Геометрическая и материальная коробление

Геометрическая потеря устойчивости является мерой утечки нейтронов, а потеря устойчивости материала является мерой разницы между производством нейтронов и поглощением нейтронов. Когда ядерное деление происходит внутри ядерного реактора , нейтроны . образуются Затем эти нейтроны, проще говоря, либо вступают в реакцию с топливом в реакторе, либо покидают реактор. Эти два процесса называются поглощением нейтронов и утечкой нейтронов , а их сумма представляет собой потерю нейтронов . Когда скорость производства нейтронов равна скорости потери нейтронов, реактор способен поддерживать цепную реакцию ядерного деления и считается критическим реактором.

В случае голого, однородного, стационарного реактора (то есть реактора, имеющего только одну область, однородную смесь топлива и теплоносителя, без бланкета и отражателя и не изменяющегося с течением времени) геометрическая и материальная потеря устойчивости равны друг другу.

Вывод

Оба члена потери устойчивости выводятся из конкретного уравнения диффузии , справедливого для нейтронов:

$-D\nabla ^{2}\Phi +\Sigma _{a}\Phi ={\frac {1}{k}}\nu \Sigma _{f}\Phi$.

критичности где k — собственное значение , $\nu$ - количество нейтронов на деление, $\Sigma _{f}$ — макроскопическое сечение деления теории , а из диффузии коэффициент диффузии определяется как:

$D={\frac {1}{3\Sigma _{\mathrm {tr} }}}$.

Кроме того, диффузионная длина определяется как:

$L={\sqrt {\frac {D}{\Sigma _{a}}}}$.

Если переставить члены, уравнение диффузии примет вид:

$-{\frac {\nabla ^{2}\Phi }{\Phi }}={\frac {{\frac {k_{\infty }}{k}}-1}{L^{2}}}={B_{g}}^{2}$.

Левая часть — это потеря устойчивости материала, а правая часть уравнения — геометрическая потеря устойчивости.

Геометрическая коробление

Смотрите также: уравнение Гельмгольца

Геометрическая потеря устойчивости представляет собой простую проблему собственных значений Гельмгольца , которая просто решается для различных геометрий . В таблице ниже перечислены геометрические потери устойчивости для некоторых распространенных геометрий.

Геометрия	Геометрическая потеря устойчивости B g 2
Сфера радиуса R	$\left({\frac {\pi }{R}}\right)^{2}$
Цилиндр высотой H и радиусом R	$\left({\frac {\pi }{H}}\right)^{2}+\left({\frac {2.405}{R}}\right)^{2}$
Параллелепипед с длинами сторон a, b и c	$\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{b}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{c}}\right)^{2}$

Поскольку расчеты теории диффузии завышают критические размеры , необходимо вычесть экстраполяционное расстояние δ, чтобы получить оценку фактических значений. Потеря устойчивости также может быть рассчитана с использованием фактических размеров и экстраполированных расстояний, используя следующую таблицу.

Выражения для геометрической устойчивости в терминах фактических размеров и экстраполированных расстояний.

Геометрия	Геометрическая потеря устойчивости B g 2
Сфера радиуса R	$\left({\frac {\pi }{R+\delta }}\right)^{2}$
Цилиндр высотой H и радиусом R	$\left({\frac {\pi }{H+2\delta }}\right)^{2}+\left({\frac {2.405}{R+\delta }}\right)^{2}$
Параллелепипед с длинами сторон a, b и c	$\left({\frac {\pi }{a+2\delta }}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{b+2\delta }}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{c+2\delta }}\right)^{2}$

Материал

Потеря устойчивости материалов – это потеря устойчивости однородной конфигурации только по свойствам материала. Если мы переопределим $k_{\infty }$ с точки зрения чисто материальных свойств (и предположим фундаментальный режим) мы имеем:

$k_{\infty }={\frac {\nu \Sigma _{f}}{\Sigma _{a}}}$.

Как указывалось ранее, геометрическая потеря устойчивости определяется как:

${B_{g}}^{2}={\frac {{\frac {k_{\infty }}{k}}-1}{L^{2}}}={\frac {{\frac {1}{k}}\nu \Sigma _{f}-\Sigma _{a}}{D}}$.

Решение для k (в фундаментальном режиме),

$k=k_{\mathrm {eff} }={\frac {\nu \Sigma _{f}}{\Sigma _{a}+D{B_{g}}^{2}}}$;

таким образом,

$k={\frac {\frac {\nu \Sigma _{f}}{\Sigma _{a}}}{1+L^{2}{B_{g}}^{2}}}$.

Предполагая, что реактор находится в критическом состоянии (k = 1),

${B_{g}}^{2}={\frac {\nu \Sigma _{f}-\Sigma _{a}}{D}}$.

Это выражение находится в чисто материальных свойствах; поэтому это называется короблением материала:

${B_{m}}^{2}={\frac {\nu \Sigma _{f}-\Sigma _{a}}{D}}$.

Критические размеры реактора

Приравнивая геометрическую и материальную устойчивость, можно определить критические размеры однозонного ядерного реактора.