масштабирования задач дискретного управления» (PDF) . Письма об исследованиях операций . 42 (3): 213–6. дои : 10.1016/j.orl.2014.03.003 .
^ д'Онофрио, Винченцо; Сальяно, Марко; Арслантас, Юнус Э. (2016). «Точное гибридное вычисление якобиана для оптимальных траекторий с помощью теории двойных чисел» (PDF) . Конференция AIAA по наведению, навигации и управлению . дои : 10.2514/6.2016-0867 . ISBN 978-1-62410-389-6 .

Внешние ссылки

Программное обеспечение

[ReviewPOC-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Росс, И. Майкл; Карпенко, Марк (2012). «Обзор псевдоспектрального оптимального управления: от теории к полету». Ежегодные обзоры под контролем . 36 (2): 182–97. doi : 10.1016/j.arcontrol.2012.09.002 .

[RossAcademy-2] Перейти обратно: ^а ^б Росс, И. М. (2005). «Дорожная карта оптимального управления: правильный способ передвижения». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 1065 : 210–31. Бибкод : 2005NYASA1065..210R . дои : 10.1196/анналы.1370.015 . ПМИД 16510411 . S2CID 7625851 .

[advances-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Фару, Фариба; Росс, И. Майкл (2008). «Достижения в области псевдоспектральных методов оптимального управления». Конференция и выставка AIAA по наведению, навигации и управлению . стр. 18–21. дои : 10.2514/6.2008-7309 . ISBN 978-1-60086-999-0 . S2CID 17819443 .

[unified-ross-4] Росс, IM; Фару, Ф. (2003). «Единая вычислительная система для оптимального управления в реальном времени». 42-я Международная конференция IEEE по принятию решений и управлению (IEEE Cat. No.03CH37475) . Том. 3. С. 2210–5. дои : 10.1109/CDC.2003.1272946 . ISBN 0-7803-7924-1 . S2CID 122755607 .

[GKBFSB-5] Перейти обратно: ^а ^б Цигун; Вэй Кан; Бедроссян, Назарет С.; Фару, Фариба; Пуя Сехават; Боллино, Кевин (2007). «Псевдоспектральное оптимальное управление для военных и промышленных приложений». 2007 46-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . стр. 4128–42. дои : 10.1109/CDC.2007.4435052 . hdl : 10945/29677 . ISBN 978-1-4244-1497-0 . S2CID 2935682 .

[unified-li-6] Ли-младший-Шин; Рутс, Джастин; Ю, Цыр-Ян; Артханари, Харибабу; Вагнер, Герхард (2011). «Оптимальный дизайн импульса в квантовом управлении: единый вычислительный метод» . Труды Национальной академии наук . 108 (5): 1879–84. Бибкод : 2011PNAS..108.1879L . дои : 10.1073/pnas.1009797108 . JSTOR 41001785 . ПМЦ 3033291 . ПМИД 21245345 .

[7] Росс, IM; Пру, Р.Ж. (сентябрь 2019 г.). «Дальнейшие результаты по быстрому программированию псевдоспектрального оптимального управления по Биркгофу» (PDF) . Журнал управления, контроля и динамики . 42 (9): 2086–2092. Бибкод : 2019JGCD...42.2086R . дои : 10.2514/1.g004297 . ISSN 1533-3884 . S2CID 191166808 .

[GKS-8] Перейти обратно: ^а ^б Гонг, К.; Канг, В.; Росс, IM (2006). «Псевдоспектральный метод оптимального управления линеаризуемыми системами с ограниченной обратной связью» . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 51 (7): 1115–29. дои : 10.1109/TAC.2006.878570 . hdl : 10945/29674 . S2CID 16048034 .

[HGG-9] Перейти обратно: ^а ^б Хестхейвен, Дж. С.; Готлиб, С.; Готлиб, Д. (2007). Спектральные методы для решения нестационарных задач . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-79211-0 . ^{[ нужна страница ]}

[GRKF-10] Гун, Ци; Росс, И. Майкл; Канг, Вэй; Фахру, Фариба (2007). «Связь между теоремой о ковекторном отображении и сходимостью псевдоспектральных методов оптимального управления» . Вычислительная оптимизация и приложения . 41 (3): 307–35. дои : 10.1007/s10589-007-9102-4 . hdl : 10945/48182 . S2CID 38196250 .

[Elnagar1-11] Элнагар, Г.; Каземи, Массачусетс; Раззаги, М. (1995). «Псевдоспектральный метод Лежандра для дискретизации задач оптимального управления». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 40 (10): 1793–6. дои : 10.1109/9.467672 .

[12] Фару, Фариба; Росс, И. Майкл (2001). «Оценка стоимости псевдоспектральным методом Лежандра». Журнал управления, контроля и динамики . 24 (2): 270–7. Бибкод : 2001JGCD...24..270F . дои : 10.2514/2.4709 . hdl : 10945/29649 . S2CID 122759455 .

[13] Гун, Ци; Фару, Фариба; Росс, И. Майкл (2008). «Спектральный алгоритм для псевдоспектральных методов оптимального управления». Журнал управления, контроля и динамики . 31 (3): 460–71. Бибкод : 2008JGCD...31..460G . CiteSeerX 10.1.1.301.3354 . дои : 10.2514/1.32908 . hdl : 10945/56995 . S2CID 18145691 .

[Elnagar2-14] Эльнагар, Гамаль Н.; Каземи, Мохаммад А. (1998). «Псевдоспектральное чебышевское оптимальное управление нелинейными динамическими системами со связями». Вычислительная оптимизация и приложения . 11 (2): 195–217. дои : 10.1023/А:1018694111831 . S2CID 30241469 .

[Fahroo2-15] Фару, Фариба; Росс, И. Майкл (2002). «Прямая оптимизация траектории псевдоспектральным методом Чебышева» . Журнал управления, контроля и динамики . 25 (1): 160–6. Бибкод : 2002JGCD...25..160F . дои : 10.2514/2.4862 .

[Benson1-16] Бенсон, Дэвид А.; Хантингтон, Джеффри Т.; Торвальдсен, Том П.; Рао, Анил В. (2006). «Прямая оптимизация траектории и оценка стоимости с помощью метода ортогональной коллокации». Журнал управления, контроля и динамики . 29 (6): 1435–40. Бибкод : 2006JGCD...29.1435B . CiteSeerX 10.1.1.658.9510 . дои : 10.2514/1.20478 .

[Rao1-17] Рао, Анил В.; Бенсон, Дэвид А.; Дарби, Кристофер; Паттерсон, Майкл А.; Франколин, Камила; Сандерс, Илисса; Хантингтон, Джеффри Т. (2010). «Алгоритм 902: GPOPS, программное обеспечение MATLAB для решения многофазных задач оптимального управления с использованием псевдоспектрального метода Гаусса» . Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 37 (2). дои : 10.1145/1731022.1731032 . S2CID 15375549 .

[Garg1-18] Гарг, Дивья; Паттерсон, Майкл А.; Франколин, Камила; Дарби, Кристофер Л.; Хантингтон, Джеффри Т.; Хагер, Уильям В.; Рао, Анил В. (2009). «Прямая оптимизация траектории и оценка стоимости задач оптимального управления с конечным и бесконечным горизонтом с использованием псевдоспектрального метода Радау». Вычислительная оптимизация и приложения . 49 (2): 335–58. CiteSeerX 10.1.1.663.4215 . дои : 10.1007/s10589-009-9291-0 . S2CID 8817072 .

[Sagliano-19] Перейти обратно: ^а ^б Сальяно, Марко; Тейл, Стефан (2013). «Гибридное якобианское вычисление для генерации быстрых оптимальных траекторий». Конференция AIAA по наведению, навигации и контролю (GNC) . дои : 10.2514/6.2013-4554 . ISBN 978-1-62410-224-0 .

[Sagliano1-20] Хунекер, Лоуренс; Сальяно, Марко; Арслантас, Юнус (2015). Спартанец: Улучшенный глобальный псевдоспектральный алгоритм для высокоточного анализа наведения при входе, снижении и посадке (PDF) . 30-й Международный симпозиум по космической науке и технологиям. Кобе, Япония.

[Sagliano2-21] Сальяно, Марко (2014). «Анализ производительности линейных и нелинейных методов автоматического масштабирования задач дискретного управления» (PDF) . Письма об исследованиях операций . 42 (3): 213–6. дои : 10.1016/j.orl.2014.03.003 .

[Sagliano3-22] д'Онофрио, Винченцо; Сальяно, Марко; Арслантас, Юнус Э. (2016). «Точное гибридное вычисление якобиана для оптимальных траекторий с помощью теории двойных чисел» (PDF) . Конференция AIAA по наведению, навигации и управлению . дои : 10.2514/6.2016-0867 . ISBN 978-1-62410-389-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]