Майларовый воздушный шар (геометрия)

В геометрии майларовый шар представляет собой поверхность вращения . В то время как сфера - это поверхность, которая содержит максимальный объем для данной площади поверхности , майларовый баллон вместо этого максимизирует объем для данной длины дуги образующей . Он напоминает слегка приплюснутую сферу.

Форма приблизительно реализуется путем надувания физического воздушного шара, сделанного из двух круглых листов гибкого неэластичного материала; например, популярный вид игрушечного воздушного шара из алюминизированного пластика . Возможно, это противоречит здравому смыслу, но площадь поверхности надутого воздушного шара меньше площади поверхности круглых листов. Это происходит из-за физической извитости поверхности, которая увеличивается вблизи обода.

«Майларовый воздушный шар» — название фигуры, данное У. Полсоном, впервые исследовавшим ее форму. Впоследствии этот термин был принят другими авторами. «Майлар» является торговой маркой компании DuPont .

Определение

Положительная часть образующей воздушного шара — это функция z ( x ), где для заданной длины образующей a :

z(r)=0

\int _{0}^{r}\!{\sqrt {1+z'(x)^{2}}}\,dx\,=a

(т.е. задана длина образующей)

\int _{0}^{r}\!4\pi xz(x)\,dx

является максимумом (т.е.: громкость максимальная)

Здесь радиус r определяется из ограничений.

Параметрическая характеристика

Параметрические уравнения образующей воздушного шара радиуса r имеют вид:

x(u)=r\cos u;\qquad z(u)=r{\sqrt {2}}\left[E(u,{\frac {1}{\sqrt {2}}})-{\frac {1}{2}}F(u,{\frac {1}{\sqrt {2}}})\right]{\text{ for }}u\in [0,{\frac {\pi }{2}}]\,

(где E и F — эллиптические интегралы второго первого и рода )

Измерение

«Толщину» воздушного шара (то есть расстояние поперек оси вращения) можно определить, вычислив $2z({\frac {\pi }{2}})$ из параметрических уравнений, приведенных выше. Толщина τ определяется выражением

{\tau }=2Br,

а длина образующей a определяется выражением

a=Ar

где r – радиус; A ≈ 1,3110287771 и B ≈ 0,5990701173 — первая и вторая константы лемнискат .

Объем

Объем : воздушного шара определяется по формуле

V={\frac {2}{3}}\pi ar^{2},

где а — длина дуги образующей).

или альтернативно:

V={\frac {4}{3}}\tau a^{2},

где τ — толщина на оси вращения.

Площадь поверхности

Площадь поверхности S воздушного шара определяется выражением

S=\pi ^{2}r^{2}

где r — радиус воздушного шара.

Вывод

Замена $u=\arccos(x/r)$ в параметрическое уравнение для z(u), данное в § Параметрическая характеристика, дает следующее уравнение для z через x :

$z(x)=r{\sqrt {2}}\left[E(\arccos(x/r),{\frac {1}{\sqrt {2}}})-{\frac {1}{2}}F(\arccos(x/r),{\frac {1}{\sqrt {2}}})\right]$

Приведенное выше уравнение имеет следующую производную :

${\frac {dz}{dx}}=-{\frac {x^{2}}{\sqrt {r^{4}-x^{4}}}}$

Таким образом, площадь поверхности определяется следующим образом:

$S=\int _{0}^{r}\!4\pi x{\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$

Решение приведенных выше интегральных результатов $S=\pi ^{2}r^{2}$ .

Геометрия поверхности

Отношение главных кривизн в каждой точке майларового шара равно 2, что делает его интересным случаем поверхности Вайнгартена . Более того, это единственное свойство полностью характеризует воздушный шар. Шар, очевидно, более плоский по оси вращения; эта точка фактически имеет нулевую кривизну в любом направлении.

См. также

Проблема с бумажным пакетом

Ссылки

Младенов, И.М. (2001). «О геометрии майларового воздушного шара». ЧР акад. булг. наук. 54 : 39–44. Бибкод : 2001КРАБЫ..54i..39М .
Полсен, WH (1994). «Какова форма майларового воздушного шара?». Американский математический ежемесячник . 101 (10): 953–958. дои : 10.2307/2975161 . JSTOR 2975161 .
Финч, Стивен (13 августа 2013 г.). «Накачивание неэластичной мембраны» (PDF) .