Конечный характер

Не путать с Характером конечной группы .

В математике семья ​ ${\mathcal {F}}$ множеств если имеет конечный характер, для каждого $A$, $A$ принадлежит ${\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда конечное подмножество каждое $A$ принадлежит ${\mathcal {F}}$. То есть,

1. Для каждого $A\in {\mathcal {F}}$, конечное подмножество каждое $A$ принадлежит ${\mathcal {F}}$.
2. Если каждое конечное подмножество данного множества $A$ принадлежит ${\mathcal {F}}$, затем $A$ принадлежит ${\mathcal {F}}$.

Характеристики

Семья ${\mathcal {F}}$ множеств конечного характера обладает следующими свойствами:

1. Для каждого $A\in {\mathcal {F}}$, каждое (конечное или бесконечное подмножество ) $A$ принадлежит ${\mathcal {F}}$.
2. Каждое непустое семейство конечного характера имеет максимальный элемент относительно включения ( лемма Тьюки ): ${\mathcal {F}}$, частично упорядоченный по включению, объединение каждой цепочки элементов ${\mathcal {F}}$ также принадлежит ${\mathcal {F}}$, следовательно, по Цорна лемме ${\mathcal {F}}$ содержит хотя бы один максимальный элемент.

Пример

Позволять $V$ — векторное пространство , и пусть ${\mathcal {F}}$ — семейство линейно независимых подмножеств $V$. Затем ${\mathcal {F}}$ является семейством конечного характера (поскольку подмножество $X\subseteq V$ линейно зависима тогда и только тогда, когда $X$ имеет конечное подмножество, линейно зависимое). Следовательно, в каждом векторном пространстве существует максимальное семейство линейно независимых элементов. Поскольку максимальное семейство является векторным базисом , каждое векторное пространство имеет векторный базис (возможно, бесконечный).

См. также

• Наследственно конечное множество

Ссылки

• Джек, Томас Дж. (2008) [1973]. Аксиома выбора . Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-46624-8 .
• Смалльян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010) [1996]. Теория множеств и проблема континуума . Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-47484-7 .

В эту статью включены материалы ограниченного характера из PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .