Псевдоспектральный метод Беллмана
— Псевдоспектральный метод Беллмана это псевдоспектральный метод оптимального управления, основанный на принципе оптимальности Беллмана . Это часть более широкой теории псевдоспектрального оптимального управления , термина, придуманного Россом . [1] Метод назван в честь Ричарда Э. Беллмана . Он был введен Россом и др. [2] [3] сначала как средство решения многомасштабных задач оптимального управления, а затем расширилось для получения субоптимальных решений общих задач оптимального управления.
Теоретические основы
[ редактировать ]Многомасштабная версия псевдоспектрального метода Беллмана основана на свойстве спектральной сходимости псевдоспектральных методов Росса – Фару . То есть, поскольку псевдоспектральный метод Росса – Фару сходится с экспоненциально высокой скоростью, поточечная сходимость к решению достигается при очень небольшом количестве узлов, даже если решение имеет высокочастотные компоненты. Это явление наложения спектров при оптимальном управлении было впервые обнаружено Россом и др. [2] Вместо того, чтобы использовать методы обработки сигналов для сглаживания решения, Росс и др. предположил, что принцип оптимальности Беллмана может быть применен к конвергентному решению для извлечения информации между узлами. Поскольку узлы Гаусса – Лобатто группируются в граничных точках, Росс и др. предположил, что если плотность узлов вокруг начальных условий удовлетворяет теореме выборки Найквиста-Шеннона , то полное решение может быть восстановлено путем решения задачи оптимального управления рекурсивным способом на кусочных сегментах, известных как сегменты Беллмана. [2]
В расширенной версии метода Росс и др. [3] предположил, что этот метод также можно использовать для генерации возможных решений, которые не обязательно были оптимальными. В этой версии можно применить псевдоспектральный метод Беллмана при еще меньшем числе узлов, даже зная, что решение, возможно, не сошло к оптимальному. В этой ситуации можно получить допустимое решение.
Замечательной особенностью псевдоспектрального метода Беллмана является то, что он автоматически определяет несколько показателей субоптимальности на основе исходной псевдоспектральной стоимости и стоимости, генерируемой суммой сегментов Беллмана. [2] [3]
Вычислительная эффективность
[ редактировать ]Одним из вычислительных преимуществ псевдоспектрального метода Беллмана является то, что он позволяет избежать правил Гаусса при распределении узловых точек. То есть в стандартном псевдоспектральном методе распределение узловых точек является гауссовым (обычно Гаусса-Лобатто для конечного горизонта и Гаусса-Радау для бесконечного горизонта). Гауссовы точки редки в середине интервала (середина определяется в сдвинутом смысле для задач с бесконечным горизонтом) и плотны на границах. Накопление точек второго порядка вблизи границ приводит к потере узлов. Псевдоспектральный метод Беллмана использует накопление узлов в начальной точке для сглаживания решения и отбрасывает остальные узлы. Таким образом, окончательное распределение узлов является негауссовским и плотным, в то время как вычислительный метод сохраняет разреженную структуру.
Приложения
[ редактировать ]Псевдоспектральный метод Беллмана был впервые применен Россом и др. [2] для решения сложной проблемы оптимизации траектории очень малой тяги. Он был успешно применен для решения практической проблемы создания очень высокоточных решений проблемы трансземной инъекции, заключающейся в выведении космической капсулы с лунной орбиты в точно определенное состояние интерфейса Земли для успешного входа в атмосферу. [4] [5]
Псевдоспектральный метод Беллмана чаще всего используется в качестве дополнительной проверки оптимальности псевдоспектрального решения, полученного псевдоспектральными методами Росса – Фару. То есть, помимо использования принципа минимума Понтрягина в сочетании с решениями, полученными с помощью псевдоспектральных методов Росса – Фару, псевдоспектральный метод Беллмана используется в качестве первичного теста на оптимальность вычисленного решения. [6] [7]
См. также
[ редактировать ]- Псевдоспектральный метод Лежандра
- Псевдоспектральный метод Чебышева
- Псевдоспектральный метод завязывания узлов
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Росс, IM; Карпенко, М. (2012). «Обзор псевдоспектрального оптимального управления: от теории к полету». Ежегодные обзоры под контролем . 36 (2): 182–197. doi : 10.1016/j.arcontrol.2012.09.002 .
- ^ Jump up to: а б с д и Росс, IM; Гонг, К.; Сехават, П. (2007). «Оптимизация траектории малой тяги и высокой точности» . Журнал наведения, контроля и динамики . 30 (4): 921–933. Бибкод : 2007JGCD...30..921R . дои : 10.2514/1.23181 . hdl : 10945/49785 . S2CID 5991144 .
- ^ Jump up to: а б с И.М. Росс, К. Гонг и П. Сехават, Псевдоспектральный метод Беллмана, Конференция и выставка специалистов по астродинамике AIAA/AAS, Гонолулу, Гавайи, AIAA-2008-6448, 18–21 августа 2008 г.
- ^ Ян, Х.; Гонг, К.; Парк, К.; Росс, IM; Д'Суза, Китай (2011). «Высокоточная оптимизация траектории для околоземной лунной миссии». Журнал наведения, контроля и динамики . 34 (4): 1219–1227. Бибкод : 2011JGCD...34.1219Y . дои : 10.2514/1.49237 . S2CID 123555190 .
- ^ Х. Ян, К. Гонг, К.Д. Парк, И.М. Росс и К.Н. Д'Суза, Высокоточная оптимизация траектории Луны-Земли, Конференция AIAA по руководству, навигации и управлению, 2010.
- ^ Флеминг, А.; Сехават, П.; Росс, IM (2010). «Переориентация твердого тела за минимальное время». Журнал наведения, контроля и динамики . 33 (1): 160–170. Бибкод : 2010JGCD...33..160F . дои : 10.2514/1.43549 . S2CID 120117410 .
- ^ Росс, IM; Сехават, П.; Флеминг, А.; Гонг, К. (2008). «Оптимальное управление с обратной связью: основы, примеры и экспериментальные результаты нового подхода». Журнал управления, контроля и динамики . 31 (2): 307–321. Бибкод : 2008JGCD...31..307R . дои : 10.2514/1.29532 .