Изотропная мера

В теории вероятностей изотропная мера — это любая математическая мера , инвариантная относительно линейных изометрий . Это стандартное упрощение и допущение, используемое в теории вероятностей. Обычно он используется в контексте теории меры . $n$ -мерное евклидово пространство , для которого может быть интуитивно понятно изучение мер, не изменяемых при вращении и перемещении. Очевидным примером такой меры является стандартный способ присвоения меры подмножествам -мерного евклидова пространства n : мера Лебега .

Определение

Изотропная мера на $\mathbb {R} ^{d}$ есть ( борелевская ) мера, абсолютно непрерывная на $\mathbb {R} ^{d}\smallsetminus \{0\}$ и это инвариантно относительно линейных изометрий $\mathbb {R} ^{d}$ . ^[1] Альтернативно, изотропная мера, $\mu (dz)$ , является мерой, для которой существует действительная функция плотности $\mu _{0}(r)$ на $(0,\infty )$ такой, что $\mu (dz)=\mu _{0}\left(|z|\right)dz$ для $z\neq 0$ . ^[2]

Пример

Мера Лебега $\mathbb {R} ^{d}$ инвариантен относительно линейных изометрий и, следовательно, является изотропной мерой. В этом случае, $\mu (dz)=dz$ .
Для $d=1$ , линейные изометрии $\mathbb {R} ^{1}$ имеют форму $f(x)=x+c$ или $f(x)=-x+c$ , для некоторой константы $c\in \mathbb {R}$ . Следовательно, изотропная мера на $\mathbb {R} ^{1}$ должен удовлетворить $\mu (A)=\mu (-A+b)$ , для любого $A\subseteq \mathbb {R} ^{1}$ и $b\in \mathbb {R}$ . Мера $\mu (dz)=|z|^{-2}dz$ , для $z\neq 0$ , является одной из таких изотропных мер.

Унимодальная мера

В теории вероятностей обычно к мерам добавляется еще одно предположение в дополнение к изотропности меры. Унимодальная мера (или изотропная унимодальная мера ) — это любая изотропная мера. $\mu (dz)=\mu _{0}\left(|z|\right)dz$ такой, что $\mu _{0}(r)$ не возрастает на $(0,\infty )$ . Возможно, что $\mu \left(\left\{0\right\}\right)>0$ . ^[2]

Изотропные и унимодальные случайные процессы

При изучении случайных процессов , в частности процессов Леви , ^[3] разумное предположение, которое следует сделать, состоит в том, что для каждого элемента набора индексов распределения вероятностей случайных величин являются изотропными или даже унимодальными мерами.

Более конкретно, изотропный процесс Леви — это процесс Леви , $X=\left(X_{t},t\geq 0\right)$ , такой, что все его распределения , $p_{t}(dx)$ , являются изотропными мерами. ^[1] Унимодальный процесс Леви (или изотропный унимодальный процесс Леви ) — это процесс Леви , $X=\left(X_{t},t\geq 0\right)$ , такой, что все его распределения, $p_{t}(dx)$ , являются унимодальными мерами. ^[1]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Богдан, Кшиштоф; Гживный, Томаш; Рызнар, Михал (07.06.2014). «Барьеры, время выхода и вероятность выживания унимодальных процессов Леви». Теория вероятностей и смежные области . 162 (1–2): 155–198. arXiv : 1307.0270 . дои : 10.1007/s00440-014-0568-6 . ISSN 0178-8051 .
^ Jump up to: ^а ^б Тосиро, Ватанабэ (1983). «Изопериметрическое неравенство для изотропных унимодальных процессов Леви». З. Варш. Верв. Гебите . 63 (4): 487–499.
^ Сато, Кен-ити (1 января 1999 г.). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521553025 . OCLC 41142930 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с Богдан, Кшиштоф; Гживный, Томаш; Рызнар, Михал (07.06.2014). «Барьеры, время выхода и вероятность выживания унимодальных процессов Леви». Теория вероятностей и смежные области . 162 (1–2): 155–198. arXiv : 1307.0270 . дои : 10.1007/s00440-014-0568-6 . ISSN 0178-8051 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б Тосиро, Ватанабэ (1983). «Изопериметрическое неравенство для изотропных унимодальных процессов Леви». З. Варш. Верв. Гебите . 63 (4): 487–499.

[3] Сато, Кен-ити (1 января 1999 г.). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521553025 . OCLC 41142930 .

[1]

[2]

[3]