Set of four hypergeometric series
В математике Аппелла ряды представляют собой набор из четырех гипергеометрических рядов F 1 , F 2 , F 3 , F 4 двух переменных , которые были введены Полом Аппеллом ( 1880 ) и которые обобщают гипергеометрический ряд Гаусса 2 F 1 одной переменной. Аппель установил систему уравнений в частных производных , решениями которых являются эти функции , и нашел различные формулы приведения и выражения этих рядов через гипергеометрические ряды одной переменной.
Ряд Аппелла F 1 определен для | х | < 1, | й | < 1 двойным рядом
F 1 ( a , b 1 , b 2 ; c ; x , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( a ) m + n ( b 1 ) m ( b 2 ) n ( c ) m + n m ! n ! x m y n , {\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,} где ( q ) n {\displaystyle (q)_{n}} символом Поххаммера . значений x и y функцию F1 . можно определить аналитическим продолжением Для других Это можно показать [1]
F 1 ( a , b 1 , b 2 ; c ; x , y ) = ∑ r = 0 ∞ ( a ) r ( b 1 ) r ( b 2 ) r ( c − a ) r ( c + r − 1 ) r ( c ) 2 r r ! x r y r 2 F 1 ( a + r , b 1 + r ; c + 2 r ; x ) 2 F 1 ( a + r , b 2 + r ; c + 2 r ; y ) . {\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(a)_{r}(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}(c-a)_{r}}{(c+r-1)_{r}(c)_{2r}r!}}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c+2r;x\right){}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{2}+r;c+2r;y\right)~.} Аналогично функция F 2 определяется для | х | + | й | < 1 по ряду
F 2 ( a , b 1 , b 2 ; c 1 , c 2 ; x , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( a ) m + n ( b 1 ) m ( b 2 ) n ( c 1 ) m ( c 2 ) n m ! n ! x m y n {\displaystyle F_{2}(a,b_{1},b_{2};c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}} и это можно показать [2]
F 2 ( a , b 1 , b 2 ; c 1 , c 2 ; x , y ) = ∑ r = 0 ∞ ( a ) r ( b 1 ) r ( b 2 ) r ( c 1 ) r ( c 2 ) r r ! x r y r 2 F 1 ( a + r , b 1 + r ; c 1 + r ; x ) 2 F 1 ( a + r , b 2 + r ; c 2 + r ; y ) . {\displaystyle F_{2}(a,b_{1},b_{2};c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(a)_{r}(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}}{(c_{1})_{r}(c_{2})_{r}r!}}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c_{1}+r;x\right){}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{2}+r;c_{2}+r;y\right)~.} Также функция F 3 для | х | < 1, | й | < 1 можно определить рядом
F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ; c ; x , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( a 1 ) m ( a 2 ) n ( b 1 ) m ( b 2 ) n ( c ) m + n m ! n ! x m y n , {\displaystyle F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,} и функция F 4 при | х | 1 ⁄ 2 и | 1 ⁄ 2
F 4 ( a , b ; c 1 , c 2 ; x , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( a ) m + n ( b ) m + n ( c 1 ) m ( c 2 ) n m ! n ! x m y n . {\displaystyle F_{4}(a,b;c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m+n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~.} Подобно гипергеометрическому ряду Гаусса 2 F 1 , двойной ряд Аппелла влечет за собой рекуррентные отношения между смежными функциями. Например, базовый набор таких отношений для F 1 Аппелла определяется следующим образом:
( a − b 1 − b 2 ) F 1 ( a , b 1 , b 2 , c ; x , y ) − a F 1 ( a + 1 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) + b 1 F 1 ( a , b 1 + 1 , b 2 , c ; x , y ) + b 2 F 1 ( a , b 1 , b 2 + 1 , c ; x , y ) = 0 , {\displaystyle (a-b_{1}-b_{2})F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{1}F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+b_{2}F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c;x,y)=0~,} c F 1 ( a , b 1 , b 2 , c ; x , y ) − ( c − a ) F 1 ( a , b 1 , b 2 , c + 1 ; x , y ) − a F 1 ( a + 1 , b 1 , b 2 , c + 1 ; x , y ) = 0 , {\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-(c-a)F_{1}(a,b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,} c F 1 ( a , b 1 , b 2 , c ; x , y ) + c ( x − 1 ) F 1 ( a , b 1 + 1 , b 2 , c ; x , y ) − ( c − a ) x F 1 ( a , b 1 + 1 , b 2 , c + 1 ; x , y ) = 0 , {\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)+c(x-1)F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)-(c-a)x\,F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,} c F 1 ( a , b 1 , b 2 , c ; x , y ) + c ( y − 1 ) F 1 ( a , b 1 , b 2 + 1 , c ; x , y ) − ( c − a ) y F 1 ( a , b 1 , b 2 + 1 , c + 1 ; x , y ) = 0 . {\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)+c(y-1)F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c;x,y)-(c-a)y\,F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.} Любое другое отношение [3] F 1 могут быть получены из этих четырех.
Аппелла Аналогично, все рекуррентные соотношения для F 3 следуют из этого набора из пяти:
c F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) + ( a 1 + a 2 − c ) F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c + 1 ; x , y ) − a 1 F 3 ( a 1 + 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c + 1 ; x , y ) − a 2 F 3 ( a 1 , a 2 + 1 , b 1 , b 2 , c + 1 ; x , y ) = 0 , {\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)+(a_{1}+a_{2}-c)F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{1}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{2}F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,} c F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) − c F 3 ( a 1 + 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) + b 1 x F 3 ( a 1 + 1 , a 2 , b 1 + 1 , b 2 , c + 1 ; x , y ) = 0 , {\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{1}x\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,} c F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) − c F 3 ( a 1 , a 2 + 1 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) + b 2 y F 3 ( a 1 , a 2 + 1 , b 1 , b 2 + 1 , c + 1 ; x , y ) = 0 , {\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{2}y\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~,} c F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) − c F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 + 1 , b 2 , c ; x , y ) + a 1 x F 3 ( a 1 + 1 , a 2 , b 1 + 1 , b 2 , c + 1 ; x , y ) = 0 , {\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+a_{1}x\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,} c F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) − c F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 + 1 , c ; x , y ) + a 2 y F 3 ( a 1 , a 2 + 1 , b 1 , b 2 + 1 , c + 1 ; x , y ) = 0 . {\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}+1,c;x,y)+a_{2}y\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.} Аппелла Для F 1 следующие производные являются результатом определения двойным рядом:
∂ n ∂ x n F 1 ( a , b 1 , b 2 , c ; x , y ) = ( a ) n ( b 1 ) n ( c ) n F 1 ( a + n , b 1 + n , b 2 , c + n ; x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\left(a\right)_{n}\left(b_{1}\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}}F_{1}(a+n,b_{1}+n,b_{2},c+n;x,y)} ∂ n ∂ y n F 1 ( a , b 1 , b 2 , c ; x , y ) = ( a ) n ( b 2 ) n ( c ) n F 1 ( a + n , b 1 , b 2 + n , c + n ; x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial y^{n}}}F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\left(a\right)_{n}\left(b_{2}\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}}F_{1}(a+n,b_{1},b_{2}+n,c+n;x,y)} Аппелла Из своего определения далее выяснилось, что F 1 удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений второго порядка :
x ( 1 − x ) ∂ 2 F 1 ( x , y ) ∂ x 2 + y ( 1 − x ) ∂ 2 F 1 ( x , y ) ∂ x ∂ y + [ c − ( a + b 1 + 1 ) x ] ∂ F 1 ( x , y ) ∂ x − b 1 y ∂ F 1 ( x , y ) ∂ y − a b 1 F 1 ( x , y ) = 0 {\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{1}(x,y)=0} y ( 1 − y ) ∂ 2 F 1 ( x , y ) ∂ y 2 + x ( 1 − y ) ∂ 2 F 1 ( x , y ) ∂ x ∂ y + [ c − ( a + b 2 + 1 ) y ] ∂ F 1 ( x , y ) ∂ y − b 2 x ∂ F 1 ( x , y ) ∂ x − a b 2 F 1 ( x , y ) = 0 {\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{1}(x,y)=0} Система уравнений в частных производных для F 2 имеет вид
x ( 1 − x ) ∂ 2 F 2 ( x , y ) ∂ x 2 − x y ∂ 2 F 2 ( x , y ) ∂ x ∂ y + [ c 1 − ( a + b 1 + 1 ) x ] ∂ F 2 ( x , y ) ∂ x − b 1 y ∂ F 2 ( x , y ) ∂ y − a b 1 F 2 ( x , y ) = 0 {\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{2}(x,y)=0} y ( 1 − y ) ∂ 2 F 2 ( x , y ) ∂ y 2 − x y ∂ 2 F 2 ( x , y ) ∂ x ∂ y + [ c 2 − ( a + b 2 + 1 ) y ] ∂ F 2 ( x , y ) ∂ y − b 2 x ∂ F 2 ( x , y ) ∂ x − a b 2 F 2 ( x , y ) = 0 {\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial y^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{2}(x,y)=0} Система имеет решение
F 2 ( x , y ) = C 1 F 2 ( a , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 ; x , y ) + C 2 x 1 − c 1 F 2 ( a − c 1 + 1 , b 1 − c 1 + 1 , b 2 , 2 − c 1 , c 2 ; x , y ) + C 3 y 1 − c 2 F 2 ( a − c 2 + 1 , b 1 , b 2 − c 2 + 1 , c 1 , 2 − c 2 ; x , y ) + C 4 x 1 − c 1 y 1 − c 2 F 2 ( a − c 1 − c 2 + 2 , b 1 − c 1 + 1 , b 2 − c 2 + 1 , 2 − c 1 , 2 − c 2 ; x , y ) {\displaystyle F_{2}(x,y)=C_{1}F_{2}(a,b_{1},b_{2},c_{1},c_{2};x,y)+C_{2}x^{1-c_{1}}F_{2}(a-c_{1}+1,b_{1}-c_{1}+1,b_{2},2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3}y^{1-c_{2}}F_{2}(a-c_{2}+1,b_{1},b_{2}-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+C_{4}x^{1-c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{2}(a-c_{1}-c_{2}+2,b_{1}-c_{1}+1,b_{2}-c_{2}+1,2-c_{1},2-c_{2};x,y)} Аналогично для F 3 из определения следуют следующие производные:
∂ ∂ x F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) = a 1 b 1 c F 3 ( a 1 + 1 , a 2 , b 1 + 1 , b 2 , c + 1 ; x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {a_{1}b_{1}}{c}}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)} ∂ ∂ y F 3 ( a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c ; x , y ) = a 2 b 2 c F 3 ( a 1 , a 2 + 1 , b 1 , b 2 + 1 , c + 1 ; x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {a_{2}b_{2}}{c}}F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)} А для F 3 получается следующая система дифференциальных уравнений:
x ( 1 − x ) ∂ 2 F 3 ( x , y ) ∂ x 2 + y ∂ 2 F 3 ( x , y ) ∂ x ∂ y + [ c − ( a 1 + b 1 + 1 ) x ] ∂ F 3 ( x , y ) ∂ x − a 1 b 1 F 3 ( x , y ) = 0 {\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{1}+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial x}}-a_{1}b_{1}F_{3}(x,y)=0} y ( 1 − y ) ∂ 2 F 3 ( x , y ) ∂ y 2 + x ∂ 2 F 3 ( x , y ) ∂ x ∂ y + [ c − ( a 2 + b 2 + 1 ) y ] ∂ F 3 ( x , y ) ∂ y − a 2 b 2 F 3 ( x , y ) = 0 {\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{2}+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial y}}-a_{2}b_{2}F_{3}(x,y)=0} Система уравнений в частных производных для F 4 имеет вид
x ( 1 − x ) ∂ 2 F 4 ( x , y ) ∂ x 2 − y 2 ∂ 2 F 4 ( x , y ) ∂ y 2 − 2 x y ∂ 2 F 4 ( x , y ) ∂ x ∂ y + [ c 1 − ( a + b + 1 ) x ] ∂ F 4 ( x , y ) ∂ x − ( a + b + 1 ) y ∂ F 4 ( x , y ) ∂ y − a b F 4 ( x , y ) = 0 {\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-y^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b+1)x]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-(a+b+1)y{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-abF_{4}(x,y)=0} y ( 1 − y ) ∂ 2 F 4 ( x , y ) ∂ y 2 − x 2 ∂ 2 F 4 ( x , y ) ∂ x 2 − 2 x y ∂ 2 F 4 ( x , y ) ∂ x ∂ y + [ c 2 − ( a + b + 1 ) y ] ∂ F 4 ( x , y ) ∂ y − ( a + b + 1 ) x ∂ F 4 ( x , y ) ∂ x − a b F 4 ( x , y ) = 0 {\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-x^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b+1)y]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-(a+b+1)x{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-abF_{4}(x,y)=0} Система имеет решение
F 4 ( x , y ) = C 1 F 4 ( a , b , c 1 , c 2 ; x , y ) + C 2 x 1 − c 1 F 4 ( a − c 1 + 1 , b − c 1 + 1 , 2 − c 1 , c 2 ; x , y ) + C 3 y 1 − c 2 F 4 ( a − c 2 + 1 , b − c 2 + 1 , c 1 , 2 − c 2 ; x , y ) + C 4 x 1 − c 1 y 1 − c 2 F 4 ( 2 + a − c 1 − c 2 , 2 + b − c 1 − c 2 , 2 − c 1 , 2 − c 2 ; x , y ) {\displaystyle F_{4}(x,y)=C_{1}F_{4}(a,b,c_{1},c_{2};x,y)+C_{2}x^{1-c_{1}}F_{4}(a-c_{1}+1,b-c_{1}+1,2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3}y^{1-c_{2}}F_{4}(a-c_{2}+1,b-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+C_{4}x^{1-c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{4}(2+a-c_{1}-c_{2},2+b-c_{1}-c_{2},2-c_{1},2-c_{2};x,y)} Четыре функции, определенные двойным рядом Аппелла, могут быть представлены в виде двойных интегралов, включающих элементарные функции только ( Градштейн и др., 2015 , §9.184). Однако Эмиль Пикард ( 1881 Аппелла ) обнаружил, что F 1 также можно записать в виде одномерного Эйлера типа интеграла :
F 1 ( a , b 1 , b 2 , c ; x , y ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∫ 0 1 t a − 1 ( 1 − t ) c − a − 1 ( 1 − x t ) − b 1 ( 1 − y t ) − b 2 d t , ℜ c > ℜ a > 0 . {\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b_{1}}(1-yt)^{-b_{2}}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.} Это представление можно проверить с помощью разложения Тейлора подынтегральной функции с последующим почленным интегрированием.
Интегральное представление Пикара подразумевает, что неполные эллиптические интегралы F и E, а также полный эллиптический интеграл Аппелла Π являются частными случаями F 1 :
F ( ϕ , k ) = ∫ 0 ϕ d θ 1 − k 2 sin 2 θ = sin ( ϕ ) F 1 ( 1 2 , 1 2 , 1 2 , 3 2 ; sin 2 ϕ , k 2 sin 2 ϕ ) , | ℜ ϕ | < π 2 , {\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\sin(\phi )\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\phi |<{\frac {\pi }{2}}~,} E ( ϕ , k ) = ∫ 0 ϕ 1 − k 2 sin 2 θ d θ = sin ( ϕ ) F 1 ( 1 2 , 1 2 , − 1 2 , 3 2 ; sin 2 ϕ , k 2 sin 2 ϕ ) , | ℜ ϕ | < π 2 , {\displaystyle E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\sin(\phi )\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\phi |<{\frac {\pi }{2}}~,} Π ( n , k ) = ∫ 0 π / 2 d θ ( 1 − n sin 2 θ ) 1 − k 2 sin 2 θ = π 2 F 1 ( 1 2 , 1 , 1 2 , 1 ; n , k 2 ) . {\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {\pi }{2}}\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},1;n,k^{2})~.} Существует семь связанных серий двух переменных: Φ 1 , Φ 2 , Φ 3 , Ψ 1 , Ψ 2 , Ξ 1 и Ξ 2 , которые обобщают вырожденную гипергеометрическую функцию Куммера 1 F 1 одной переменной и вырожденную гипергеометрическую предельную функцию 0. F 1 одной переменной аналогичным образом. Первый из них был введен Пьером Гумбертом в 1920 году . Джузеппе Лауриселла ( 1893 ) определил четыре функции, аналогичные ряду Аппелла, но зависящие от многих переменных, а не только от двух переменных x и y . Эти серии также изучал Аппель. Они удовлетворяют определенным уравнениям в частных производных, а также могут быть заданы в виде интегралов типа Эйлера и контурных интегралов . ^ См. Burchnall & Chaundy (1940), формулу (30). ^ См. Burchnall & Chaundy (1940), формула (26) или Erdélyi (1953), формула 5.12(9). ^ Например, ( y − x ) F 1 ( a , b 1 + 1 , b 2 + 1 , c , x , y ) = y F 1 ( a , b 1 , b 2 + 1 , c , x , y ) − x F 1 ( a , b 1 + 1 , b 2 , c , x , y ) {\displaystyle (y-x)F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2}+1,c,x,y)=y\,F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c,x,y)-x\,F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c,x,y)} Аппелл, Пол (1880). «О гипергеометрических рядах двух переменных и о линейных дифференциальных уравнениях с частными производными». Еженедельные отчеты сессий Академии наук (на французском языке). 90 : 296–298 и 731–735. ЖФМ 12.0296.01 . 3 (α,α',β,β',γ; x,y)» в CR Acad. Sci. 90 , стр. 977–980) Аппелл, Пол (1882). «О гипергеометрических функциях двух переменных» . Журнал чистой и прикладной математики 8 : 173–216. Архивировано из оригинала 12 апреля 2013 года. Аппелл, Пол; Кампе де Ферье, Жозеф (1926). Гипергеометрические и гиперсферические функции; Полиномы Эрмита (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. ЖФМ 52.0361.13 . Аски, РА; Olde Daalhuis, AB (2010), «Серия Appell» , в Олвере, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 МР 2723248 Берчналл, Дж.Л.; Чаунди, TW (1940). «Разложение двойных гипергеометрических функций Аппелла». QJ Математика . Первая серия. 11 : 249–270. дои : 10.1093/qmath/os-11.1.249 . Эрдели, А. (1953). Высшие трансцендентные функции, Vol. Я (PDF) . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «9.18.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений Академик Пресс, Инк. ISBN 978-0-12-384933-5 LCCN 2014010276 . Гумберт, Пьер (1920). «О гиперцилиндрических функциях». Еженедельные отчеты сессий Академии наук (на французском языке). 171 : 490–492. ЯФМ 47.0348.01 . Лауриселла, Джузеппе (1893). «О гипергеометрических функциях многих переменных». Отчеты Математического цирка Палермо 7 : 111–158. дои : 10.1007/BF03012437 . ЖФМ 25.0756.01 . S2CID 122316343 . Пикард, Эмиль (1881). «О распространении на функции двух переменных задачи Римана, относящейся к гипергеометрическим функциям» . Научные анналы Высшей нормальной школы . Серия 2 (на французском языке). 10 : 305–322. дои : 10.24033/asens.203 ЖФМ 13.0389.01 . CR Acad. Sci. 90 (1880), стр. 1119–1121 и 1267–1269). Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции ISBN 0-521-06483-Х МР 0201688 . ISBN 978-0-521-09061-2 ) 
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y(1-x){\frac { \partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{1 }(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{1} (х,у)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8706133888a0e338e4de551a4972366985207f9d)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x(1-y){\frac { \partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{1 }(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{1} (х,у)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bff5fa0629d1a666987c3de41c19c844051e462)
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2 }F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{2}( x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{2}(x ,у)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d21a04bed4e7413e8920bbc7f497839ce1d825d)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial y^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2 }F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{2}( x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{2}(x ,у)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65ead117e29aac6a889284b1053fefc246ebac8)
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y{\frac {\partial ^{2 }F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{1}+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{3}( x,y)}{\partial x}}-a_{1}b_{1}F_{3}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424d663fa4f5968774d6161e1e71b0b266e9e32d)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x{\frac {\partial ^{2 }F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{2}+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{3}( x,y)}{\partial y}}-a_{2}b_{2}F_{3}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6536613b1adff04079e9165521549cf56d2dabdf)
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-y^{2}{\frac {\ частичный ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b+1)x]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-(a+b+ 1)y{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-abF_{4}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c1762747b2fa7376e0fb2c8021f60a750a0531)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-x^{2}{\frac {\ частичный ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b+1)y]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-(a+b+ 1)x{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-abF_{4}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d908adf62352b754c3f772f24b2a81e342a67ddc)
