Площадь посадки

След приземления марсохода на Opportunity Планум Меридиани, Марс.

Зона приземления , также называемая посадочным эллипсом , представляет собой область неопределенности зоны приземления космического корабля на астрономическое тело. После входа в атмосферу точка приземления космического корабля будет зависеть от степени управления (если таковое имеется), угла входа, массы входа, атмосферных условий и сопротивления. (Обратите внимание, что Луна и астероиды не имеют воздушных факторов.) Объединив такие многочисленные переменные, можно смоделировать зону приземления космического корабля с определенной степенью точности. Моделируя вход в различные условия, вероятный эллипс можно рассчитать ; размер эллипса представляет степень неопределенности для данного доверительного интервала .

Математическое объяснение

Чтобы создать зону посадки космического корабля, стандартный подход заключается в использовании метода Монте-Карло для генерации распределений начальных условий входа и параметров атмосферы, решения уравнений движения при входе в атмосферу и каталогизации окончательной долгота / широта . пары $(\lambda ,\phi )$ при приземлении . Обычно предполагается, что результирующее распределение посадочных площадок соответствует двумерному распределению Гаусса :

$f(x)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {|\Sigma |}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right]$

где:

• $x=(\lambda ,\phi )$ вектор, содержащий пару долгота/широта
• $\mu$ вектор значения ожидаемого
• $\Sigma$ это ковариационная матрица
• $|\Sigma |$ обозначает определитель ковариационной матрицы

Как только параметры $(\mu ,\Sigma )$ оцениваются для на основе численного моделирования, эллипс можно рассчитать процентиля $p$. Известно, что для вещественного вектора $x\in \mathbb {R} ^{n}$ при многомерном совместном распределении Гаусса квадрат расстояния Махаланобиса имеет распределение хи-квадрат с $n$ степени свободы:

$(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\sim \chi _{n}^{2}$

В этом можно убедиться, определив вектор $z=\Sigma ^{-1/2}(x-\mu )$, что приводит к $Q=z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}$ и является определением статистики хи-квадрат, используемой для построения результирующего распределения. Таким образом, для двумерного распределения Гаусса граница эллипса в данном процентиле равна $z^{T}z=\chi _{2}^{2}(p)$. Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом ${\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}$, что приводит к уравнениям:

$z={\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\Rightarrow x(\theta )=\mu +{\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}\Sigma ^{1/2}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}$

где $\theta \in [0,2\pi )$ это угол. Матрица квадратный корень $\Sigma ^{1/2}$ можно найти из разложения по собственным значениям ковариационной матрицы, из которой $\Sigma$ можно записать как:

$\Sigma =V\Lambda V^{T}\implies \Sigma ^{1/2}=V\Lambda ^{1/2}V^{T}$

где собственные значения лежат на диагонали $\Lambda$. Значения $x$ затем определите зону приземления для данного уровня уверенности, которая выражается через выбор процентиля.

См. также

• Список посадочных эллипсов на внеземные тела
• Посадка на Марс
• Посадка на Луну