Измерение концентрации

В математике , в частности в теории вероятностей , размерность концентрации банаховом пространстве со значением в случайной величины является числовой мерой того, насколько «распространена» случайная величина по сравнению с нормой в пространстве.

Определение

Пусть ( B , || ||) — банахово пространство, а X — гауссова случайная величина, значения в B. принимающая То есть для любого линейного функционала ℓ в дуальном пространстве B ^∗ , вещественная случайная величина ⟨ ℓ , X ⟩ имеет нормальное распределение . Определять

$\sigma (X)=\sup \left\{\left.{\sqrt {\operatorname {E} [\langle \ell ,X\rangle ^{2}]}}\,\right|\,\ell \in B^{\ast },\|\ell \|\leq 1\right\}.$

Тогда концентрационная размерность d ( X ) X определяется формулой

$d(X)={\frac {\operatorname {E} [\|X\|^{2}]}{\sigma (X)^{2}}}.$

Примеры

• Если B — n -мерное евклидово пространство R ^н со своей обычной евклидовой нормой , а X — стандартная гауссова случайная величина, то σ ( X ) = 1 и E[|| Икс || ² ] знак равно п , поэтому d ( Икс ) знак равно п .
• Если B есть R ^н с верхней нормой , то σ ( X ) = 1, но E[|| Икс || ² ] (и, следовательно, d ( X )) имеет порядок log( n ).

Ссылки

• Леду, Мишель; Талагран, Мишель (1991), Вероятность в банаховых пространствах: изопериметрия и процессы , Результаты математики и ее границы, том. 23, Берлин: Springer-Verlag, с. 237, номер домена : 10.1007/978-3-642-20212-4 , ISBN  3-540-52013-9 , МР   1102015 .
• Пизье, Жиль (1989), Объем выпуклых тел и геометрия банахового пространства , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 94, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, стр. 42–43, номер документа : 10.1017/CBO9780511662454 , ISBN.  0-521-36465-5 , МР   1036275 .